Укажите какими свойствами может обладать отношение предпочтения

Отношение предпочтения в теории потребления — это формальное описание способности потребителя сравнивать (упорядочивать по желательности) разные наборы товаров (потребительские наборы, альтернативы). Чтобы описать отношение предпочтения, не обязательно измерять желательность каждого потребительского набора в некоторых единицах измерения, следует только подать любой метод сравнения таких наборов (порядковый подход). Отношение предпочтения является, наряду с бюджетным ограничением, базовым понятием при формальной постановке задачи о выборе потребителя.

Формально система отношений предпочтения представляет собой совокупность отношений предпорядка, строгого порядка и отношения эквивалентности, определяемых стандартным образом с учетом требования полноты. Последнее означает, что любые потребительские наборы предполагаются сопоставимыми в смысле отношения предпочтения. Эти отношения позволяют упорядочить альтернативы (наборы благ). Рациональный потребитель отбирает альтернативы исходя из этого упорядочения с учетом бюджетных ограничений.

Альтернативный количественный подход требует предоставления каждому потребительскому набору определенной (числовой) полезности. Примером содержательного предоставления каждому набору некоторого «количества полезности» является вероятность достижения определенных целей при владении набором. Количественный подход накладывает более жесткие предположения о потребителе (его потребительских предпочтениях). При определенных допущениях порядковый подход сводится к количественному подходу (то есть существует функция полезности, представляющая данное отношение предпочтения).

Базовые определения

Пространство экономических благ

Пусть  — число имеющихся благ, пронумерованных от 1 до . Предположим, что все блага являются произвольно делимыми. Каждый потребительский набор описывается вектором . Таким образом, потребительские наборы отождествляем с точками пространства , которое назовем пространством благ или пространством альтернатив.

Часто пространство благ сужают до определённого множества , чаще всего за принимают неотъемлемый ортант . Неотъемлемость элементов вектора означает, что каждый товар может присутствовать () или отсутствовать () в потребительском наборе, но не рассматриваются ситуации, когда потребитель избавляется от определенного количества товара.

Существуют две традиции построения системы предпочтений. Первая основана на отношении нестрогого (слабого) предпочтения, вторая — на отношении строго предпочтения.

Отношение слабого (нестрогого) предпочтения

Отношение (слабого, нестрогого) предпочтения является бинарным полным (линейным) отношением предпорядка на пространстве экономических благ , то есть обладает свойствами:

• Полнота:

Из этих двух свойств непосредственно следует также рефлексивность этого отношения, то есть .

Пара называется полем преимуществ. Запись означает, что потребитель предпочитает набор по сравнению с набором или эти наборы являются равноценными для потребителя; читается так: « преобладает над (или не хуже, слабо предпочтительнее) », « слабо преобладает над » или « не хуже ».

Отношение строгого предпочтения

Отношение строгого предпочтения определяется как бинарное отношение строгого порядка на пространстве экономических благ. Его можно определить двумя эквивалентными способами:

1. Асимметричность и отрицательная транзитивность:

2. Иррефлексивность и транзитивность

• Транзитивность:

Запись означает, что набор для потребителя лучше набора , читается как «x строго преобладает над y», «x лучше y».

Отношение безразличия

Отношение безразличия определяется как отношение эквивалентности на пространстве экономических благ, то есть удовлетворяет следующим аксиомам:

• Рефлексивность:

• Симметричность:

• Транзитивность:

Запись означает, что эти наборы являются равноценными для потребителя, читается как «x равноценно y», «x находится в отношении безразличия к y».

Как и любое отношение эквивалентности, отношение безразличия разбивает пространство благ на непересекающиеся классы безразличия, каждый из которых состоит из попарно эквивалентных (безразличных) наборов.

Необходимо отметить, что определенное таким образом отношение безразличия может выделить весьма неоднородные классы эквивалентности. Во-первых, это могут быть реально (с точки зрения потребителя) эквивалентные наборы. Во-вторых, это могут быть несравнимые альтернативы, которые в таком случае формально между ними будет иметь место отношение безразличия (ибо нет критерия по которому можно предпочесть один из несравнимых наборов). В третьих, безразличие также может быть связано с отсутствием достаточной информации об альтернативах.

Неоклассическая система предпочтений

Система предпочтений (), включающая в себя определенные выше отношение безразличия, строгое и нестрогое отношения предпочтения называется неоклассической, если они взаимосвязаны «естественным» образом. В случае, если за основу взять строгое отношение предпочтения, то эту взаимосвязь можно выразить следующим образом:

1. Нестрогое предпочтение эквивалентно отрицанию обратного строгого предпочтения (то есть «не хуже» эквивалентно тому, что не «лучше» )

2. Отношение безразличия эквивалентно отрицанию прямого и обратного строгих предпочтений (то есть безразличие означает, что не «лучше» и не «хуже» ).

Если же за основу брать нестрогое отношение предпочтения, то соответственно

1. Строгое предпочтение эквивалентно тому, что имеет место нестрогое предпочтение и неверно обратное нестрогое предпочтение, то есть: .

2. Отношение безразличия эквивалентно одновременной справедливости «прямого» и «обратного» отношения нестрогого предпочтения:

Для неоклассических предпочтений выполнены следующие свойства

Дополнительные свойства отношения предпочтения

В большинстве случаев сравнение потребительских наборов обладает также дополнительными свойствами. Обычно это свойства монотонности, непрерывности и выпуклости.

Монотонность отношения предпочтения означает, что потребитель отдает предпочтение большим наборам над меньшими. Это свойство соответствует поведению потребителей в большинстве ситуаций. Свойство строгой монотонности формулируют как аксиому ненасыщаемости потребителя. Предпочтения называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора в любой его окрестности найдется другой набор, который лучше данного (в смысле строгого отношения предпочтения). Это означает, что нет набора, который предпочтительней всех остальных ближайших наборов. Это также означает, что кривые безразличия не могут быть «толстыми». Если предпочтение строго монотонно, то оно локально ненасыщаемо (обратное, вообще говоря неверно).

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набор по сравнению с набором , то он также предпочтет наборам, близким к , наборы, близкие к . Из непрерывности следует, что, перемещаясь от набора хуже произвольно выбранного набора до набора лучше , по дороге всегда наткнемся на набор, безразличный по отношению к . Если отношение предпочтения является монотонным и непрерывным, то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров это кривые безразличия).

Выпуклость системы предпочтений означает, что для любого данного набора благ, множество наборов, которые «не хуже» данного, является выпуклым. Если эти множества строго выпуклы, то и предпочтения называются строго выпуклыми.

Функция полезности

Понятие отношения предпочтения полезно в теоретических исследованиях. Недостатком при рассмотрении практических задач является отсутствие встроенного эффективного метода сравнений потребительских наборов (за исключением особых случаев, например, лексикографическое отношение предпочтения). Такой метод вводится с помощью функции полезности, связанной с отношением предпочтения.

Функция полезности каждому потребительскому набору ставит в соответствие определенное число (полезность) так, что лучшему набору присваивается большее число, а наборам, находящихся в отношении безразличия — то же число. Кривые безразличия отношения предпочтения являются линиями уровня функции полезности.

Необходимое условие существования функции полезности — система предпочтений должна быть неоклассической. Если множество альтернатив является не более чем счетным, то это одновременно и достаточное условие. В общем случае (точнее в случае несчетности множества допустимых альтернатив) достаточные условия существования функции полезности дает теорема Дебре, согласно которой, если неоклассические предпочтения непрерывны, то существует непрерывная функция полезности, представляющая эти предпочтения[1]. Если предпочтения к тому же строго монотонны, то функция полезности также строго монотонна. Выпуклость предпочтений эквивалентна свойству квазивогнутости функции полезности. Это означает, что полезность любого промежуточного набора благ не меньше минимальной из полезностей двух крайних наборов. Таким образом, выпуклость является необходимым (но недостаточным) условием вогнутости функции полезности.

Необходимо отметить, что требование транзитивности отношений предпочтения далеко не очевидно, а именно, если брать последовательно близкие наборы благ, то они попарно будут безразличны потребителю, а из транзитивности будет следовать и безразличие между первым и последним набором этой последовательности, что очевидно не так (первый и последний набор уже отличаются ощутимо и не могут быть эквивалентны). Поэтому иногда рассматривают нетранзитивные отношения предпочтения. В таком случае можно показать, что если отношение нестрогого предпочтения является полным и замкнутым, то существует непрерывная антисимметричная функция , такая, что знак этой функции определяет отношение строгого предпочтения и отношение безразличия (то есть если значение функции положительно, то лучше в смысле строгого предпочтения, если отрицательно то хуже в том же смысле и, наконец, если она равна нулю, то наборы безразличны). Это так называемая обобщенная функция полезности, ставящая каждой паре альтернатив некоторое число. Если существует также обычная функция полезности, то обобщенная выражается через неё следующим простым способом: .

См. также

Примечания

Литература