В каком классе проходят свойства медианы в прямоугольных треугольников

Раздел долгосрочного плана: 9.3С Решение треугольников

Школа: НИШ ХБН г.Петропавловск

Дата:

ФИО учителя: Лаговская ЕВ

Класс: 9

Количество присутствующих:

отсутствующих:

Тема урока

Свойство медиан треугольника

Цели обучения, которые достигаются на данном уроке (ссылка на учебную программу)

9.3.3.7 доказывать и применять свойство медиан треугольника

Цели урока

Учащиеся

знают и доказывают свойства медиан треугольника
применяют свойства медиан треугольника при решении задач

Критерии успеха

Ученик достиг цели, если:

знает свойства медиан треугольника;
доказывает свойства медиан треугольника;
применяет свойства при решении задач.

Языковые цели

Предметная лексика и терминология:

медианы треугольников;
площадь треугольника;
равные отрезки;
полупериметр;
пропорциональные отрезки.

Серия полезных фраз для диалога/письма:

медианы делятся в отношении;
по неравенству треугольника …;
площадь треугольника равна … ;
в точке пересечения медианы …;
медиана делит сторону … .

Привитие ценностей

Сотрудничество, активность

Ключевой навык

Навык саморегуляции

Предварительные знания

Знание видов треугольника, формул площадей треугольника, теорема синусов и косинусов, определение медианы треугольника, центр тяжести.

Межпредметные связи

физика

Ход урока

Этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало урока

15 мин

1. Организационный момент.

2. Воспроизведение учащимися знаний, умений и навыков, которые потребуются для усвоения новых заданий.

С целью формулировки темы урока учащиеся должны определить, о чем идет речь на картинке?

Далее необходимо вспомнить, что такое равновесие, центр тяжести.

Вспомнить, как находится центр тяжести треугольника, с какими отрезками треугольника она связана. Учащиеся должны указать, что центр тяжести треугольника определяется, как точка пересечения медиан треугольника.

Далее учащимся необходимо вспомнить свойства медиан, которые они знают:

В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является биссектрисой и высотой.
В равностороннем треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Используя сформулированные свойства необходимо учащимся решить задачи:

Учащиеся решают задачи и комментируют свойства, которые были применены.

При решении последней задачи учащиеся должны прийти к проблеме и определить, что для решения этих задач необходимы еще свойства.

После этого совместно определяется тема и цель урока.

Слайд

№ 1 – 4

Середина урока

60 мин

Изучение нового материала

Учащиеся в парах выполняют практическую работу и самостоятельно доказывают одно из свойств медиан треугольника. Первое и четвертое свойства являются наиболее сложными. Его необходимо дать более «сильным» парам.

Свойства медиан треугольника.

медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины;
медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника;
отрезки, соединявшие точку пересечения медиан с вершинами треугольника, делят его на три равновеликих треугольника;
три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.

Практическая работа (1 свойство)

В треугольнике АВС проведите медианы АА1 и ВВ1.
Соедините точки А1 и В1.
Что вы можете сказать про данный отрезок? Чем он является в треугольнике АВС, и какими свойствами обладает?
Рассмотрите треугольники АОВ и А1ОВ1. Какие равные элементы у этих треугольников можете назвать?
Сделайте вывод по данным треугольникам.
Что можно сказать об их сторонах? Запишите.
Сделайте общие выводы!

Практическая работа (2 свойство)

Постройте произвольный треугольник АВС.
Проведите медиану ВМ.
Измерьте длины всех отрезков.
Найдите площадь получившихся треугольников.
Сделайте вывод.

Практическая работа (3 свойство)

Постройте произвольный треугольник АВС.
Проведите медианы треугольника и точку их пересечения обозначьте О.
Измерьте длины всех отрезков.
Найдите площадь треугольников АОС, АОВ, ВОС.
Сделайте вывод.

Практическая работа (4 свойство)

Постройте произвольный треугольник АВС.
Проведите медианы треугольника и точку их пересечения обозначьте О.
Измерьте длины всех отрезков.
Найдите площадь треугольников всех получившихся треугольников с вершиной О.
Сделайте вывод.

После выполнения практической работы учащиеся рассказывают о свойстве, которое они доказали.

Закрепление изученного материала

Решение задач.

Задача (совместный разбор)

Решение:

После решения задачи учащиеся должны определить дескрипторы, по которым будет оценено это задание:

Находит отрезок AL, используя определение медианы;
Находит отрезок BL, используя теорему косинусов;
Находит отрезок ВО, используя свойство медианы.

Далее учащиеся самостоятельно решают задачи в парах.

В равнобедренном треугольнике АВС с боковой стороной АВ=5 см провели медиану ВК=4 см. Найти площадь треугольника АВС.
В треугольнике АВС со сторонами АВ=4 см, АС=6 см и углом А=600 провели медианы АК и ВМ, которые пересекаются в точке О. Найти ВО.
На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD, равный AM. Докажите, что четырёхугольник ABDC — параллелограмм.
В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o. Найдите угол АВС .
В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин B и C, если AB = 4, AC = 5.

Учащиеся, которые быстрей всех выполнят задание, решают дополнительные задачи.

Дополнительные задачи

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.
Медианы AN и BM треугольника ABC равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 30o. Найдите площадь треугольника ABC.

По окончанию выполнения задания учащиеся выполняют взаимопроверку в парах по дескрипторам и выставляют друг другу баллы.

№ задания	дескриптор	ответ	балл
1	Находит отрезок АК	3	1
	Находит площадь треугольника АВК	6	1
	Находит площадь треугольника АВС	12	10
2	Находит АМ	3	1
	Находит ВМ		1
	Находит ВО		1
3	Доказывает равенство треугольников АМВ и DМС	1.ВМ=МС 2.АМ=МD 3.DМС	1
	Показывает равенство сторон АВ и DС	Следует из равенства треугольников	1
	Показывает параллельность сторон	Следует из равенства треугольников	1
	Делает вывод	АВСD – параллелограмм	1

Для заданий 4 и 5 учащиеся самостоятельно разрабатывают дескрипторы и дополняют таблицу. Затем необходимо обсудить дескрипторы и правильность выполнения задач.

В конце урока учащиеся сдают листы оценивания с целью их анализа и планирования следующего урока.

Слайд 5

Раздаточный материал

Раздаточный материал, Слайд 6

Конец урока

5 мин

В конце урока необходимо подвести итог, затем учащиеся проводят рефлексию

Рефлексия:

– что узнал, чему научился

– что осталось непонятным

– над чем необходимо работать

Домашнее задание

Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.
Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.
В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол ВАС.

Раздаточный материал

Дополнительная информация

Дифференциация – каким образом Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащимися?

Здоровье и соблюдение техники безопасности

При делении на пары необходимо учитывать уровень подготовленности учащихся. Пары необходимо организовать таким образом, чтобы вместе сидели слабый и сильный учащийся. Таким образом при выполнении заданий сильные учащиеся смогут оказывать поддержку слабым. Практическая работа содержит задачи различного уровня сложности. Каждая пара получает работу согласно своего уровня. Три задачи для самостоятельного решения содержат готовые дескрипторы, поэтому с ними справятся все учащиеся, еще для двух заданий необходимо самостоятельно разработать алгоритм решения и составить дескрипторы. С таким заданием должно справиться большинство учащихся. Дополнительные задачи для некоторых учащихся.

В ходе урока каждое задание формативно оценивается, учащиеся проводят взаимооценивание.

Материал урока подобран в соответствии с возрастными особенностями учащихся, поэтому не нарушается эмоциональное здоровье учащихся. Никакое оборудование, способное принести физический вред ученикам, не используется

Рефлексия по уроку

Были ли цели урока/цели обучения реалистичными?

Все ли учащиеся достигли ЦО?

Если нет, то почему?

Правильно ли проведена дифференциация на уроке?

Выдержаны ли были временные этапы урока?

Какие отступления были от плана урока и почему?

Используйте данный раздел для размышлений об уроке. Ответьте на самые важные вопросы о Вашем уроке из левой колонки.

Общая оценка

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что могло бы способствовать улучшению урока (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

Что я выявил(а) за время урока о классе или достижениях/трудностях отдельных учеников, на что необходимо обратить внимание на последующих уроках?

Источник

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Цели урока:

Образовательные:

Вспомнить понятие медиана треугольника;
доказать теорему о пересечении медиан треугольника;
рассмотреть свойства медианы треугольника применительно к его площади;
научить применять их при решении задач.

Развивающие:

Развивать интерес к геометрии, логическое мышление;
формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

совершенствовать графическую культуру.

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к исследовательской деятельности, к синтезу и анализу.

Воспитательные:

Мотивировать детей к самообразованию.
Воспитывать интерес к геометрии, расширять кругозор учащихся
Прививать аккуратность в оформлении геометрических задач, культуру устной речи.

Оборудование к уроку: компьютер, мультимедийный проектор, документ камера, презентация Microsoft PowerPoint.

Структура урока.

Вид деятельности.

№ слайдов.

мин.

1. Организация начала урока.

1-3

2. Проверка домашнего задания

3. Повторение изученного материала. Признаки подобия треугольников. Средняя линия треугольника.

4-6

4. Изучение нового материала. Свойство медиан треугольника.

7-9

10-14

5. Физкультминутка.

6. Закрепление нового материала. Решение задач.

22-23

7. Подведение итогов.

8. Домашнее задание.

Ход урока:

Организационный этап.

Приветствие учащихся, проверка готовности к уроку (необходимые принадлежности, тетрадь, учебник).

Проверка ДЗ.

С помощью документ камеры решение домашнего задания (№ 570) из тетради учащегося проектируется на экран. Учащийся комментирует решение.

1 человек доказывает теорему о средней линии на доске

Повторение изученного материала

Для повторения предыдущих тем выполним небольшую комбинированную самостоятельную работу. Она будет включать в себя теоретические и практические задания.

Вариант 1

1.М и N-середина сторон АС и СВ треугольника АВС. Найдите АВ и угол В, если МN=8 см, <СNМ= 46̊.

А) выпишите внутренние односторонние углы.(1 и 3, 2 и 4).

Б) Что можно сказать о внутренних односторонних углах? ( Их сумма равна 180).

3. Что такое средняя линия треугольника?

Вариант 2

1.Е и F – середины сторон АВ И ВС треугольника АВС. Найдите ЕF и угол ВEF, если AC=14 см,

А) выпишите внутренние накрест лежащие углы. (1 и 4, 2 и 3).

Б) Что можно сказать о внутренних накрест лежащих углах? (Они равны).

3. Каким свойством обладает средняя линия треугольника?

Устный опрос учащихся:

1. Параллелограмм – это?

2. Свойства параллелограма?

3. Теорема Пифагора.

4.Какие треугольники называются подобными?

5. 1,2,3 признаки подобия треугольников?

6. Какие треугольники называются равными?

7. Сформулируйте 1,2,3 признаки равенства треугольников.

8. Средняя линия треугольника – это?

9. Теорема о средней линии треугольника.

Объяснение нового материала. Свойство медиан треугольника.

Прежде, чем перейдем к изучению нового материала откройте учебник стр.146 запишите формулировку теоремы, которую мы сегодня разберем:

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1.

Постройте чертеж

Что такое медиана?

(Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны).

Запишите условие:

Дано: AB1=B1C CA1=A1B AA1BB1=O

Доказать:

Чем является отрезок A1B1?

Средней линией ABC

Какие свойства средней линии нам известны

(Она параллельна одной из сторон и равна ее половине).

B1A1||AB, что можно сказать об углах A1B1B и B1BA? (Они равны, как внутренние накрест лежащие).

Что мы можем сказать о AOB и A1OB1? (Они подобны, т.к у них 2 пары равных) углов.

Что следует из подобия?

Мы доказали, что две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1. То, что третья медиана и одна из этих двух делятся точкой пересечения в том же отношении, доказывается аналогично. Это значит, что все 3 медианы пересекаются в одной точке.

5. Физкультминутка

Гимнастика для глаз

1. Плотно закрывать и широко открывать глаза 4-6 раз подряд с интервалом 15 секунд .

2. Посмотреть вверх, вниз, вправо, влево, не поворачивая головы (в течение 1 мин.).

3. Вращать глазами по кругу: вниз, вправо, вверх, влево и в обратную сторону (2 мин.).

4. Крепко зажмурить глаза на 3-5 сек. Затем открыть глаза на 3-5 сек. Повторить 6-8 раз.

5. Быстро моргать в течение 1-2 мин.

6. Закрыть веки. Массировать их круговыми движениями пальца (верхнее веко от носа к наружному краю глаза, нижнее веко от наружного края к носу, затем, наоборот) в течение 1 мин.

7. Смотреть вдаль прямо перед собой 2-3 сек. Перевести взгляд на кончик носа на 3-5 сек. Повторить 6-8 раз.

6. Закрепление изученного материала

№564

Дано: AB=8см AC=7см BC=5см

AE=BE CF=BF AG=CG

Найти: PEFG

В) Как называются отрезки EF, EG, FG?

В) Чему равны их длины?

В) Чему равен периметр треугольника?

Решение: т.к. EF, EG, FG – средние линии ABС, то

Ответ:10см

N568а

Дано: ABCD-прямоугольник AE=BE=BF=FC CG=DG AH=DH

Доказать: EFGH – ромб

Док-во: проведем диагонали AC и BD

EF-средняя линия ABC EF=AC/2

HG-средняя линия ADC HG=AC/2

Аналогично EH=FG=BD/2

По свойству диагоналей прямоугольника AC=BD, значит EF=HG=EH=FG

EFGH-ромб

Подведение итогов.

Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.

Сформулируйте свойство медиан треугольника.

8. Домашнее задание.

Стр.146 п.62, №569, №604

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя образовательная школа №8

Конспект урока

по геометрии

Тема: Свойство медиан треугольника.

Выполнен: студенткой 4 курса

заочной формы обучения (б/о),

отделения МИ

физико-математического ф-та

Никитиной Н.С.

Проверен: учителем математики высшей квалификационной категории Варченко О. А.

Острогожск 2017

Источник

Автор разработки: Голубова Виктория Витальевна

МБОУ «Отрадненская средняя общеобразовательная школа № 2»

город Отрадное

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Геометрия

8 класс

«Свойство медиан треугольника»

Урок ознакомления с новым материалом (1 час). Глава 7. Подобие треугольников.

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

УМК: учебник «Геометрия 7 – 9», Л. С. Атанасян и др. Москва «Просвещение» 2014.

Цель урока: сформулировать и доказать свойство медиан треугольника.

Задачи урока:

развивать умения наблюдать, сопоставлять, выдвигать гипотезы;
развивать и закреплять умение работы с чертежом;
развивать умение применять новые знания;
формировать умение применять систематические знания о плоских

фигурах, их свойствах, к решению задач геометрического содержания.

Оборудование: ПК, колонки, интерактивная доска, просто доска, проектор, СД Электронное приложение к учебнику «Геометрия 7,8,9» Л. С. Атанасян и др., карточки с практическим заданием (4 варианта).

Этапы урока:

Организационный момент – 1 мин.
Проверка домашнего задания – 4 мин.
Актуализация опорных знаний – 4 мин.
Постановка учебной задачи. Публикация гипотезы – 10 мин.
Изучение нового материала – 6 мин.
Проверка усвоения нового материала – 6 мин.
Применение знаний и умений – 9 мин.
Итоги урока. Рефлексия – 3 мин
Домашнее задание – 2 мин.

Информационные ресурсы:

Электронное приложение к учебнику «Геометрия 7,8,9» Л. С. Атанасян и др, Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 2014
Учебник «Геометрия 7 – 9», Л. С. Атанасян и др. Москва «Просвещение» 2014.

КОНСПЕКТ УРОКА

Примечание:

перед уроком взять тетрадь с выполненным домашним заданием (№ 568 б) у ученика…(желательно сильного) проверить его, сканировать себе на ПК;
на парты разложить карточки и смайлики;
на доске записать дату и девиз урока;
на доске записать понятия: средняя линия треугольника, подобные треугольники, медиана треугольника.

Действия учителя

На доске

Действия учащихся

Здравствуйте!

Проверим готовность к уроку.

Настроимся на рабочий лад.

Сегодня (сообщает дату).

Девиз сегодняшнего урока (читает с доски).

Садитесь.

Начинаем работать и приготовимся к проверке домашнего задания.

Дата.

Девиз урока: «Знать, понимать, применять!»

Учащиеся на перемене

подготовились к уроку. Со звонком встали возле своих мест. Проверили готовность к уроку, настроились, внимательно слушали учителя. Садятся, открывают тетради, выполняют рабочую запись (дата, классная работа и девиз урока).

Готовы к проверке домашнего задания.

Пока учащиеся открывают тетради и выполняют записи, учитель включает интерактивную доску с выбранной функцией «перо» и проецирует на нее домашнее задание выполненное учеником…

Учитель внимательно следит за ответом у доски (если есть ошибки или неточности он может их исправить «пером»). Учитель обращается к ученику:

«Спасибо за ответ. Можешь садится».

На интерактивной

доске проецируется страничка из тетради ученика…с решенным заданием.

Ученик…выходит к доске и объясняет свое решение. Ученики внимательно слушают (могут задавать вопросы или указывать на допущенные ошибки или неточности).

Ученики проверяют свое решение.

Ученик сообщает ответ на вопрос задачи.

После ответа ученик садится на свое место.

Ученики готовы к следующему этапу урока.

Давайте вспомним такие понятия как (читает с доски),

И знания об этих объектах которые мы применяем при решении задач с геометрическим содержанием

Средняя линия треугольника.

Подобные треугольники.

Медиана треугольника.

Отвечают ученики: дают определения, формулируют свойства, признаки.

(Обязательно должны вспомнить, что медианы треугольника пересекаются в одной точке).

Итак, сегодняшний урок посвящаем медианам треугольника.

Попробуем сформулировать тему урока.

Запишем тему урока (записывает на доске).

Выполним практическую работу (в парах) в ходе которой выясним, что медианы обладают свойством, которое вам предстоит сформулировать.

И далее познакомимся с его доказательством.

Возьмите карточку (приложение № 2) которая лежит у Вас на парте, прочитайте и выполните задание.

Вызывает двух учеников выполнять практическую работу у доски

Учитель наблюдает за выполнением задания (помогает…)

Вы удачно выполнили работу и сейчас убедимся в верности вашей гипотезы.

Свойство медиан треугольника.

Включить интерактивную доску, флипчарт (приложение №1)

Ученики работающие у доски, записывают мелом свои решения на обычной доске

Ученики предлагают свои варианты (среди них обязательно прозвучит «свойство медиан»).

Записывают тему урока в тетрадь.

Выполняют задание в тетради.

Выбирают на панели инструментов «линейку» и выполняют задание. Один ученик измеряет, второй записывает и находит отношения…

В ходе выполнения задания находят закономерность, сравнивают свои результаты (коллективно), выдвигают гипотезу – вывод, формулируют и сообщают учителю.

Ученики готовы к следующему этапу урока.

Запускает электронное приложение к учебнику (оглавление, стр.145, п. 64, анимация «свойство медиан треугольника».

(Я запускаю два раза: первый с остановками, второй без остановок)

Включена интерактивная доска. Запускается приложение.

Внимательно, вдумчиво слушают доказательство.

После просмотра, записывают свойство медиан треугольника в тетрадь.

Убедимся, что новое знание поможет ответить на вопрос задачи: дан равнобедренный

треугольник ABC, точки D и E являются серединами сторон AC и CB так, что AD=DC=CE=EB, AE=15, AB=16. Найти периметр треугольника DOE?

Может задавать наводящие вопросы:

Какие стороны являются боковыми?;
Чем является отрезок DE для треугольника ABC?;
Как назовем отрезки AE и DB?;
Что скажем про медианы проведенные к боковым сторонам в равнобедренном треугольнике?;
Каким свойством обладают медианы треугольника?;
Что скажем про треугольники DOE и AOB?;

Молодцы справились с задачей, применили новое знание. Будем дальше учиться его применять и закреплять его в решении задач.

На интерактивной доске слайд с текстом задачи (приложение 3)

Чертеж к задаче.

Решение.

Ответ

Ученики выполняют чертеж, оформляют решение задачи.

Один из учеников (по желанию) выполняет чертеж к задачи на обычной доске.

Оформляет условие.

Класс участвует в решении задачи.

Записывает решение. Ответ.

Ученики готовы к следующему этапу урока.

Решим задачу.

Откроем учебник §3.

№ 570.

(Для решения задачи вызвать к доске сильного ученика).

Может задавать наводящие вопросы. Или обращаться к «помощи зала».

Включить интерактивную доску для работы ученика.

Решение.

Ответ.

Выполняет чертеж к задачи на интерактивной доске.

Решение оформляет на обычной доске.

Остальные учащие работают в своих тетрадях.

Ученики готовы к следующему этапу урока.

Подведем итоги.

Что нового мы узнали, чему научились ?

Вспомним девиз урока, на «смайлике» поставим «+» или «-« соответственно вашему восприятию материала урока.

Передайте их на первые парты.

Подготовьте дневники для записи домашнего задания.

И отметок за работу на уроке.

Сообщает кому и за что какая отметка выставляется.

Поднимают руки, отвечают.

Выставляют соответственно «+» или «-« и передают на первые парты.

Выставляют себе отметку в дневник которую огласил учитель.

Ученики готовы к следующему этапу урока.

Сообщает домашнее задание:

п. 62 оформить решение задачи 1 в тетрадь. №571.

Спасибо за урок, до встречи.

п.62(задача 1),

№ 571.

Записывают в дневники домашнее задание.

Звенит звонок, ученики встают.

Кому выставлена отметка, подают дневник на подпись учителю.

ПРИЛОЖЕНИ 1

Задание. Найдите отношения . Сделайте вывод. Запишите этот вывод в любой для вас форме.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Дан равнобедренный треугольник ABC,

точки D и E являются серединами сторон AC и CB так,

что AD=DC=CE=EB, AE=15, AB=16.

Найти периметр треугольника DOE?

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Источник