В каком числе содержится 2 раза по 9

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОЛИМПИАДЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В 5 КЛАССЕ

Занятие 1

1. На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?

Ответ. 21 книга.

2. Двое поделили между собой 7 рублей, причем один из них получил на 3 рубля больше другого. Сколько кому досталось?

Ответ. Одному — 2 рубля, другому — 5 рублей.

3. Число 2002 “симметричное”, т.е. читается одинаково слева-направо и справа-налево. Напишите следующее за ним симметричное число.

Ответ. 2112.

4. Торговец купил корову за 7 долларов, продал ее за 8, потом вновь купил ту же корову за 9 долларов и опять продал за 10. Какую прибыль он получил?

Ответ. 2 доллара.

5. Напишите наименьшее 10-значное число, все цифры которого различны.

Ответ. 1023456789.

6. В коробке 14 белых и 14 чёрных шариков. Какое минимальное количество шариков нужно достать из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 2 черных шарика?

Ответ. 16.

7. Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3 конфеты, а каждая девочка — 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек?

Ответ. 15 мальчиков и 10 девочек.

8. После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили:
Добрыня Никитич: “Змея убил Алеша Попович.”
Илья Муромец: “Змея убил Добрыня Никитич.”
Алеша Попович: “Змея убил я.”
Кто убил змея, если только один из богатырей сказал правду?

Ответ. Добрыня Никитич.

9. Два поезда, оба длиной 50 м, движутся навстречу друг другу со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пройдёт от момента, когда встретятся машинисты, до момента, когда встретятся проводники последних вагонов?

Ответ. 4 секунды.

10. Чему равна сумма 123456789 + 234567891 + 345678912 + … + 912345678?

Ответ. 4999999995.

11. Произведение двух чисел умножили на их разность. Могло ли получиться 30?

Решение. Могло. Например: 5·2·(5 − 2) = 30.

12. Ваня, задумав некоторое число, умножил его на 2, затем к результату прибавил 3, после чего получившееся число разделил на 7, а потом, уменьшив частное на 1, сказал, что у него получилось число 2. Определите, какое число задумал Ваня.

Решение. Будем решать задачу с конца. В итоге у Вани получилось 2, значит, перед вычитанием 1 у него было 3. Аналогично перед делением на 7 у него было 21, перед прибавлением 3 — было 18, а перед умножением на 2 — было 9.

13. Расставьте в квадрате 4×4 одного короля, одного слона и двух ладей так, чтобы они не били друг друга.

Решение. Например, так:

14. Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На двери каждой комнаты написано: “Тут ровно один мальчик”. Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные. Докажите, что в одной из комнат находятся три мальчика.

Решение. Так как из ста надписей ровно 3 неверные, то 97 из них верные. Значит, в этих 97 комнатах по одному мальчику. Тогда в остальных трёх комнатах с неверными надписями всего 3 мальчика. При этом ни в какой из этих трёх комнат не может быть ровно один мальчик, так как иначе надпись на такой комнате будет верной. Трёх мальчиков можно распределить по трём комнатам следующими способами: 3 − 0 − 0, 2 − 1 − 0, 1 − 1 − 1. Последние два варианта не подходят, поэтому в какой-то комнате точно находятся три мальчика.

15. Можно ли расположить по кругу числа 1, 2, …, 8 так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была больше 13?

Решение. Нельзя.
Предположим, что такая расстановка возможна. Рассмотрим все возможные тройки подряд стоящих чисел. Каждое число войдёт ровно в три такие тройки, и в каждой тройке сумма чисел должна быть больше 13, а значит, не меньше 14. Всего троек будет 8, тогда общая сумма чисел в них будет не меньше, чем 14·8 = 112. В эту сумму каждое из выписанных чисел входит по три раза. Тогда получается, что сумма чисел от 1 до 8 равна числу, которое не меньше, чем 112⁄3 > 37. Но 1 + 2 + … + 8 = 8·9⁄2 = 36. Противоречие, значит указанной в условии расстановки не существует.

Занятие 2.Плюс-минус один

1. Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?

Решение. После каждого распила одна часть распадается на две, т.е. количество частей увеличивается на 1. В начале была одна часть (целое бревно), в итоге стало 6. Значит, было сделано 6 − 1 = 5 распилов.

2. Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней — 74. Сколько страниц выпало?

Решение. Рассмотрим страницы с 1-й по 74-ю. Из них в выпавший кусок не входят с 1-й по 34-ю. Значит, выпало 74 − 34 = 40 страниц.

3. Теперь у зайцев уже несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?

Решение. Так как после каждого распила количество чурбачков увеличивается на 1, то значит, после 20 распилов их количество также увеличилось на 20. Тогда изначально у зайцев было 27 − 20 = 7 брёвен.

4. Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных?

Решение. Двузначные числа — это 10, 11, 12, …, 99. Всего их 99 − 9 = 90.
Аналогично трёхзначных чисел 999 − 99 = 900.

5. Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала в понедельник утром?

Решение. За сутки (день и ночь) улитка будет продвигаться по столбу на 1 м (подниматься на 4 м днём и опускаться на 3 м ночью). В итоге после 6 суток она окажется на высоте 6 м и за следующий день доползёт до верха.

6. Главное здание МГУ состоит из нескольких секторов. Этажи в разных секторах отличаются по высоте. Из-за этого, например, получается, что переходы с 13 этажа сектора А ведут на 19 этаж секторов Б и В. Как соотносятся по высоте этажи в этих секторах?

Решение. Уровень пола 13 этажа сектора А совпадает с уровнем пола 19 этажа секторов Б и В. Значит, высота первых 18 этажей сектора А равна высоте первых 12 этажей в Б и В. Тогда отношение равно 18:12 или 2:3.

7. Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?

Решение. За первые 12 часов минутная стрелка обгонит часовую 10 раз: каждый час, кроме первого и последнего. В 0 ч и 12 ч стрелки совместятся. Так как мы рассматриваем промежуток времени в 24 часа, то стрелки пойдут дальше. Их совпадение в 12 ч дня тоже нужно считать обгоном.
За следующие 12 часов произойдёт ещё 10 обгонов, а всего их будет 10 + 1 + 10 = 21.

8. Для нумерации страниц в книге потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Решение. Всего есть 9 однозначных и 90 двузначных номеров. На них приходится 9 + 2·90 = 189 цифр. Остаётся 2322 − 189 = 2133 цифр. Они образуют 2133⁄3 = 711 трёхзначных последовательных номеров. Значит, всего страниц 99 + 711 = 810.

9. В ряд выписаны все натуральные числа:
1234567891011121314151617181920…
Какая цифра стоит на 2010 месте?

Решение. Посмотрим какому числу будет принадлежать эта цифра. Первые 9 цифр относятся к однозначным числам, следующие 2·90 = 180 к двузначным. Остаётся ещё 2010 − 189 = 1821 цифра. Из них состоят 1821⁄3 = 607 трёхзначных чисел. Последнее из них будет равно 99 + 607 = 706. Значит, 2010-я цифра будет 6.

10. Серёжа купил тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2010.

Решение. Вырванные страницы пронумерованы 50 последовательными числами. Среди них 25 чётных и 25 нечётных. Но сумма, содержащая нечётное количество нечётных слагаемых, нечётна, а значит, 2010 быть равна не может.

Математические диктанты

Составила

учитель начальных классов

Кучевская Н.В.

Математический диктант № 1

1. Во сколько раз 4 больше 12?
2. 7 умножить на 8.
3.  Во сколько раз 18 больше 9?
4. На какое число надо умножить 6, чтобы получилось 54?
5. Первый множитель 3, второй неизвестен. Произведение равно 27. Найдите второй множитель.
6. Какое число надо умножить на 2, чтобы получилось 14?
7. Уменьши 32 в 8 раз.
8. Сколько раз  7 повторится в 35?
9. Я задумала число, увеличила его в 8 раз и получила 72. Какое число я задумала?
10. Делимое 63, делитель 9. Найдите частное.

(3, 56, 2, 9,9, 7, 4, 5, 9, 7)

Математический диктант № 2

1. Увеличь 5 в 9 раз.
2. Какое число надо уменьшить в 3 раза, чтобы получилось 7?
3. Во сколько раз 15 больше 5?
4. Я задумала число, уменьшила его в 6 раз и получила 7. Какое число я задумала?
5. Делимое 56, делитель 8. Найдите частное.
6. Какое число надо увеличить в 7 раз, чтобы получилось  35?
7. Первый множитель 4, второй множитель 7. Найдите произведение.
8. Уменьши 48 в 6 раз.
9. Делимое неизвестно, делитель 9. Частное равно 3. Найдите делимое.
10. Умножьте 2 на 8.

(45, 21, 3, 42, 7, 5, 28, 8, 27, 16)

Математический диктант № 3

1. Сколько раз 8 повторится в 24?
2. Во сколько раз 20 больше 4?
3. Сколько раз  по 6 содержится в 48?
4. Найдите произведение чисел 4 и 9.
5. Произведение 24, второй множитель 6. Найдите первый множитель.
6. Какое число надо уменьшить в 8 раз, чтобы получить 8.
7. Я задумала число, увеличила его в 6 раз и получила 54. Какое число я задумала?
8. Делимое 42, делитель неизвестен. Частное 6. Чему равен делитель?
9. 3 умножьте на 7.
10. Уменьши 8 в 4 раза, полученное число увеличь на 3, а это вновь полученное число увеличь в 2 раза.

(3, 5, 8, 36, 4, 64, 9, 7, 21, 10)

Математический диктант № 4

1. Чему равно произведение  чисел 6 и 3?
2. Найдите частное  чисел 14 и 7.
3. Какое число надо увеличить в 3 раза, чтобы получилось 12?
4. Сколько раз 6 повторится в 30?
5. На сколько единиц 18 больше 6?
6. Частное 2. Делимое равно 20. Чему равен делитель?
7. Произведение  36. Первый множитель 9. Чему равен второй множитель?
8. 7 увеличь в 4 раза.
9. Произведение чисел 8 и 3 уменьши в 4 раза.
10. Если 4 умножить на 9, то полученное число будет в 6 раз больше задуманного мною числа. Какое число я задумала?

(18, 2, 4, 5, 12, 10, 4, 28, 6, 6)

Математический диктант № 5

1. Найдите частное чисел 72 и 8.
2. Во сколько раз 3 меньше 15?
3. Какое число надо увеличить в 6 раз, чтобы получилось 24?
4. Найдите произведение чисел 8 и 7.
5. Сколько раз по 9 повторится в числе 27?
6. Я  задумала число, уменьшила его в 8 раз и получила 6. Какое число я задумала?
7. Первый множитель  4, второй – 8. Найдите произведение.
8. Если 56 разделить на 7, то полученное число будет в 8 раз меньше задуманного мною числа. Какое число я задумала?
9. Какое число надо уменьшить в 7  раз, чтобы получилось 9.
10. Делимое 81, частное 9. Чему равен делитель?

(9, 5, 4, 56, 3, 48, 32, 64, 63, 9)

Математический диктант № 6

1. Найдите произведение чисел 7  и 4.
2. Сколько раз по 8 содержится в 32?
3. Какое число надо увеличить в 6 раз, чтобы получилось 30?
4. Во сколько раз 63 больше 9?
5. Найдите частное чисел 36 и 9.
6. 7 увеличить в 3 раза.
7. Я задумала число, увеличила его в 7 раз и получила 42. Какое число я задумала?
8. Какое число надо уменьшить в 6 раз, чтобы получилось 1?
9. Делитель 2, частное 8. Найдите делимое.
10. Произведение 64, первый множитель 8. Найдите второй множитель.

(28, 4, 5, 7, 4, 21, 6, 6,16, 8)

Математический диктант № 7

1. Найдите частное чисел 56 и 7.
2. Первый множитель 9, второй 3. Найдите произведение.
3. Произведение 54, один из множителей 6. Найдите неизвестный множитель.
4. Во сколько раз 6 меньше 18?
5. Увеличьте 9 в 8 раз?
6. Сколько раз 2 повторится в 187
7. Делимое 35, частное 7. Найдите делитель.
8. Какое число надо уменьшить в 8 раз, чтобы получить 6?
9. Я задумала число, уменьшила его в 9 раз и получила 4. Какое число я задумала7
10. Найдите произведение чисел 9 и 5.

(8, 27, 9, 3, 72, 9, 5, 48, 36, 45)

Математический диктант № 8

1. Какое число увеличили в 7 раз и получили 63?
2. Найдите произведение чисел 6 и 9.
3. Во сколько раз 12 больше 3?
4. Сколько раз 5 повторится в 40?
5. Делимое 12, частное 2. Найдите делитель.
6. Какое число надо увеличить в 9 раз, чтобы получить 9?
7. Один из множителей  4, произведение 32. Найдите неизвестный множитель.
8. Частное 30, делимое 90. Найдите делитель.
9. Я задумала число, уменьшила его в 9 раз и получила 9. Какое число я задумала7
10. Я задумала число, увеличила его в 7 раз. К полученному числу прибавила 8 и получила 50. Какое число я задумала?

(9, 54, 4, 8, 6, 1, 8, 3, 81, 6)

Математический диктант №  9

1. 28 разделите на 4 и умножьте на 5.
2. Уменьшите втрое 24.
3. Частное 35 и 5 увеличьте в 8 раз.
4. Какое число надо уменьшить в 6 раз, чтобы получилось 6?
5. Найдите произведение чисел 8 и 6.
6. Во сколько раз 18 больше 9?
7. Сколько раз 2 содержится в 10?
8. Какое число уменьшили в 7 раз и получили 9?
9. Найдите частное чисел 54 и 6.
10. Я задумала число, уменьшила его в 6 раз и получила 7. Какое число я задумала?

(35, 8, 56, 36, 48, 2, 5, 63, 9, 42)

Математический диктант № 10

1. Сколько раз по 4 содержится в 16?
2. Найдите частное чисел 56 и 7.
3. Чему равно произведение чисел 3 и 9?
4. Какое число надо уменьшить в 9 раз, чтобы получилось 8?
5. Какое число надо увеличить в 5 раз, чтобы получилось 35?
6. Уменьшите 48 в 6 раз.
7. Увеличьте 4 в 5 раз.
8. Первый множитель 3, второй 7. Чему равно произведение?
9. Делимое 18, делитель 3. Найдите частное.
10. 7 увеличьте в 3 раза, увеличьте на 69, а потом уменьшите в 10 раз.

(4, 8, 27, 72, 7, 8, 20, 21, 6, 9)