В каком классе изучают свойства функций
О преемственности при изучении темы «Функции и графики»
Реализация преемственности в обучении заключается в установлении необходимых связей и правильных соотношений между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения.
Прочный фундамент для изучения математики закладывается в курсе алгебры и геометрии основной школы. От того, какие знания получат учащиеся в основной школе, какие умения и навыки у них будут вырабатываться, зависит успех изучения курса математики в старших классах, а следовательно, и сознательное применение полученных знаний в решении конкретных задач. Этот вопрос является сложной педагогической задачей, его решение, как показывает опыт, необходимо рассматривать и через совершенствование всего процесса обучения, и через стабилизацию содержания курса математики, и через ориентацию преподавания по линии прикладной направленности курса математики, и, в частности, через совершенствование преемственных связей поэтапного изучения математики.
Изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебры основной школы. И это не случайно. Понятие функции имеет огромное прикладное значение. В нём, «как в зародыше, уже заложена вся идея овладения явлений природы и процессами техники с помощью математического аппарата». Многие из физических, химических, биологических процессов, без которых немыслима жизнь, являются функциями времени. Экономические процессы также представляют собой функциональные зависимости. Функции играют важную роль в программировании и криптографии, в проектировании различных механизмов, в страховании, в расчётах на прочность и т.д.
В курсе алгебры и начале математического анализа в 10-11 классах предусматривается дальнейшее изучение элементарных функций и их свойств. Формирование функциональных представлений является основным стержнем программы и учебных пособий для этих классов.
Введение понятий непрерывности, предела, производной и интеграла в старших классах даёт возможность более глубоко изучать свойства линейной, квадратной, степенной, тригонометрических, показательной и логарифмической функций, показать их практическое применение, а так же позволяет более тесно связать курс геометрии с началами анализа, математику с физикой, техникой, химией.
От тога как усвоены учащимися умения, приобретаемые шольниками при изучении функций, зависит успешность усвоения многих разделов школьного курса математики.
При выделении обязательных задач по теме «Функции», так же как и по любой другой теме курса математики основной школы, следует ориентироваться на то, что обучение в 7 – 9 классах представляет собой не завершающий, а промежуточный этап в системе математического образования каждого школьника. На базе полученной им математической подготовки строиться его дальнейшее обучение. В первую очередь, следует проанализировать характер и уровень использования различных умений на следующих ступенях обучения.
Кроме того, важное значение имеет характер применения математических знаний учащихся в смежных школьных предметах.
Анализ теоретического и задачного материала по теме «Функция» позволяет выделить две группы умений, за формированием которых следует тщательно при изучении всех видов конкретных функций, – умение работать с формулой, задающей функцию, и умения работать с графиком этой функции.
К умениям работать с формулами относятся следующие.
Для функций, изучаемых в основной школе, вида y = kx + b, y = , y = ax2 + bx + c (при заданных a, b, c), y = x3 , y = учащиеся должны уметь:
- указать область определения функции;
- вычислить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
- вычислить значение аргумента, при котором функция принимает заданное значение;
- определить, принадлежит ли точка с заданными координатами графику функции.
Все эти умения широко используются в разной деятельности учащихся, входят в качестве составных в большое число других умений. Так, например, умение найти значение функции при заданном значении аргумента используется при построении графиков функций, нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, вычисления пределов функций, интегралов. В курсе физики оно используется практически при изучении всех вопросов. Это так называемые вычисления по формулам: длины пройденного пути при равномерном прямолинейном движении, силы тока в проводнике, координаты тела при равномерном и равноускоренном движении. Умение записать нужное равенство, зная, что заданная точка принадлежит графику функции, требуется учащимся, например, в курсе геометрии при выводе уравнения прямой, окружности, плоскости.
Важнейшее значение функциональной подготовки учащихся основной школы имеет формирование графических умений. График – это средство наглядности, широко используемое при изучении многих вопросов в школе. В средней школе функция неотделима от её графического представления. График функции выступает основным опорным образом при формировании ряда понятий – возрастания и убывания функции, чёткости и нечёткости, обратимости функции, понятие экстремума. Без чётких представлений учащихся о графике невозможно привлечение геометрической наглядности при формировании таких центральных понятий курса алгебры и начал анализа, как непрерывность, производная, интеграл.
Поэтому заниматься формированием графических представлений в старших классах уже поздно. К этому времени у учащихся должны быть выработаны прочные умения как в построении, так и в чтении графиков функции. Прежде всего учащиеся должны уметь свободно строить графики основных функций: y = kx + b, y = , y = ax2 + bx + c ( при конкретных значениях параметров), y = x3.
Необходимой базой последующего применения функционального материала являются прочные самостоятельные умения учащихся в чтении графиков функции. Они должны уметь уверенно и свободно отвечать с помощью графика на целый ряд вопросов:
- по заданному значению одной из переменных x или y определить значение другой;
- определить промежутки возрастания и убывания функций;
- определять промежутки знакопостоянства;
- для квадратичной функции указывать значения аргумента, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значения, а так же определять это значение.
Ученики должны хорошо представлять себе вид графиков некоторых функций, а именно: y = x, y = – x, y = x2, и уметь без специального построения по точкам показывать их расположение в координатной плоскости.
Рассмотрим примеры заданий по чтению графиков функций содержащихся в материалах ЕГЭ.
Задание 1 (А). На рисунке 1 изображен график функции, определенной на отрезке [— 4;8]. Ука жите, сколько на этом отрезке имеется промежут ков, на которых функция убывает.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.
Решение. Функция у = f (x) возрастает на промежутке, если для любых двух значений аргу мента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Рис. 1
Соответственно, на этом промежутке при движении слева направо вдоль оси абсцисс часть графика «идет вверх».
Аналогично определяется убывание функции на промежутке: при увеличении аргумента значе ния функции уменьшаются (график «идет вниз»). На приведенном рисунке имеется два промежут ка убывания функции: [—1; 2] и [4; 6]. Ответ: 2.
Задание 2 (В). Функция у = f (х) определена на проме жутке (—5; 8). На рис. 2 изображен график ее производной. Найдите число касательных к гра фику функции у = f(х), которые наклонены под углом в 135° к положительному направлению оси абсцисс.
Рис. 2
Пример 3 (для 9 класса). Турист собрался в поход. В походе он сделал два привала и после второго привала вернулся на турбазу. На рисунке 4 изображен график движения туриста (по горизонтальной оси откладывается время в часах; по вертикальной — расстояние от турбазы в километрах). Используя график, ответьте на вопросы:
1) Сколько времени турист потратил на привалы?
2) С какой скоростью (в км/ч) он шел от первого до второго привала?
3) Какова средняя скорость туриста за все время движения (время на привалы не учитывать)?
Решение. 1) На первый привал турист по тратил 1 час, на второй — 2 часа, то есть — всего 3 часа.
2) За 2 часа, что турист находился в пути от первого привала до второго (6 — 4 = 2), он про шел 10 км (16 — 6 == 10). Значит, его скорость на этом участке была равна 10:2=5 (км/ч).
3) За время похода турист прошел 32 км (16 км до второго привала и столько же обратно), по тратив на это 13 часов. Так как 3 часа он потратил на привалы, то в пути турист находился 10 часов.
Поэтому его средняя скорость за всё время движения равна 32 : 10 = 3,2 (км/ч). Ответ: 1) 3 ч.; 2) 5 км/ч; 3) 3,2 км/ч.
Источник
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №48. Функции. Свойства функций и их графики. Исследование функций.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- функция, аргумент функции, значение функции
- график функции, преобразование графика функции
- свойства функции, исследование свойств функции
Глоссарий по теме урока
Определение
Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
х – независимая переменная, аргумент,
у – зависимая переменная, значение функции
Определение
Множество значений аргумента функции называется областью определения функции и обозначается D(y).
Определение
Множество значений, которые принимает сама функция, называется множеством значений функции и обозначается Е(у).
Определение
Функция у = f(х) называется четной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
- для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=f(х).
Функция у = f(х) называется нечетной, если она обладает двумя свойствами:
- область определения этой функции симметрична относительно 0;
для любого х из области определения выполняется равенство f(-х)=-f(х).
Определение
Значения аргумента, при которых значение функции равно 0, называются корнями (нулями) функции.
Определение
Функция у=f(x) возрастает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что х1<х2, выполняется неравенство у1<у2.
Функция у=f(x) убывает на промежутке (а; в), если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких что, х1<х2, выполняется неравенство у1>у2.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл.– М.: Просвещение, 2015. С. 98-118, 271-307.
Дополнительная литература:
Шахмейстер А.Х. Построение и преобразование графиков. Параметры. Ч.2-3. СПб.: Петроглиф; М.: МЦНМО, 2016. 392 с. С.73-307.
Открытые электронные ресурсы:
Образовательный портал “Решу ЕГЭ”.
https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. https://ege.fipi.ru/.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
1. Исследование функции и построение графика
Схема исследования функции на примере функции
1) Область определения функции
Знаменатель дроби не равен нулю:
Получили область определения
D(y)=
- Множество значений функции
Отыскание Е(у) можно свести к решению уравнения с параметром у. Все значения параметра у, при которых уравнение имеет хотя бы одно решение, и составят Е (у).
Получили
- Четность / нечетность функции
D(y)= – симметрична относительно нуля
,
следовательно, функция четная и ее график симметричен относительно оси ОУ
- Нули функции
Для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение
Уравнение не имеет действительных корней, значит, нулей у данной функции нет, ее график не пересекает ось ОХ
- Промежутки знакопостоянства
у>0 при
у<0 при
- Монотонность
Найдем производную
Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует: х=0, х=-1, х=1.
Определим знаки производной в полученных промежутках.
точки -1, 1 – выколоты, 0 – закрашена
Производная положительна, а значит, функция возрастает при .
Производная отрицательна, а значит, функция убывает при
- Экстремум
х=0 – стационарная точка.
В ней производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, х=0 – точка максимума.
Значение функции в точке максимума
- Дополнительные точки
у(0,5)= у(-0,5)=-5/3; у(2)=у(-2)=5/3; у(3)= у(-3)=5/4
- Отразим найденные свойства графически, построим график функции
2. Решение задачи на оптимизацию
Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин решаются по определенному плану.
В решении таких задач выделяют 3 основных этапа:
1 этап. «Перевод» задачи на язык функций:
- вводят независимую переменную х
- выявляют оптимизируемую величину у, для которой надо найти наибольшее или наименьшее значение
- выражают у через х и другие известные величины
- устанавливают по условию задачи границы изменения переменной х
2 этап. Исследуют составленную функцию на наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от условия задачи) с помощью производной или элементарными средствами.
3 этап. Интерпретация найденного решения для поставленной задачи – «перевод» полученного математического результата на язык задачи.
Рассмотрим план решения на примере задачи.
Задача. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t2 у.е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t2 у.е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у.е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
1 этап. Ведем переменную, выразим нужные компоненты, составим искомую функцию.
Пусть на 1 объект направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит 4×2 у.е.
Тогда на 2 объект направлено (24 – x) рабочих – суточная заработная плата (24 – x)2 (у.е.)
Всем рабочим нужно заплатить 4×2+(24 – x)2 = 5×2 -48x+576 (у.е.)
Причем 0≤ x ≤ 24, x ϵ N.
2 этап.
Рассмотрим функцию f(x)=5×2-48x+576.
Функция квадратичная, старший коэффициент положителен, следовательно, наименьшее значение в вершине при x0 = 4,8 .
3 этап. Перевод на язык задачи
Поскольку x ϵ N, подходящим будет ближайшее к вершине натуральное значение, x=5 (рабочих) – на 1 объекте.
24-5=19 (рабочих) – на 2 объекте.
Наименьшее значение f(5)=125+240-576=461 (у.е.) – наименьшая суточная выплата.
Примечание: исследовать функцию также можно было с помощью производной.
Ответ: 5 рабочих на 1 объекте, 19 – на втором, 461 у.е. – наименьшая суточная выплата.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Исследуйте функции на четность.
Функции |
у=0 |
у=sin(x+5π/2) |
у=lg(x+10) |
Решение:
- у=0
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
у(-х)=0, что можно интерпретировать и как у(х), и как –у(х). К тому же график этой функции – прямая, совпадающая с осью ОХ, – симметричен относительно оси ОУ и относительно начала координат.
Данная функция одновременно четна и нечетна.
- у=sin(x+5π/2)
область определения – множество действительных чисел – симметрична относительно нуля
преобразуем функцию, применив формулы приведения: sin(x+5π/2)=cos x
у= cos x – четная функция, значит, исходная функция также четная
- у=lg(x+10)
логарифмируемое выражение должно быть положительным
x+10>0; x>-10
D(y): x>-10
Область определения несимметрична относительно 0, значит, в проверке второго условия нет необходимости, – функция общего вида.
Найдем область определения D(f)
Проверим второе условие
Полученное в результате подстановки –х в функцию выражение, очевидно, не равно f(x), не дает пока понимания о выполнении условия нечетности.
Зайдем с другого конца, выразим -f(x):
домножим на сопряженное
Теперь можем сделать вывод: f(-x)=-f(x), функция нечётная.
Ответ:
Функции | Четность / нечетность |
у=0 | и четная, и нечетная |
у=sin(x+5π/2) | четная |
у=lg(x+10) | общего вида |
нечетная |
2.
Решение:
Используем функциональный подход при решении данной задачи. Представим каждое из уравнений как функции. Построим их графики. Единственное решение системы будем интерпретировать как единственную точку пересечения графиков функций первого и второго уравнений.
Второе уравнение проще, но содержит параметр. Перепишем его в явном виде для функции, выразив у: у=-х+а.
В таком виде понятно, что данное уравнение задает множество прямых, параллельных у=-х.
Первое уравнение содержит квадратные корни, что накладывает ограничения: х≥-4, у<7
Сгруппируем в скобках первое, третье и пятое слагаемые, второе и четвертое, получим:
Приравнивая каждый из множителей числителя к нулю, получаем прямые: у=4, у=х+3, х=-4, точнее, с учетом ограничений, части прямых.
Выполним построения выделенных функций.
Условию задачи удовлетворяют только такие прямые второго уравнения у=-х+а, которые пересекают графики первого уравнения только в одной точке.
Анализируя рисунок, получаем: а ≤ -5, а ≥11, а=5.
Ответ:
Источник
Слайд 1
Свойства функции Обобщающий урок
Слайд 2
План урока Повторение теоретического материала – Определения изученных свойств функции и отражение этих свойств на её графике – Перечисление свойств элементарных функций Теоретическая часть контроля Практическая часть контроля Решение заданий ГИА Подведение итогов Домашнее задание
Слайд 3
Свойства функции
Слайд 4
Свойства функции ЧЕТНОСТЬ Четная функция Нечетная функция Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х . Четная функция симметрична относительно оси ординат . Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х . Нечетная функция симметрична относительно начала координат .
Слайд 5
Монотонность Возрастающая Функцию у = f ( х ) называют возрастающей на множестве Х , если для любых двух точек х 1 и х 2 множества Х , таких , что х 1 f (х 2 ). x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) х 1 x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) Свойства функции
Слайд 6
Ограниченность Функцию у = f ( х ) называют ограниченной снизу на множестве Х , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа . Функцию у = f ( х ) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа . х у х у Свойства функции
Слайд 7
Наибольшее и наименьшее значения Число m называют наименьшим значением функции у = f ( х ) на множестве Х , если: в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = m . для всех х из Х выполняется неравенство f ( х ) ≥ f (х 0 ). Число M называют наибольшим значением функции у = f ( х ) на множестве Х , если: в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = M . для всех х из Х выполняется неравенство f ( х ) ≤ f (х 0 ). Свойства функции
Слайд 8
Непрерывность Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков . Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции. Свойства функции 1 2 подумай правильно
Слайд 9
Выпуклость Функция выпукла вниз на промежутке Х , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка . Функция выпукла вверх на промежутке Х , если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Свойства функции
Слайд 10
Алгоритм описания свойств функций Область определения Область значений Четность Монотонность Ограниченность Наибольшее и наименьшее значения Непрерывность Выпуклость Свойства функции
Слайд 11
Свойства функции y = kx + m (k ≠ 0) D ( f ) = (-∞; +∞ ); E ( f ) = (-∞; +∞); ни четная, ни нечетная; возрастает при k > 0 , убывает при k 0 k
Слайд 12
при k 0 D ( f ) = (-∞, +∞ ); E ( f ) = [ 0, +∞); четная; убывает на луче (-∞, 0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞ ); непрерывна; ограничена снизу, не ограничена сверху; у наиб не существует, у наим = 0; выпукла вниз. Свойства функции у = k х 2 Свойства функции
Слайд 13
при k > 0 D ( f ) = (-∞,0) U (0, + ∞ ); Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞); нечетная убывает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞ ); нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; имеет разрыв в точке х=0 ; выпукла вверх при х 0; не ограничена ни сверху, ни снизу . Свойства функции Свойства функции
Слайд 14
Свойсва функции Свойства функции при k 0 и выпукла вниз при х
Слайд 15
Свойства функции D ( f ) = [ 0,+∞ ); Е( f ) = [ 0, +∞); ни четная, ни нечетная; возрастает на всей области определения; ограничена снизу; у наим = 0, у наиб = не существует; непрерывна; выпукла вверх. Свойства функции y x
Слайд 16
Функция у = | х | D ( f ) = (-∞,+∞ ); Е( f ) = [ 0, +∞); четная; у бывает на луче (-∞,0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞ ) ; ограничена снизу, не ограничена сверху ; у наим = 0 , у наиб = не существует ; непрерывна ; можно считать выпуклой вниз. Свойства функции
Слайд 17
Функция у = ах 2 + b х + с при а > 0 D ( f ) = (-∞, +∞ ); Е( f ) = [ у 0 ; +∞) убывает на луче , возрастает на луче ; ограничена снизу; у наим = у 0 , у наиб не существует ; непрерывна; выпукла вниз; Свойства функции при а
Слайд 18
Теоретическая часть Взаимопроверка
Слайд 19
Теоретическая часть Взаимопроверка Вариант I В НИЖЕ У наим ВНИЗ
Слайд 20
Количество баллов Теоретическая часть Практическая часть Выполнение задания ГИА Всего баллов Оценка за урок Лист самооценки Ф И _____________________________________________________
Слайд 21
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ САМОПРОВЕРКА
Слайд 22
Вариант 2 D ( f ) = [ -4;+∞); Е( f ) = (0; 3] ; Ни четная, ни нечетная Возрастает на отрезке [-4; 0] убывает на луче [ 0;+∞) ; Ограничена снизу, ограничена сверху ; у наим = не существует , у наиб = 3 ; Непрерывна ; Выпукла вверх на отрезке [-4; 0] выпукла вниз на луче [ 0;+∞).
Слайд 23
Вариант 1 D ( f ) = (-∞,+∞); Е( f ) = (- ; 4] ; Ни четная, ни нечетная Возрастает на луче (- ; 1] убывает на луче [ 1;+∞) ; Ограничена сверху, не ограничена снизу ; у наим = не существует , у наиб = 4 ; Непрерывна ; Выпукла вверх
Слайд 24
Вариант 3 D ( y ) = (-∞;0) U (0;+ ∞) Е( y ) = (-5; 5) Нечётная Возрастает на [-3; 0) и (0;3]; убывает на (-∞;-3] и [3;+∞) Ограничена снизу, ограничена сверху у наим = не существует , у наиб = не существует Функция имеет разрыв в точке х = 0 Функция выпукла вверх на (-∞;-3] и выпукла вниз на [3;+∞) y x -5 -2 3 5 2 -3 0
Слайд 25
Г И А – 2014 тема: «Функции» Тест для вариантов 1 и 2
Слайд 26
ГИА – 2014: Установите соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают: 1. y = x + 1 2. y = x – 1 3. y = 1/x 4. y = x 2 – 1 А Б В
Слайд 27
0 х y 1 1 ГИА – 2014: Указать область значений функции
Слайд 28
ГИА – 2014: На каком (каких) рисунках изображен график четной функции? 4 2 1 х х х y 3 х y y y 0 0 0 0
Слайд 29
ГИА – 2014: Выбрать верное утверждение: х 1 0 y 2 3 4 -1 -2 1 2
Слайд 30
ТЕСТИРОВАНИЕ по заданиям ГИА САМОПРОВЕРКА 431 3 3 1
Слайд 31
31 Вариант 3 : Постройте и прочитайте график функции: x , если х 2; – ( х – 3) 2 + 3, если х 2. у х 2 3 3 0 1. D(f) = ( – ; + ) ; 2. ни четная, ни нечетная; 3. возрастает на отрезке [0; 3], убывает на луче (- ; 0] и на луче [3; + ); 4. не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. у наим ., у наиб . не сущ.; 6. непрерывна; 7. Е (f) = (- ; + ) ; 8. выпукла вверх на луче [2; + ).
Слайд 32
Подведение итогов Всего баллов Оценка 0 – 8 2 9 – 15 3 16 – 21 4 22 – 24 5
Слайд 33
Домашнее задание ВСЕМ : Сборник для подготовки к ГИА – № 1.7.23 – 1.7.25 Вариант 1 – записать свойства функции по графику на рис. 30, 35 Вариант 2 – записать свойства функции по графику на рис. 33, 42 Вариант 3 – файл в Дневник.ру ( Восстановить график функции , если известно, что она нечетная. Используя график, перечислить свойства функции )
Источник