В первом сплаве содержится 25 меди а во втором 45 в каком отношении

Пример 1. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий 55% меди?

Решение. Существуют различные способы решения данной задачи. Рассмотрим один из них.

Составим таблицу и уравнение по условию задачи.

Ответ: 2:1.

Пример 2. Свежие фрукты содержат 85% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

Решение.

Правило. При сушке испаряется только вода. Масса сухого вещества при сушке остаётся неизменной.

Для решения задач на «сухое вещество» удобно пользоваться представленной ниже таблицей.

Заполним её.

1. 100-85=15 (%) – сухое вещество в свежих фруктах;
2. 420 0,15=63 (кг) – масса сухого вещества в свежих и сухих фруктах;
3. 100-16=84 (%) – сухое вещество в сухих фруктах;
4. 63:0,84=75 (кг) – масса сухих фруктов.

Ответ: 75 килограммов масса сухих фруктов.

Пример 3. Четыре одинаковые ромашки дешевле подсолнуха на 7%. На сколько процентов пять таких же ромашек дороже подсолнуха?

Решение.

Стоимость одной ромашки составляет % стоимости подсолнуха.

Стоимость пяти ромашек составляет % стоимости подсолнуха.

Следовательно, пять ромашек дороже подсолнуха на %.

Ответ: 16,25%.

Пример 4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 63%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%.

Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Зарплата отца составляет 63% дохода семьи.

Стипендия дочки составляет % дохода семьи.

Зарплата мамы составляет % дохода семьи.

Ответ: 31%.

Тренировочные задания

1. Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
2. Смешали некоторое количество 30-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 58-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
3. Имеется два сплава с разным содержанием золота: в первом содержится 50%, а во втором – 80% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% золота?
4. При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
5. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 30%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 45% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
6. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?
7. Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные — 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?
8. Свежие фрукты содержат 89% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 23 кг высушенных фруктов?
9. Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 21 кг высушенных фруктов?
10. Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
11. Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 55 кг высушенных фруктов?
12. Свежие фрукты содержат 88% воды, а высушенные — 30%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 6 кг высушенных фруктов?
13. Свежие фрукты содержат 84% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?
14. Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?
15. Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
16. Четыре одинаковые рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять таких же рубашек дороже куртки?
17. Три одинаковые рубашки дешевле куртки на 10 %. На сколько процентов четыре такие же рубашки дороже куртки?
18. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 54%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вдвое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
19. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вчетверо, общий доход семьи вырос бы на 204%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Задачи, связанные с понятием “концентрация” и “процентное содержание”,
являются традиционно трудными для обучающихся. В них речь идет о сплавах,
растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных
веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если
смешиваются два раствора, объем которых х и у, то получившаяся
смесь будет иметь объем х +
у. Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.

В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение
объема чистого вещества к объему всего раствора называется объемной
концентрацией. (Содержание чистого вещества в единице объема).
Концентрация, выраженная в процентах, называется процентным содержанием.
При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять
задачу и по которой легче составить уравнение или систему. В работе приведены
решения нескольких задач, а также предложены задачи для самостоятельного
решения. Для удобства к задачам прилагаются ответы.

1. Некоторый сплав состоит из
двух металлов, входящих в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в
отношении 2 : 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав,
содержащий те же металлы в отношении 17 : 27?

Решение: Пусть взято х частей
первого сплава и у частей второго. В х
частях первого сплава содержится
частей первого металла и
частей второго. В

y частях второго сплава содержится
частей первого металла и
частей второго.

Составим таблицу:

Из таблицы видно, что можно получить три уравнения. 1)
х + у = 44 , 2)

3) . Решив систему из
двух уравнений, получим ответ.

Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

2. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого
слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава
цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в
котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке
было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание
цинка во втором такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава,
в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится
55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

По таблице составим систему уравнений

прибавим к первому уравнению второе, получим

Ответ: 40% и 65%.

Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1
кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди.
Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов
соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится
сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве,
получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе
куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

По данным таблицы составим систему уравнений
, найти надо значение выражения 0,01n
у + 0,01m
х.
Представим его в виде 0,01(n у
+ m х).
Решим систему уравнений.

. Умножим первое
уравнение на третье и вычтем второе.

Ответ: 4,9 кг.

4. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к
меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго,
то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди,
а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке
окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в
каждом слитке?

Решение: Пусть в первом слитке содержится х кг
золота и 2х кг меди.
Тогда масса всего слитка 3х кг. Пусть во втором
слитке содержится 2у кг
золота и 3у кг меди. Тогда
масса всего слитка 5у кг. Составим
таблицу:

По данным таблицы составим систему уравнений

Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

5. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с
цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент
меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке.
Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке
будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет
содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором
слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?

Решение: Заметим, что во втором слитке нет меди, а если его сплавить с
первым, в котором есть медь, то процент меди в новом сплаве будет в 2 раза меньше, чем он был в
первом слитке, значит масса первого слитка равна массе второго. Пусть их масса будет
х.

Если сплавить второй слиток, в котором есть никель, с третьим слитком, в котором
никеля нет, то процент никеля в новом сплаве будет в 3 раза меньше, чем он был
во втором слитке. Значит второй слиток по массе в 2 раза больше второго. Значит
его масса будет 2х. Занесем данные в
таблицу:

Ответ: 7%

6. В сосуде находится определенное количество смеси
воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало
p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1
л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу:

Если к раствору кислоты добавить чистую воду, то изменится
концентрация кислоты, а количество кислоты не меняется. На этом основании составим
систему уравнений:

Ответ: 68%.

7. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с
различным процентным содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и
из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с
равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый
слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золота в получившихся
слитках независимо от его содержания в исходных слитках.

Решение: Процентное содержание золота в новых
получившихся слитках2 кг, 3 кг и 5 кг будет равно процентному содержанию золота в слитке, который
получится если просто сплавить исходные слитки массой 2 кг, 3 кг и 5 кг в
десятикилограммовый кусок. Тогда золото входит в каждый новый слиток в отношении 2 : 3 :
5 . Значит нужно Каждый исходный слиток разделить на части пропорциональные
этим числам. Всего частей 10. Получим
2 : 10 * 2 = 0,4; 2 : 10 * 3 = 0,6; 2 : 10 * 5 = 1
и т.д. Представим этот результат в виде таблицы.

Задачи для самостоятельного решения

8. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих
металлов 2 : 1, 3 : 1, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12
кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого
исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 1,92 кг,
0,96 кг, 9,12 кг.

9. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов
3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а
соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого
исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг,
5,5 кг, 2,75 кг.

10. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов
4 : 1, 1 : 1, 1 : 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а
соотношение олова и свинца в нем составило 2 : 3. Найти массу каждого
исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 6,4 кг, 3,2
кг, 14,4 кг.

11. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих
металлов 1 : 1, 1 : 5, 5 : 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24
кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2 : 1. Найти массу каждого
исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.

12. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30%
олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг
нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг , 7 кг.

13. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20%
серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы
получить сплав, содержащий 32% серебра?

14. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом
– 20%
меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг
нового сплава, содержащего 14% меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.

15. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом
– 50%
золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы
получить сплав, содержащий 42% золота?
Ответ: 15 кг.

16. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%.
Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.

17. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился
раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны
растворы?
Ответ: 3 : 2.

18. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в
процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное
содержание меди в отходах.
Ответ: 5%.

19. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного
раствора. Определить концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.

20. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной
эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.

21. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем
повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание
соли?
Ответ: на 4%.

22. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо
добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло
2%.
Ответ: 60 кг.

23. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра
составляет