Уравнение неразрывности струи на основе какого свойства получено
Уравнение неразрывности потока и уравнения Бернулли являются основными уравнениями гидродинамики. При изучении потоков жидкости вводится ряд понятий, характеризующий потоки с гидравлической и геометрической точек зрения.
Такими понятиями являются: площадь живого сечения потока(или живое сечение потока), расход и средняя скорость.
Площадью живого сечения потока, называют площадь сечения потока, приведенную нормально к направлению линии тока, т.е. перпендикулярно движению струйки жидкости. Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично. Если стенки ограничивают поток полностью, то движение жидкости называют напорным; Если же ограничение частичное, то движение называется безнапорным.
Напорное движение характеризуется тем, что гидродинамическое давление в любой точке потока отлично от атмосферного и может быть как больше, так и меньше него. Безнапорное движение характеризуется постоянным давлением на свободной поверхности, обычно равным атмосферному.
Расходом потока называется количество жидкости, протекающей через поперечное сечение в единицу времени. Если рассматривать поток жидкости, представляющий собой совокупность большого числа элементарных струек, то очевидно, общий расход жидкости для всего потока в целом представляет собой сумму расходов всех отдельных струек.
Для нахождения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей в сечении потока. Так как во многих случаях движения такой закон неизвестен, в общем случае суммирование становится невозможным. Поэтому в гидродинамике вводится предположение, что все частицы жидкости по всему поперечному сечению потока движутся с одинаковой скоростью. Эту воображаемую фиктивную скорость называют средней скоростью потока υср .
Таким образом уравнение расхода для потока будет
Q = υср * F,
где Q – расход;
υср – средняя скорость потока
F – площадь сечения потока.
Уравнение неразрывности потока жидкости
Теперь вооружившись основными понятиями перейдем к определению уравнения неразрывности потока.
Отделим сечениями 1-1 и 2-2 некоторый отрезок элементарной струйки. В этот отрезок в единицу времени через сечение 1-1 втекает объем жидкости равный
Q1 = υ1 * F1,
а через сечение 2-2 из него же вытекает объем, равный
Q2 = υ2 * F2.
Примем, что жидкость несжимаема и что в ней невозможно образование незаполненных жидкостью пространств – т.е. будем считать, что соблюдается условие сплошности или неразрывности движения.
Учитывая, что форма элементарной струйки с течением времени не изменяется и поперечный приток в струйку или отток из ней отсутствуют, приходим к выводу, что элементарные расходы жидкости, проходящие через сечение 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы.
Таким образом
Q1 = Q2
Или
υ1 * F1 = υ2 * F2
Такие соотношения можно составить для любых двух сечений струйки. Поэтому в более общем виде получаем, что всюду вдоль струйки
Q = υ * F = const.
Это уравнение называется уравнением неразрывности жидкости – оно является первым основным уравнением гидродинамики. Переходя далее к потоку жидкости в целом получаем, что
υ1 / υ2 = F2 / F1
т.е. средние скорости в поперечных сечениях потока при неразрывности движения обратно пропорциональны площади этих сечений.
Уравнение неразрывности струи жидкости. Уравнение Бернулли.
Вторым основным уравнением гидродинамики является уравнение Бернулли, устанавливающее взаимосвязь между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же струйки.
При рассмотрении уравнения Бернулли также как и в предыдущем случае ограничимся установившемся медленно изменяющимся движением. Выделим в объеме некоторой жидкости одну элементарную струйку и ограничим её в какой-то определенный момент времени Т сечениями 1-1 и 2-2.
Допустим, что через какой-то промежуток времени ΔТ указанный объем переместится в положение 1’ – 1’ и 2’ – 2’. Тогда применяя к движению этого сечению теорему кинетической энергии, определяем, что приращение кинетической энергии движущейся системы материальных частиц равняется сумме работ всех сил, действующих на систему.
Если всё это записать в виде формулы, то
ΔW = ΣA,
где W – приращение кинетической энергии = m * υ2 / 2
ΣA – сумма работ действующих сил = P *ΔS
В этих выражениях
m – масса
υ – скорость материальной точки
P – равнодействующая всех сил, приложенных к точке,
ΔS – проекция перемещения точки на направление силы.
Теперь рассмотрим обе части этого выражения по порядку.
Приращение кинетической энергии ΔW
В нашем случае приращение кинетической энергии определяется как разность значений кинетической энергии в двух положениях перемещающегося объема, т.е. как разность кинетической энергии объема образованного сечениями 1-1’ и объема, образованного сечениями 2 – 2’.
Эти объемы являются результатом перемещения за время ΔТ сечений выделенного участка элементарной струйки.
Вспоминая, что по условию неразрывности расход во всех сечениях элементарной струйки одинаков, а следовательно будет равен
q * ΔТ
масса в этом случае получается равной
m = ρ * q * ΔТ
Подставляя все это в выражение для кинетической энергии получаем цепочку
ΔW = m * υ22 / 2 – m * υ21 / 2 = ρ * q * ΔТ * υ22 / 2 – ρ * q * ΔТ * υ21 / 2
Работа сил действующих на систему ΣA
Теперь перейдем к рассмотрению работы сил, действующих на рассматриваемый объем жидкости. Работа сил тяжести AТ равна произведению этой силы на путь, пройденный центром массы движущегося объема жидкости по вертикали.
Для рассматриваемой в нашем примере струйки работа сил тяжести будет равна произведению сил тяжести объема занимаемого сечениями 1-1’ и 2 – 2’ на расстояние Z1 –Z2.
AТ = m*g* Z1 – m*g* Z2
Где Z1 и Z2 – расстояния по вертикали от горизонтальной плоскости, называемой плоскостью сравнения до центров масс объемов 1-1’ и 2 – 2’.
Силы давления АД , действующие на объем жидкости складываются из сил давления на его боковую поверхность и на концевые поперечные сечения. Работа сил давления на боковую поверхность равна нулю, так как эти силы за все время движения нормальны к перемещению их точек приложения.
Суммарно работа сил давления будет
АД = (P1*m/ ρ ) – (P2*m/ ρ )
Подставляя в начальное уравнение
ΔW = ΣA,
Полученные выражения для ΔW и ΣA получаем
Разделим обе части этого уравнения на m = ρ*q*ΔТ и перегруппируем слагаемые
Учитывая, что сечения 1-1 и 2-2 взяты нами совершенно произвольным образом, это уравнение возможно распространить на всю струйку. Применив его для любых поперечных сечений, взятых по её длине, и представить в общем виде:
Записанные выше два уравнения представляют собой уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости. Сумма трех слагаемых, входящих в это уравнение, называется удельной энергией жидкости в данном сечении струйки. Различают такие энергии как:
Удельная энергия положения = qz
Удельная энергия давления = p/ ρ
Кинетическая удельная энергия = υ2 / 2
В соответствии с этим уравнение Бернулли для струйки жидкости можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости полная удельная энергия, т.е. сумма удельной энергии положения, удельной энергии давления и кинетической удельной энергии – есть величина постоянная во всех сечениях струйки.
Видео по теме уравнение неразрывности
Полученные в результате многочисленных экспериментов данные из уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока жидкости нашли широкое применение в повседневной жизни.
Уравнение Бернулли широко используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстия.
Уравнение неразрывности обладает широкой универсальностью и справедливо для любой сплошной среды. Принцип уравнения неразрывности используется для формирования сильной и дальнобойной струи воды при тушении пожаров.
Вместе со статьей “Уравнение неразрывности струи и потока жидкости.” читают:
Источник
ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Условие неразрывности струи: при стационарном течении несжимаемой жидкости через любые сечения трубки тока каждую секунду протекают одинаковые объемы жидкости, равные произведению площади сечения на среднюю скорость движения ее частиц.
Уравнение (7.1) выражает условие неразрывности струи. Оно устанавливает соотношение между скоростями течения жидкости в различных сечениях трубки тока:
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли формулируется следующим образом:
При стационарном течении идеальной жидкости полное давление, равное сумме статического, динамического и гидростатического давлений, одинаково во всехпоперечныхсечениях трубки тока.
17. Турбулентное течение. Число Рейнольдса.
Увеличение скорости течения вязкой жидкости вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создаёт завихрения, и движение становится турбулентным(вихревым). При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотично изменяется, движение является нестационарным.
Характер жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости её течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса: Re = ; -плотность жидкости, D-диаметр трубы, ʋ-средняя по сечению трубы скорость течения. Если число Рейнольдса больше некоторого критического, то движение жидкости турбулентное. ЧР зависит от вязкости и плотности, их отношение называется кинематической вязкостью: ν = ŋ/ . Число Рейнольдса можно выразить в виде Re = .
Течение крови в артериях норме является ламинарным, небольшая турбулентность возникает вблизи клапанов сердца. Тур. теч. связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости, что в случае крови приводит к добавочной работе сердца.
18. Природа сил поверхностного натяжения. Поверхностно – активные вещества, их роль в биологических процессах.
Пове́рхностное натяже́ние — термодинамическая характеристика поверхности раздела двух находящихся в равновесии фаз, определяемая работой обратимого изотермокинетического образования единицы площади этой поверхности раздела при условии, что температура, объём системы и химические потенциалы всех компонентов в обеих фазах остаются постоянными.
Поверхностное натяжение может быть на границе газообразных, жидких и твёрдых тел. Обычно имеется в виду поверхностное натяжение жидких тел на границе «жидкость — газ». В случае жидкой поверхности раздела поверхностное натяжение правомерно также рассматривать как силу, действующую на единицу длины контура поверхности и стремящуюся сократить поверхность до минимума при заданных объёмах фаз.
Между любыми молекулами в жидкости существует притяжение. Если молекула расположена в объеме жидкости, то силы притяжения, действующие на нее со стороны окружающих молекул (а силы – это векторы) взаимно компенсируются, и равнодействующая равна нулю. Если молекула расположена на поверхности жидкости, то равнодействующая сил притяжения со стороны других молекул жидкости не равна нулю, и она направлена внутрь объема. В итоге, каждая молекула жидкости, находящаяся на поверхности жидкости как бы “затягивается внутрь жидкости. Но все молекулы не могут находиться внутри объема, какие-то непременно находятся на поверхности. Чтобы сумма сил, затягивающих все такие молекулы внутрь объема жидкости была минимальна, жидкость стремится уменьшить свою поверхность. А минимальной поверхностью при заданном объеме обладает шар, поэтому любая жидкость, предоставленная сама себе, когда на нее не действуют другие силы, стремится принять форму шара. В невесомости это так и происходит. В условиях гравитации сила тяжести стремится “раскатать” жидкость в тонкую пленку, но при этом поверхность ее значительно увеличивается. Силы поверхностного натяжения, наоборот, стремятся “скатать” жидкость в шар. Поэтому жидкость на твердой (несмачиваемой) поверхности имеет форму приплюснутого шара.
Пове́рхностно-акти́вные вещества́ (ПАВ) — химические соединения, которые, концентрируясь на поверхности раздела фаз, вызывают снижение поверхностного натяжения.
В биологии поверхностные явления играют важную роль, прежде всего на клеточном, субклеточном и молекулярном уровнях организации живых систем. Различные биологические мембраны отграничивают клетку от внешней среды и обеспечивают ее микрогетерогенность. На мембранах клетки происходят фундаментальные для жизни процессы: рецепция экзо- и эндогенных биологически активных веществ (гормонов, медиаторов, антигенов, феромонов); ферментативный катализ (многие ферменты встроены в мембраны, образуя многоферментные каталитические ансамбли); преобразование химической энергии в осмотическую работу. Особенности взаимодействия поверхностей ответственны за агрегацию клеток, их прикрепление к живым и неживым субстратам (образование тромба при повреждении стенки сосуда, сорбция вирусов на клетках).
19.Методы определения поверхностного натяжения.
Существуют два типа методов определения поверхностного натяжения: статические и динамические. Динамические методы, например метод колебания струи, вытекающей из отверстия неправильной формы, позволяют измерить поверхностное натяжение вновь образованной поверхности сразу после ее образования. Статическими методами измеряют поверхностное натяжение на границе раздела фаз, пришедших в равновесие. Если равновесие между фазами устанавливается достаточно быстро, то статическое поверхностное натяжение можно измерить достаточно просто. Если же равновесие устанавливается за очень длительный промежуток времени, особенно при переходе одного из компонентов системы через границу раздела фаз, то ни один из методов не дает истинного значения равновесного поверхностного натяжения. В этом случае говорят о полустатических значениях поверхностного натяжения и в обязательном порядке следует оговаривать продолжительность образования новой поверхности раздела фаз.
Наибольшее распространение получили следующие методы определения поверхностного натяжения жидких межфазовых границ:
· метод измерения массы или глубины погружения предмета в исследуемую жидкость (метод Вильгельми);
· метод измерения геометрических размеров свободных поверхностей раздела фаз (лежащая, висящая или вращающаяся капля, сидящий или висящий пузырек);
· сталагмометрический метод (метод счета капель);
· метод измерения усилия отрыва предмета от поверхности раздела фаз (отрыва цилиндра – метод Падди, отрыва кольца – метод Дю-Нуи);
· метод измерения капиллярного поднятия жидкости;
· метод измерения максимального давления в пузырьке газа или капле жидкости (метод Шредингера).
20.Смачивание и несмачивание. Мениски, формула Лапласа.
На границе соприкосновения различных сред может наблюдаться смачивание и несмачивание. Если жидкость смачивает твёрдое тело, его поверхность называется гидрофильной. Если не смачивает – гидрофобной. Смачивание—явление, возникающее вследствие взаимодействия молекул жидкости с молекулами твердых тел. Если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше сил притяжения между молекулами жидкости, то жидкость называют смачивающей; если силы притяжения жидкости и твердого тела меньше сил притяжения между молекулами жидкости, то жидкость называют несмачивающей это тело.
Искревление поверхности (МЕНИСК) в часности возникает в узких (капиллярных) трубках в результате смачивания или несмачивания жидкостью их поверхности. При смачивание образуется вогнутый мениск. Силы давления направлены от жидкости наружу, т.е. вверх, и обусловливают подъем жидкости в капилляр. Высота поднятия жидкости в капилляре зависит от свойств жидкости и материала и радиуса капилляра. h = 2σ / ρgR
Формула Лапласа p1-p2=α(1/R1+1/R2) определяет поверхностное давление. Если R1 иR2 положительны то р1>p2.Это значит что из 2-х тел давление больше в том, поверхность которого выпукла.ЕслиR1=R2 то давление в обоих телах одинаковы.
21. Капиллярные явления. Воздушная эмболия.
Капиллярные явления определяют условия конденсации паров, кипения жидкостей, кристаллизации. С поверхностным натяжением связано и явление газовой эмболии, при котором пузырек газа способен затруднить и даже остановить кровоток в мелких сосудах и лишить кровоснабжения какой-либо орган, что может привести к серьезному функциональному расстройству и даже летальному исходу. Поэтому рассмотрим подробнее поведение пузырька воздуха, находящегося в капилляре с жидкостью.
Пока диаметр газового пузырька меньше диаметра сосуда, он имеет сферическую форму и движется вместе с током крови. Если он попадает в мелкий сосуд, диаметр которого меньше диаметра пузырька, его мениски деформируются под действием динамического давления текущей крови: передний по току крови мениск вытягивается, его радиус кривизны уменьшается, а задний под напором крови уплощается, его радиус кривизны увеличивается.
Попавшие в кровь пузырьки воздуха могут закупорить мелкий сосуд и лишить кровоснабжения какой либо орган. Это явление называемое эмболией может привести к летальному исходу. Воздушная эмболия может возникнуть при ранении крупных вен: проникший в ток крови воздух образует воздушный пузырь, препятствующий прохождению крови. Газовые пузырьки могут появиться у водолазов при быстром подъёме с большой глубины на поверхность. Это обусловлено переходом газов крови из растворённого состояния в свободное в результате понижения окружающего атмосферного давления.
22.Реологические свойства крови.
Реология крови (гемореология) занимается изучением деформации и текучести крови.
Главным фактором, оказывающим влияние на вязкость крови, является концентрация эритроцитов, которая называется гематокритом. Вязкость крови также зависит от температуры, а также определяется составом белков.
Главное значение для оценки свойств крови имеет ее агрегационное состояние. Основные методы измерения свойств крови осуществляются с помощью вискозиметров различных типов: используются приборы, работающие по методу стокса, а также по принципу регистрации электрических, механических, акустических колебаний; ротационные реометры, капиллярные вискозиметры. Применение реологической техники позволяет изучить биохимические и биофизические свойства крови с целью управления микрорегуляцией при метаболических и гемодинамических расстройствах.
23.Модели кровообращения (механическая, электрическая).
В качестве механической модели можно рассматривать замкнутую систему из множества разветвленных горизонтальных трубок с эластичными стенками, движение жидкости в которых происходит под действием ритмически работающего поршня насоса.
Электрической моделью сердца может быть представленная на рисунке электрическая схема. Генератор электрического напряжения (ГЕН) служит аналогом мышечного источника энергии сердца. Диод (Д) — выпрямитель — аналог аортального клапана. Конденсатор (С) накапливает заряд, а затем разряжается на сопротивление R(x). Роль конденсатора играет аорта, aR(x) периферическая сосудистая система, ее гидравлическое сопротивление X, L характеризует инерционные свойства электрической цепи, что является аналогом массы ударного объема крови.
24.Пульсовая волна, зависимость скорости пульсовой волны от параметра сосуда.
Распространяющуюся по аорте и артериям волну повышенного давления, вызванную выбросом крови из левого желудочка в период систолы, называют пульсовой волной.
Пульсовая волна распространяется со скоростью 5—10 м/с и даже более. Следовательно, за время систолы (около 0,3 с) она должна распространиться на расстояние 1,5—3 м, что больше расстояния от сердца к конечностям. Это означает, что начало пульсовой волны достигнет конечностей раньше, чем начнется спад давления в аорте. Пульсовой волне будет соответствовать пульсирование скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови существенно меньше скорости расространения пульсовой волны.
Скорость пульсовой волны в крупных сосудах следующим образом зависит от их параметров (формула Моенса—Кортевега): ; где Е — модуль упругости, r — плотность вещества сосуда, h — толщина стенки сосуда, d — диаметр сосуда.
Вопрос №25
Источник