Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Инфоурок
›

Математика
›Презентации›Функция у = cosx её свойства и график.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

2 слайд

Описание слайда:

изучить функцию У = COS X выяснить ее свойства и вид графика; рассмотреть геометрические преобразования функции косинус. ввести понятие числовой функции косинус;

3 слайд

Описание слайда:

Функция У = COS X определена на всей числовой прямой; множеством её значений является отрезок [ -1; 1]; функция периодическая с периодом 2π; функция чётная, график симметричен относительно оси ОУ;

4 слайд

Описание слайда:

Функция У = COS X убывает на отрезке [ 0; π]. При повороте точки (1;0) Вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до π абсцисса точки, т.е. cos x, уменьшается от 1 до -1.

5 слайд

6 слайд

Описание слайда:

т.к cos(-x) = cosx функция чётная, значит график симметричен относительно оси ОУ -1

7 слайд

Описание слайда:

Числовая функция, заданная формулой y=cos x, называется косинусом.

8 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 1) D(cosx): (-∞;+∞) 2) E(cosx): [-1;1] 3) Функция четная: cos(-x)=cosx. График функции симметричен оси y. 4) Периодическая: Т = 2П cosx = cos (x+2П)

9 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 5) Точки пересечения с осью х: (П/2+Пn;0) nЄZ 6) Точки пересечения с осью у: (0;1) 7) Промежутки знакопостоянства: cosx>0:(-П/2+2Пn;П/2+2Пn) nЄZ cosx<0:(П/2+2Пn;3П/2+2Пn)nЄZ

10 слайд

Описание слайда:

Свойства функции y=cosx 8) Промежутки монотонности: [-П+2Пn;2Пn], nЄZ [2Пn;П+2Пn], nЄZ 9) Точки экстремума: x min =-П+2Пn; 10) Экстремумы функции: y min =-1; y max = 1 x max = 2Пn

11 слайд

Описание слайда:

Преобразования графика y=cosx

12 слайд

Описание слайда:

y = – cos x график функции у =cos x отобразить симметрично относительно оси х

13 слайд

Описание слайда:

у=Acos x график функции y=cos x 1) растянуть вдоль оси у, если /А/>1; 2) сжать вдоль оси у, если /А/<1. все значения у уменьшаются в 2 раза все значения у увеличиваются в 2 раза

14 слайд

Описание слайда:

у= cos (x+a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков вправо y= cos (x+2n/3) y= cos (x-a) ось у сдвинуть на а ед.отрезков влево y= cos (x-2n/3)

15 слайд

Описание слайда:

y = cos (x)+b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вниз сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вниз y = cos (x)-b ось х сдвинуть на b ед.отрезков вверх y=cos (x)-2 сдвинуть ось х на 2 ед. отр. вверх

16 слайд

Описание слайда:

y = cos (аx) сжать вдоль оси х, если a>1 растянуть вдоль оси х, если a<1 y = cos (2x) период: T=2П/2=П сжать вдоль оси х в 2 раза период:T=2П/0,5=4П растянуть вдоль оси х в 2 раза y = cos (0,5x)

Выберите книгу со скидкой:

БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА

Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Курс повышения квалификации

Курс профессиональной переподготовки

Учитель математики и информатики

Курс повышения квалификации

Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Номер материала:

186000092745

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Источник

Теория

1.	Свойства функции y = cosx и её график

Задания

1.	Возрастание и убывание функции y = cosx Сложность: лёгкое	1
2.	Сравнение чисел с использованием свойств функции y = cosx Сложность: лёгкое	2
3.	Определение значений косинусов некоторых углов Сложность: лёгкое	1
4.	Преобразование выражения cos t и определение его значения Сложность: лёгкое	1
5.	Применение формул приведения к сравнению чисел Сложность: среднее	2
6.	Построение графика функции y = cosx + b или y = cos(x + а) Сложность: среднее	1
7.	Принадлежность точек графику функции y = k cos(x + a) + b Сложность: среднее	1
8.	Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = cosx Сложность: среднее	1
9.	Область значений функции y = cosx Сложность: среднее	1
10.	Определение чётности функции Сложность: среднее	1
11.	Решение уравнения cosx = ax + b графически Сложность: сложное	1
12.	Определение наибольшего и наименьшего значений функции Сложность: сложное	2
13.	Построение графиков функций y = cos(x + a) + b Сложность: сложное	4

Тесты

Тренировка по теме Функции y = cosx

Сложность: лёгкое

Методические материалы

1.	Технологическая карта

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №3. Свойства и график функции y=cos x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и , выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку х0 называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают ymax.

Точку х0 называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 1 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и .

Функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 2 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и .

В общем случае если Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , если , то период этой функции равен .

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 3 – изображение амплитуды графиков Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и .

Однако, если Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx .

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 4 – график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx .

Свойства функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx :

Область определения – множество R всех действительных чисел.
Множество значений – отрезок [−1;1].
Функция периодическая, Т=2π.
Функция – чётная
Функция принимает:

Функция

Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.

Актуализация знаний

Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.

Так как функция периодическая с периодом Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , график будет таким же.

Функция Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 5 – график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и (рис. 6)

Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx

Рис. 6 – графики функций Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х1 и х2 симметричны относительно оси Оу, следовательно Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx . А .

Пример 2.Найти все решения неравенства Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 6 видно, что график функции Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx лежит ниже графика функции на промежутках и

Ответ: Какое из перечисленных свойств относится к функции y x cosx , .

Источник

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №45

Разработка урока по теме

«График и свойства функции у = cosx»,

алгебра и начала анализа, 11 класс.

Автор учитель математики

высшей категории

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Гавинская Елена Вячеславовна.

г. Калининград

2016 – 2017 учебный год

Автор – Гавинская Елена Вячеславовна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Калининграда средняя общеобразовательная школа № 45

Предмет – математика (модуль «Алгебра и начала анализа»)

Класс – 11

Тема – «График и свойства функции у = cosx»

Учебно-методическое обеспечение:

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений, базовый и профильный уровень /Ш.А.Алимов и др., – 18 – е изд., – М.: Просвещение, 2012 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы – Microsoft Office Power Point 2010

Цель:

ознакомить учащихся со свойствами функции у = cos x, научить строить график функции у = cos x, читать этот график, использовать свойства и график функции при решении уравнений и неравенств.

Задачи обучающие:

формирование функциональных представлений на наглядном материале, умений построения графиков функции у = cos x; формировать навыки свободного чтения графиков, умение отражать свойства функции на графике;

развивающие:

способствовать развитию внимания, логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, обобщать, применять знания в нестандартных ситуациях,
способствовать развитию и пониманию у учащихся меж предметных связей в задачах практического содержания,

воспитательные:

активизировать интерес к получению новых знаний,
воспитывать графическую культуру, формировать точность и аккуратность при выполнении чертежей.

Обоснование выбора методов, средств и форм обучения:

оптимизировать обучение путем разумного сочетания и соотношения методов, средств и форм, направленных на получение высокого результата за время урока.

Оборудование и материалы для урока: проектор, экран (интерактивная доска, далее ИД), компьютеры или ноутбуки индивидуально для каждого учащегося, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока: комбинированный.

Структура урока:

Целесообразность использования медиа продукта на занятии продиктована следующими факторами:

интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

автоматизацией процесса контроля,
улучшением наглядности изучаемого материала,
увеличением количества предлагаемой информации,
уменьшением времени подачи материала;

повышением эффективности усвоения учебного материала за счет групповой и самостоятельной деятельности учащихся.

Обоснование выбора форм и методов работы на уроке по теме «График и свойства функции у = cosx» и методические рекомендации по применению презентации на уроке.

Тема «График и свойства функции у = cos x» входит в тему «Тригонометрические функции» (первый урок по теме) по авторскому планированию Ш.А.Алимова. или Ю.М.Колягина. В заданиях ЕГЭ прошлых лет указанная тема встречается как вспомогательный компонент при решении заданий группы С. Поэтому предлагаемые формы и методы работы по данной теме способствуют отработке навыков применения графика функции у = cos x и её свойств к решению различных заданий. Задания, предложенные на уроке, подбирались с учетом возрастных особенностей учащихся и способствуют развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях с учетом меж предметных связей при решении задач практического содержания. Предложенные формы и методы применяются для групповой, самостоятельной и фронтальной работ. Однако их можно использовать и как тренажёр для отдельного учащегося, работающего за компьютером.

И последнее примечание: все учащиеся класса с начала учебного года разделены на три типологические группы: группа А – самые «слабые» учащиеся, группа В – «средние» учащиеся, группа С – учащиеся с высоким уровнем обученности по предмету.

Ход урока.

1.Организационный момент.

Объявляется цель и план урока.
Записывается домашнее задание: повторить теорию, №710 (2, 4), 711 (2, 4), 737 (4);построить график функции у = cos x на () и описать его свойства; группе С – дополнительно №717(1).

2.Актуализация опорных знаний.

Выполнение устных заданий (фронтальная беседа с учащимися класса).

Повторить определение тригонометрических функций и знаки значений этих функций.
Обратить внимание учащихся на то, что для любого действительного числа можно указать соответствующую точку на единичной окружности, а, следовательно, её абсциссу и ординату, то есть косинус и синус числа х: у = cos x и у = sin x, область определения которых – все действительные числа.
Затем учащиеся отвечают на вопросы.

А) При каких значениях х функция у = cos x принимает значение, равное 0, 1, -1?

Б) Может ли функция у = cos xпринимать значение, большее 1 или меньшее, чем -1?

В) При каких значениях х функция у = cos x принимает наибольшее (наименьшее) значение?

Г) Каково множество значений функции у = cos x?

Ответы на эти и следующие вопросы сопровождаются иллюстрацией на единичной окружности. Слайд №3.

Повторив знаки значений тригонометрических функций в каждой четверти координатной плоскости, ученики показывают несколько точек единичной окружности, соответствующих числам, косинус которых – положительное (отрицательное) число. Затем учащиеся отвечают на вопросы:

Какой знак имеет значение функции у = cos x, если х =, х = , 0, 0 , ?
Укажите несколько значений х, при которых значения функции у = cos x положительны, отрицательны.
Можно ли назвать все значения числа , косинус которых положителен, отрицателен?
Можно ли назвать все значения аргумента х, при которых значения функции у = cos x положительны, отрицательны?
Четная или нечетная функция у = cos x?
Чему равен период этой функции?

3.Изложение нового материала.

Обобщение и конкретизация знаний, полученных ранее: исследование области определения, множества значений, четности, периодичности позволяет построить график сначала на отрезке , затем и на отрезке , а потом и на всей числовой прямой. Слайд №5.

Далее учащиеся, работая в парах, учатся изображать эскиз графика функции у = cos x по точкам и обобщают свойства функции, записывая их в таблицу. Слайд №6.

4. Гимнастика для глаз.

5.Закрепление первичных знаний.

С помощью эскиза графика функции у = cos x учащиеся, работая в парах, отвечают на вопросы в задании №708, а с помощью таблицы свойств функции у = cos x отвечают на вопросы к заданию №709. При необходимости получают консультацию у учителя. Окончательная проверка фронтальным обсуждением.

6. Изложение нового материала.

В ходе беседы в тетрадях строятся учащимися графики функции у = cos x со сдвигом вдоль оси ординат и вдоль оси абсцисс, обсуждаются свойства этих функций.Слайды №13, 14.

7. Самостоятельная работа (обучающего характера, в парах).

При необходимости ребята подзывают учителя и получают необходимые им консультации, а также пользуются опорными конспектами. Работы проверяет учитель.

№710 (1, 3):

-убывает; -возрастает.
; -убывает; -возрастает.

№711 (1, 3):

cos и cos

, , на отрезке функция у = cos x убывает; , следовательно, cos cos

3) cos(- и cos

– , , на отрезке функция у = cos x возрастает; – , следовательно, cos cos

№712 (1, 3):

cos х = 0,5

х =

Ответ: , ,

3) cos х = –

х =

Ответ: , ,

8.Подведение итогов урока, выставление отметок.

Учащимся предлагается ответить на вопрос: что вызвало наибольшие затруднения на уроке? Какова ценность сегодняшнего урока?Чему же мы сегодня с вами научились?

Анкетирование можно провести с помощью системы Verdict:

Выставить отметки за работу на уроке.

Источник