В каком классе изучают свойство гипотенузы прямоугольного треугольника

Конспект урока геометрии в 8 классе по теме: «Теорема Пифагора»

Тема урока: «Теорема Пифагора».

Цель урока: Дать понятие о теореме Пифагора, о многообразии способов ее доказательства, первичное применение теоремы для решения задач.

Задачи урока:

1. исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника; изучить теорему Пифагора; формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;

2. УУД:

• Познавательные: развивать основы логического и алгоритмического мышления; расширять кругозор учащихся; развивать интерес к математике.

• Регулятивные: развивать умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

• Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

• Личностные: развивать навыки сотрудничества со сверстниками, внимания, памяти, воображения.

Тип урока:формирование новых знаний и умений.

Формы работы учащихся:фронтальная, индивидуальная, групповая.

Необходимое техническое оборудование:компьютер, проектор.

Дидактические средства: учебник, электронная презентация, раздаточный материал.

Методы и приемы: фронтальная работа, сочетающаяся с общеклассной; частично-поисковый метод; индивидуальная работа; работа в парах. 

Эпиграф урока:“Геометрия владеет двумя сокровищами, одно из них – …”. (слайд 1)

Иоганн Кеплер

План урока:

1. Организационный момент. (1 мин.)

2. Устная работа. (10 мин.)

3. Проблемная ситуация. (5 мин.)

4. Сообщение главной цели урока.

5. Исследовательская работа (в парах).

6. Изучение нового материала. (10 мин.)

7. Физминутка.

8. Закрепление изученного материала. ( решение задач) (10 мин.)

9. Применение теоремы Пифагора.

10. Подведение итога урока. (1 мин.)

11. Домашнее задание. (3 мин.)

12. Рефлексия.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Устная работа.

Какая геометрическая фигура изображена на экране? (слайд 2).

Какой треугольник называется прямоугольным?

Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла,называется… (слайд 3).

Стороны, образующие прямой угол, называются…

Учитель. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников, которые мы уже знаем (слайд 4).

Продолжите предложения:

1. Сумма двух острых угловпрямоугольного треугольника равна . (слайд 5).

По рисунку найдите угол 3 если сумма углов 1 и 2 равна 900. (слайд 6).

2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. (слайд 7).

– Один из углов прямоугольного треугольника равен 15°. Чему равны остальные углы?

– Один из углов из углов прямоугольного треугольника равен 30°, катет, противолежащий ему, равен 13 см. Чему равна гипотенуза?

– Катет прямоугольного треугольника равен 16 дм, гипотенуза – 32 дм. Найдите углы треугольника.

Учитель. – Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников

Сначала учащиеся формулируют признаки равенства прямоугольных треугольников, а затем переходим к решению задач на доказательство по готовым чертежам:

Докажите, что треугольники равны. (слайд 8).

Учитель. Посмотрим, что вы помните о свойствах площадей: (слайд 8).

– Равные многоугольники имеют … (слайд 9).

– Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна … (слайд ).

– Площадь квадрата равна … (слайд 10).

– Сторона квадрата 14 см. Чему равна площадь квадрата?

– Площадь квадрата 225 м2. Найдите его сторону.

– Площадь прямоугольного треугольника равна … (слайд 11).

– Катеты прямоугольного треугольника 4 см и 8 см. Найдите его площадь.

3. Проблемная ситуация.

А теперь давайте решим небольшую задачу. (слайд 12)

Задача 1. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в противоположных направлениях. Пешеход пошел на запад со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час?

На каком предмете обычно решают такие задачи?

Задача 2. Велосипедист и пешеход отправились одновременно из одного населенного пункта в разных направлениях. Пешеход пошел на юг со скоростью 5 км/ч, а велосипедист поехал на восток со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними через час? (слайд 13)

Какая фигура получилась? Какие стороны известны? Что найти?

Тех знаний о прямоугольном треугольнике, которые мы имеем, не хватает. Последнюю задачу решить не можем.

Сформулируйте то, что мы должны знать, чтоб решить эту задачу? Это и будет целью нашего урока.

4. Сообщение главной цели урока.

Цель нашего урока как раз и заключается в том, чтобы выяснить, как связаны между собой стороны прямоугольного треугольника. (слайд 14)

5. Исследовательская работа (в парах).

Чтоб это выяснить, мы займемся исследовательской деятельностью. Работаем в парах.

1) Учащиеся, получившие бумажные треугольники, выполняют задание:

а)Измерьте стороны треугольников и заполните таблицу на доске:

№

a

b

c

a 2

b 2

c 2

a 2 + b 2

1.

8

15

17

64

225

289

289

2.

7

24

25

49

576

625

625

3.

6

8

10

36

64

100

100

2) (дополнительное) Я вам раздам лист, на котором оранжевым цветом закрашен равнобедренный прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты. Ответьте на два вопроса и сделайте вывод.

Вывод: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Так изначально формулировалась теорема Пифагора.

1. Вычислите, чему равен квадрат гипотенузы.

2. Найдите сумму квадратов катетов.

3. Какой можно сделать вывод?

Ученик. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Можно ли из данных этой работы сделать такой вывод о связи катетов и гипотенузы всех прямоугольных треугольников? (Нет, т. к. из частных случаев не следуют общие заключения).

Учитель.

То, к чему мы пришли опытным путем, доказал древнегреческий ученый Пифагор в 6 в. до н. э. Он не открыл эту теорему (она была известна еще в Древнем Египте и Вавилоне), а нашел ее доказательство.

Итак, какова же тема нашего сегодняшнего урока? ( «Теорема Пифагора»). (слайд 15)

Эта теорема является основой решения множества геометрических задач и базой изучения теоретического материала в дальнейшем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.

Докажем эту теорему и решим несколько задач с её применением.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников (слайд 16).

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так:

“Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”.

Действительно, с2 – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а2 и b2 – площади квадратов, построенных на катетах.

Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. На рисунке вы видите, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

В древние времена, доказывая эту теорему, чертили чертёж и просто говорили: «Смотри!».

Возникает вопрос, для любого ли прямоугольно треугольника справедливо это равенство или только для равнобедренного прямоугольного треугольника?

6. Изучение нового материала.

«Для того чтобы усовершенствовать ум, надо больше рассуждать, чем заучивать».

                                                                                                   Р. Декарт

Учитель.

– А кто из вас что-нибудь слышал об этой теореме? (Пифагоровы штаны на все стороны равны).

– Действительно, это шуточная формулировка теоремы. Почему так говорят, вы узнаете несколько позже, сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке. Я хочу, чтобы вы попробовали доказать её сами, используя свойства площадей и метод, который мы использовали при введении формул сокращённого умножения, при выводе формул площадей некоторых фигур.

Теорема:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Выделите в данной теореме условие и заключение.

Ученик. Условие: в прямоугольном треугольнике. Заключение: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Итак, нам дан прямоугольный треугольник с катетами a, b, гипотенузой с.

а

в

Запись на доске:

А

с

с

а

в

Дано:

с

в

∆АВС;

с

С=90;

с

а

а

в

С

В

АВ=с;

ВС=а;

а

в

АС=в;

Док-ть:

Учитель. Доказательство:

1. Достроим прямоугольный треугольник c катетами a, b, гипотенузой с до квадрата со стороной a+b. (Далее доказательство сопровождается пошаговой иллюстрацией производимых действий).

2. Площадь S этого квадрата равна

3. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна, и квадрата со стороной , поэтому

4. Таким образом,

Теорема доказана.

Найдите формулировку теоремы в учебнике.

6. Физминутка.

Устали? Чтоб немного отдохнуть от умственной деятельности, давайте разомнемся!

Минута отдыха. Стихотворение, посвящённое теореме.

Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путём
К результату мы придём.