В каком классе свойства биссектрисы треугольника

Муниципальное базовое образовательное учреждение

«Ильинская средняя общеобразовательная школа №1»

Урок по теме «Свойство биссектрисы треугольника»

Автор разработки урока:

Нагибина Татьяна Анатольевна

учитель математики МБОУ «Ильинская СОШ №1»

первая квалификационная категория

п. Ильинский, 2016 год

Пояснительная записка к конспекту урока

Автор разработки урока:

Нагибина Татьяна Анатольевна,

учитель математики, первая квалификационная категория,

стаж педагогической работы 23 года

Тема урока: Свойство биссектрисы треугольника

Урок геометрии в 8 классе

Тип урока: Урок новых знаний

Цель: Знакомство с новым свойством биссектрисы через мини-исследование.

Задачи: Развитие УУД. и предметных умений

Формы работы: фронтальная, парная, индивидуальная

Место и роль данного урока в курсе геометрии, разделе, темы:

В курсе геометрии 8 класса изучается глава «Подобные треугольники», которая начинается с изучения понятия. Свойство биссектрисы треугольника – один из примеров, где дается представление о пропорциональных отрезках, и в то же время обогащается и пополняется запас утверждений и свойств геометрических фигур. После изучения понятия пропорциональных отрезков расширяется класс решения задач, причем более сложных и интересных.

УМК: Л.С. Атанасян Геометрия 7-9 Учебник для общеобразовательных учреждений

Москва «Просвещение» 2012

Используемое оборудование: Учебник, доска, мел, компьютер, проектор, экран.

Педагогическая технология: На уроке применяется технология развития критического мышления. Урок проходит в деятельностном режиме. Под руководством учителя обучающиеся формулируют тему урока. Результатом небольшого исследования является открытие нового свойства биссектрисы треугольника. Организована дифференцированная самостоятельная работа обучающего характера, учитывая индивидуальные способности обучающихся. Такой подход к организации деятельности на современном уроке является актуальным. Мотивацией к учебному труду и познанию нового служат такие моменты урока, когда присутствует дух соревнования, желание быть первым и лучшим, а также желание получить бонус. Использование приема «инсерт» в конце урока позволяет организовать рефлексию, подвести итог и отметить важность, красоту изучаемого предмета.

Технологическая карта урока.

Учитель

Нагибина Татьяна Анатольевна

Класс

Тип урока

Урок нового знания

Тема урока

Свойство биссектрисы треугольника

Цель

Знакомство с новым свойством биссектрисы через исследование.

Задачи

Развитие УУД.

Формы работы

Фронтальная, индивидуальная, парная.

Техническое оборудование

Компьютер, проектор

Планируемый результат

Предметные умения

-Узнать новое свойство ,биссектрисы треугольника

-Уметь находить неизвестный член пропорции

-уметь делить отрезок в данном отношении

-уметь применять свойство биссектрис треугольника при решении задач

-уметь применять свойства изученных четырехугольников

Личностные УУД:

-иметь свою внутреннюю позицию

-оценивать усвоенное содержание, исходя из личных ценностей.

Регулятивные УУД:

-принимать учебную задачу

– высказывать свое предположение на основе учебного материала

-контролировать и оценивать свои действия

-работать по плану, инструкции

-вносить коррективы в свои действия

-осуществлять самоконтроль

Познавательные УУД:

-ориентироваться в своей системе знаний

-проводить анализ, сравнение

-находить ответы на вопросы, используя жизненный опыт

Коммуникативные УУД:

-слушать и понимать речь других

-уметь выражать свои мысли

-учитывать позицию собеседника

-осуществлять сотрудничество с учителем и сверстниками.

План урока

Этапы урока

Цель этапа

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

познавательная

коммуникативная

регулятивная

1.Организационный

Создать атмосферу взаимопонимания и сотрудничества

Слова приветствия

Слушать и понимать речь других

Умение прогнозировать

2.Актуализация опорных знаний и умений

Подвести учащихся к готовности и потребности в новом знании

Предлагает вспомнить всё о биссектрисе

Осуществлять анализ учебного материала

Сотрудничество с учителем и сверстниками;

Достаточно полно и точно выразить свои мысли

Определение цели деятельности на уроке

3.Постановка учебной проблемы

Фиксировать разрыв в знаниях

Побуждает к размышлению узнать новое свойство биссектрис

Высказывают свои предложения о существовании нового свойство биссектрис

Ориентироваться в своей системе знаний

4.Открытие нового знания

Практическая работа

Конструирование нового способа учебных знаний

Консультирует учащихся по необходимости

Выполняют практическую работу в парах

Проговаривают решение задач и сравнивают с правильным

Уметь сравнивать, анализировать полученные результаты

Умение общаться в паре

Точно и полно формулировать выводы

Умение планировать деятельность,

Определять последовательность действий

-работать по плану,

5.Применение новых знаний

Показать применение и важность изученного свойства.

Предлагает ситуацию в практической деятельности человека

Экспериментируют, исследуют треугольник на равновесие.

Умение поиска способа действия

контролировать и оценивать свои действия,

давать оценку деятельности.

7. Рефлексивно-оценочный этап

Подвести итоги урока.

Предлагает продолжить предложение

Заключительное слово учителя

Прием «инсерт»

Умение выражать свои чувства и мысли, слушать и понимать других

Анализ и оценка успешности достижения цели

Конспект урока

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Актуализация знаний

Приветствие

Диалог:

– Героиня нашего урока – биссектриса.

Что вы знаете о биссектрисе?

Если ученики затрудняются назвать 3 и 4 свойства биссектрисы, то учитель может сделать подсказку только словами «ромб», «параллелограмм», «трапеция»

Называют:

определение биссектрисы угла
свойство биссектрисы в равнобедренном треугольнике
Свойство диагоналей ромба (являются биссектрисами его углов)
Свойство биссектрисы в трапеции и параллелограмме (биссектриса острого угла отсекает равнобедренный треугольник)

Постановка учебной проблемы

– А как вы думаете, обладает ли биссектриса еще каким-либо другим свойством?

– Назовите тему урока.

– Новым свойством биссектриса обладает в треугольнике.

Уточняем тему урока:

-Да

Тема урока: «Свойство биссектрисы»

«Свойство биссектрисы треугольника»

Мини-исследование

Практическая работа: (Слайд), рисунки построены на доске.

1.Вспомните, какие отрезки являются пропорциональными?

2. Найдите пары пропорциональных отрезков в треугольнике АВС, если

АD – биссектриса, АВ=70, АС=50, ВD=35, DС=25.

3 Найдите пары пропорциональных отрезков в треугольнике MNK, если

NL – биссектриса, MN=10, NK=6, ML=5, LK=3.

4. Сделайте вывод.

Выполняют практическую работу в парах.

Вывод: Отношение отрезков, на которые делит биссектриса треугольника противоположную сторону, равно отношению сторон.

Сделанный вами в ходе небольшого исследования вывод и выражает свойство биссектрисы треугольника:

«Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника»

-Запишите это свойство на математическом языке для ΔABC. ΔMNK

Мы открыли новое свойство биссектрисы треугольника, и теперь можем решать еще более интересные геометрические задачи!

Записывают свойство биссектрисы в виде пропорции:

;

Этап применения новых знаний

Задача 1:

В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, E, F лежат соответственно на сторонах MN, NK и MK. Найдите отрезки NE и EK, если MN=7см, NK=6см, MK=5см.

Внимание! Объявляется конкурс на лучший рисунок к задаче.

(Первые 3-5 человек получают сладкие бонусы – конфеты)

Далее идет устное обсуждение решения задачи.

Задача 2 (по уровням сложности)

Уровень1 (базовый): № 536(а)

Отрезок BD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите АВ, если ВС=9см, AD= 7,5см, DC=4,5см.

Уровень2 (средний): № 537

Отрезок АD является биссектрисой треугольника АВС. Найдите BD и CD, если АВ=14см, ВС=20см, АС=21см.

Уровень3(высокий): № 538

Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5см и 13,5см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника АВС равен 42см.

Первые правильно решившие задачу, получают сладкие бонусы.

Читают задачу.

Самостоятельно индивидуально выполняют рисунок к задаче

Победитель конкурса выполняет рисунок на доске, объясняет: что дано и что надо найти в задаче.

Записывают решение в тетрадь по плану:

1. Доказать, что МЕ – биссектриса ΔMNK

2. Вычислить длины NE и EK, используя свойство биссектрисы.

Выбирают сами или с помощью учителя задачу.

Решают задачу в тетради самостоятельно.

Могут попросить консультацию учителя.

Итоги:

Биссектриса обладает несколькими интересными свойствами.

На слайде изображены рисунки. Сформулируйте соответствующее свойство биссектрисы.

Какое из этих свойств изучено сегодня?

Устно формулируют свойства биссектрисы в равнобедренном треугольнике, свойство диагоналей ромба (являются биссектрисами его углов), свойство биссектрисы в трапеции, параллелограмме, прямоугольнике (биссектриса острого угла отсекает равнобедренный треугольник)

Читают новое свойство.

Рефлексия.

Отметьте знаком «+» или «-»или «?» утверждения, если вы с ними согласны, не согласны, сомневаетесь.

Текст на слайде:

Изученное свойство биссектрисы имеет значение в математике.

Людям далеко не каждой профессии приходится использовать свойство биссектрисы треугольника.
Но для вас на уроках геометрии есть возможность мыслить, рассуждать, доказывать, анализировать, сравнивать.
А эти качества необходимы любому человеку, чтобы быть успешным.

-У кого из вас есть хотя бы один минус?

-Хотя бы один вопрос?

– Я уверена, что в 99,999….% случаях вы поставили «+»!

Читают утверждения и отмечают значки

…

Вы правы!

Домашнее задание

Выучить и доказать свойство биссектрисы (№ 535);

решить задачи № 536(б), 540.

Записывают задание

Конец урока

Геометрия треугольника неисчерпаема!

Сколько интересного и неизученного впереди!

Желаю успехов и желания поглощать знания с аппетитом!

Спасибо за урок. До встречи!

Источник

Тема: Свойство биссектрисы угла.

Цели:Рассмотрение теоремы о свойстве биссектрисы угла и применение данной теоремы при решении задач.

Задачи:

1. Рассмотреть теорему о свойстве биссектрисы угла и её следствие.

2. Учить применять данные теоремы и следствие при решении задач.

3. Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.

4. Продолжать развивать познавательную активность, умение формулировать свои выводы и доказывать их.

5. Воспитывать уверенность в себе, познавательный интерес.

Оборудование: ПК, презентация, чертёжные инструменты.

Ход урока

I. Организационный момент. Объявление темы и постановка целей урока совместно с учащимися.

II. Проверка домашнего задания.

Визуально проверяется наличие домашнего задания в тетради

III. Актуализация опорных знаний

Для того, чтобы начать изучение нового материала, нам придётся опереться на уже изученный материал.

1. Какие линии в треугольнике вам известны? К числу линий, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

• высоты треугольника;

• медианы треугольника;

• биссектрисы треугольника;

• серединные перпендикуляры к сторонам треугольника.

2. Кто напомнит обобщенную теорему Фалеса?

Если на одной стороне угла отложить несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся отрезки, пропорциональные данным.

Повторение определений путём фронтальной беседы.

III. Мотивация изучения материала

В старших классах каждый школьник

Изучает треугольник.

Три каких-то уголка,

А работы на века.

И опять треугольник! Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике.

IV. Изучение нового материала.

Доказательство:

V. Историческая справка.

Удивительно, но треугольник, несмотря на свою простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника. (Слайд 3).

–А какие треугольники мы с вами рассматривали? (Слайд 4).

Ожидаемые ответы: равнобедренный, равносторонний, тупоугольный, прямоугольный, остроугольный.

–Сегодня мы с вами очень кратко ознакомимся с треугольниками, которые имеют своё собственное «имя», или носят имя того, кто их открыл или исследовал. (Слайд 4).

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 применялся египтянами землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Несмотря на возраст, это способ построения прямого угла активно используется строителями и теперь. (Слайд 4, 6).

Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В тоже время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. (Слайды 4, 7).

Треугольник Рёло – это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов одинакового радиуса с центрами в вершинах равностороннего треугольника. Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет сверлить квадратные отверстия (с точностью в 2%). (Слайды 4, 8).

Один из самых загадочных и интересных треугольников – “Бермудский треугольник”. Еще это место называют аномальной зоной. На самом деле это место, которое традиционно считается самым ужасным, самым жутким местом планеты. Здесь бесследно исчезало множество кораблей и самолетов – большинство из них после 1945 года. Здесь погибло более тысячи человек. Однако при поисках никого и ничего не удалось обнаружить. Бермудский треугольник не имеет четких границ, нельзя найти на карте его точное обозначение. Разные ученые определяют его местоположение на свое усмотрение. Самое распространенное его определение – это область в Атлантическом океане между Бермудами, Пуэрто-Рико и Майами. Общая площадь – 1 млн. квадратных километров. Однако название этой области тоже условное, поэтому название “Бермудский треугольник” не является географическим. (Слайды 4, 9).

Треугольник Пенроуза… Эта фигура –возможно, первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году в журнале. в статье под заголовком “Удивительные фигуры, особый вид оптических иллюзий”. Ее авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы. Невозможный» треугольник, треугольник Пенроуза, увековечен в виде статуи в городе Перт (Австралия). Созданный усилиями художника Брайна МакКея и архитектора Ахмада Абаса, он был воздвигнут в парке Клайзебрук в 1999 году и теперь все проезжающие мимо могут видеть «невозможную» фигуру. (Слайды 4, 10).
Интересно! (Слайд 11).

–А теперь вернёмся к теме нашего урока.

VI. Первичное закрепление знаний.

Учебник: стр.138, № 318, 320, 321

VII. Подведение итогов урока.

Решение задачи, данной в начале урока

Оценивание работы учащихся и выставление отметок в журнал

VIII. Домашнее задание.

Глава 3, §22, № 319

Источник

“Есть в математике нечто, вызывающее
человеческий восторг” (Ф. Хаусдорф)

Тип урока: урок ознакомления с новым
материалом c использованием мультимедийного
проекта.

Цели урока:

Изучить свойство биссектрисы (медианы, высоты)
равнобедренного треугольника, проведенной к
основанию;
Закрепить знание свойств равнобедренного
треугольника при решении задач и теоретического
теста;
Развивать логическое мышление и геометрическую
зоркость учащихся.

Задачи урока:

Воспитательная – воспитывать настойчивость в
учебе, умение слушать, ответственное отношение к
учебному труду.
Учебная – совершенствовать знания о свойствах
равнобедренного треугольника.
Развивающая – развивать познавательный
интерес, мышление, память, внимание.

Оборудование:

мультимедиа проектор;
цветной мел;
проверочный тест;
различные треугольники.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Девизом нашего урока является высказывание:
“Есть в математике нечто, вызывающее
человеческий восторг”, так как на уроках
геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть,
замечать и отмечать различные особенности
геометрических фигур. Даю “установку”:
Развивать и тренировать свое геометрическое
зрение.

Кто ничего не замечает,
Тот ничего не изучает.
Кто ничего не изучает,
Тот вечно хнычет и скучает.

Сегодня на уроке мы “заметим” свойство
биссектрисы равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию, и будем его
использовать при решении задач. Начнем с
проверки домашнего задания:

Подготовить доказательство теоремы о свойстве
углов при основании равнобедренного
треугольника. (Желает …)
Объяснить решение домашней задачи № 117 (По
готовому чертежу. Желает …)
А мы запишем число и тему урока (списываем с
экрана)

Презентация

II. Актуализация знаний: Подготовка к
изучению нового.

К доске выходит 1 ученик и выполняет задание:
провести медиану, биссектрису, высоту
треугольника АВС из вершины А и дать определения.
(Чертеж разностороннего треугольника с углом
А, равным 120о – на доске). А мы поработаем
устно:

1.Слайд № 1.

Из следующих пяти треугольников только три
равных. Назовите их номера. (ответ с
пояснением)

2.Слайд № 2 (№ 110 с учебника, страница 37).

3.Слайд № 3 (№ 69в рабочей тетради).
Является ли треугольник равнобедренным, если его
углы равны 35о, 45о и 100о?

Р е ш е н и е. В равнобедренном треугольнике
два угла ___________. В данном треугольнике равных
углов _____, поэтому он ___________________

О т в е т. __________

Использовали признак равнобедренного
треугольника: Как он звучит? (если в
треугольнике 2 угла равны, то он равнобедренный). А
если три угла в треугольнике равны, то какой это
треугольник.

Послушаем ответ ученика …

III. Изучение нового

а) Выдвижение гипотезы:

Слайд № 4. Выполняем практическую работу:
(на столах различные треугольники).

Возьмите равнобедренный треугольник.
Обозначьте его АВС – основание ВС.
С помощью транспортира и линейки проведите
биссектрису из вершины А к основанию ВС.
С помощью чертежного угольника проведите
высоту из вершины А.
С помощью масштабной линейки проведите медиану
из вершины А.

Что вы заметили? Что вас удивило? Попробуйте
высказать гипотезу. (В равнобедренном
треугольнике биссектриса, медиана и высота
совпали).

б) Доказательство:

Вернемся к чертежу (к доказательству свойства
углов при основании равнобедренного
треугольника).

Вы провели биссектрису АD. Что она сделала с
треугольником АВС?
А какие еще элементы этих треугольников будут
равны? (ВD = DC и <ADB = < ADC).
Чем является точка D для стороны ВС? (серединой).
И как же тогда можно назвать отрезок АD? (медианой).
Что вы заметили об равных углах? (они смежные,
но так как они в сумме дают 180, то каждый из них
равен 90о).
Тогда как еще можно назвать отрезок АD? (высота).

Вот мы все вместе доказали свойство
биссектрисы равнобедренного треугольника,
проведенной к основанию.

Слайд № 4 и 5 (доказательство). Записать в
тетрадь формулировку теоремы и чертеж. Обсудить
план доказательства и записать его.

Рассмотрим вопрос: Всегда ли верно утверждение:

“Биссектриса равнобедренного треугольника
является одновременно его медианой и высотой” (нет,
только для биссектрисы равнобедренного
треугольника, проведенной к основанию).
А в каком треугольнике любая биссектриса
является медианой и высотой? (В
равнобедренном).

Мы установили, что биссектриса, медиана и
высота равнобедренного треугольника,
проведенные к основанию совпадают. Поэтому
измените формулировку свойства. Получаем:

Высота равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является медианой и
биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника,
проведенная к основанию, является высотой и
биссектрисой.

IV. Закрепление. Слайд № 6. Устное
решение задач по чертежам.

V. Слайд № 7. Теоретический тест по теме
“Свойства равнобедренного треугольника” .

1. Медиана в равнобедренном треугольнике
является его биссектрисой и высотой. Это
утверждение:

всегда верно;
может быть верно;
всегда неверно.

2. Если треугольник равносторонний, то:

он равнобедренный;
все его углы равны;
любая его высота является медианой и
биссектрисой.

3. В каком треугольнике только одна его высота
делит треугольник на два равных треугольника?

в любом;
в равнобедренном;
в равностороннем.

4. Биссектриса в равностороннем треугольнике
является медианой и высотой. Это утверждение:

всегда верно;
может быть верно;
всегда неверно.

5. Если треугольник равнобедренный, то:

он равносторонний;
любая ее медиана является биссектрисой и
высотой;
ответы а) и b) неверны.

6. В каком треугольнике любая его высота делит
треугольник на два равных треугольника?

в любом;
в равнобедренном;
в равностороннем.

Сдать тест. Проверить результаты с помощью
слайда.

VI. Итоги урока.

Оцените “уровень успешности”: Нарисуйте на
полях кружок — если вам все было понятно и вы
справились; квадрат – если кое-что непонятно и
треугольник – если все непонятно и срочно нужна
помощь. (Собрать тетради).

VII. Домашнее задание:

п. 18(2), № 70 (рабочая тетрадь).
Творческое задание: из 6 спичек сделать
4 равносторонних треугольника.

VIII. Познавательный вопрос: где в жизни
встречаются равнобедренные треугольники?

Красивые здания, картины создаются с учетом
принципа “золотого треугольника”. Все это
построено на связанных между собой
математических пропорциях, в сечении получается
звезда, где пять равнобедренных треугольников,
они называются “золотыми”.

Показать слайды

Крыши домов, башен;
Орнаменты;
Арки мостов;
Египетские пирамиды;
Северные росписи.

Презентация

Литература:

Атанасян Л. С. и др. Геометрия, 7 – 9: учеб.
для общеобразовательных учреждений – М.:
Просвещение, 2003.
Гаврилова Н. Ф. Поурочные разработки по
геометрии 7 класс. М.: “ВАКО”, 2004, 288 с. – (В помощь
школьному учителю).
Мищенко Т. М. Рабочая тетрадь по геометрии: К
учебнику Л. С. Атанасяна и др.: 7 класс. – М.:
Астрель, АСТ, 2005.
Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении
математике: Кн. Для учителя.

Источник