Свойства медианы в прямоугольном треугольнике какой класс
Привет!
Сегодня мы рассмотрим часть треугольника, которая не раз поможет тебе при решении многих задач, — медиану.
Эта приятная, лёгкая и полезная теория!
Поехали!
НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
Определение медианы
Это очень просто!
Возьми треугольник:
Отметь на какой-нибудь его стороне середину ( displaystyle M).
И соедини с противоположной вершиной!
Получившаяся линия ( displaystyle BM) и есть медиана.
Медиана –линия, проведённая из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Свойства медианы
Какие же хорошие свойства есть у медианы?
1) Вот представим, что треугольник ( displaystyle ABC) – прямоугольный. Бывают же такие, верно?
Тогда медиана равна половине гипотенузы!
Почему??? При чём тут прямой угол?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник. Зачем, спросишь?
А вот ты ходишь по Земле – ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».
Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).
Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ ( displaystyle BD):
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC). Она называлась у нас ( displaystyle M).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.
Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Вот, задача:
В ( displaystyle Delta ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).
Рисуем:
Сразу вспоминаем, это если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!
Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})
( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)
( AB=13)
Вот и ответ!
2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы! Как же они себя ведут?
Запомни очень важный факт:
Три медианы в треугольнике (любом!) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( 2:1), считая от вершины.
Сложно? Смотри на рисунок:
Медианы ( displaystyle AM), ( displaystyle BN) и ( displaystyle CK) пересекаются в одной точке.
И… ( доказываем это в следующем уровне теории, а пока запомни!):
- ( displaystyle AO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OM);
- ( displaystyle BO) – вдвое больше, чем ( displaystyle ON);
- ( displaystyle CO) – вдвое больше, чем ( displaystyle OK).
Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!
Задача:
В треугольнике ( displaystyle ABC) проведены медианы ( displaystyle BM) и ( displaystyle AK), которые пересекаются в точке ( displaystyle O). Найти ( displaystyle BO), если ( displaystyle AB=3;text{ }BC=4,text{ }angle B=90{}^circ .)
Решаем:
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Решение:
( displaystyle angle B=90{}^circ ) – треугольник прямоугольный!
Значит, ( BM=frac{AC}{2}).
(Применили то, что медиана, проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы).
Найдём ( displaystyle AC) по теореме Пифагора:
( A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=9+16=25)
( AC=5)
Значит, ( BM=frac{AC}{2}=frac{5}{2}).
А теперь применим знания про точку пересечения медиан.
Давай обозначим ( displaystyle OM=x). Отрезок ( BO=2OM=2x), а ( BM=3x). Если не все понятно – посмотри на рисунок.
Мы уже нашли, что ( BM=frac{5}{2}).
Значит, ( 3x=frac{5}{2}); ( x=frac{5}{6}).
В задаче нас спрашивают об отрезке ( displaystyle BO).
В наших обозначениях ( BO=2x=frac{5}{6}cdot 2).
Значит, ( BO=frac{5}{3}).
Ответ: ( BO=frac{5}{3}).
Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Определение медианы
Медиана – линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
Посмотри на рисунок. Линия ( displaystyle BM) – медиана.
Итак,
Медиана делит сторону пополам.
И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!
Теорема о площади
Медиана делит площадь пополам.
Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.
( S=frac{1}{2}a~cdot h)
И применим эту формулу аж два раза!
Посмотри, медиана ( displaystyle BM) разделила ( displaystyle triangle ABC) на два треугольника: ( displaystyle triangle ABM) и ( displaystyle triangle BMC). Но! Высота-то у них одна и та же – ( displaystyle BH)! Только в ( displaystyle triangle ABM) эта высота ( displaystyle BH) опускается на сторону ( displaystyle AM), а в ( displaystyle triangle BMC) – на продолжение стороны ( displaystyle CM). Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота – одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу ( S=frac{1}{2}a~cdot h).
1) B ( displaystyle triangle ABM):
“( displaystyle a)” – это ( displaystyle AM) | ( displaystyle Rightarrow {{S}_{triangle ABM}}=frac{1}{2}~AM~cdot BH) |
2) B ( displaystyle triangle BMC):
“( displaystyle a)” – это ( displaystyle CM) | ( displaystyle Rightarrow {{S}_{triangle BMC}}=frac{1}{2}~CM~cdot BH) |
Запишем ещё раз:
( displaystyle {{S}_{triangle ABM}}=frac{1}{2}~AM~cdot BH); ( displaystyle {{S}_{triangle BMC}}=frac{1}{2}~CM~cdot BH)
Но ( displaystyle AM=CM)! (Посмотри на рисунок или вспомни, что ( displaystyle BM) – медиана).
Значит, ( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}}) – площадь ( displaystyle triangle ABC) разделилась на две равные части. Ура! Доказали теорему. И получилось совсем несложно – всего-то одна формула площади.
Три медианы треугольника
Теорема.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?
Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.
Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.
Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
Сначала проведем не все три, а только две медианы. Они-то уж точно пересекутся, правда? Обозначим точку их пресечения буквой ( displaystyle E).
Соединим точки ( displaystyle N) и ( displaystyle K). Что получилось?
Конечно, ( displaystyle NK) – средняя линяя ( displaystyle triangle ABC). Ты помнишь, что это значит?
1
( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle AC);
2
( displaystyle NK=frac{AC}{2}).
А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину ( displaystyle AE) – поставим точку ( displaystyle F), отметим середину ( displaystyle EC) – поставим точку ( displaystyle G).
Теперь ( displaystyle FG) – средняя линия ( displaystyle triangle AEC). То есть:
1
( displaystyle FG) параллельна ( displaystyle AC);
2
( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Заметил совпадения? И ( displaystyle NK) , и ( displaystyle FG) – параллельны ( displaystyle AC). И ( displaystyle NK=frac{AC}{2}), и ( displaystyle FG=frac{AC}{2}).
Что из этого следует?
- ( displaystyle NK) параллельна ( displaystyle FG);
- ( displaystyle NK=FG)
Посмотри теперь на четырехугольник ( displaystyle NKGF). У какого четырехугольника противоположные стороны (( displaystyle NK) и ( displaystyle FG)) параллельны и равны?
Конечно же, только у параллелограмма!
Значит, ( displaystyle NKGF) – параллелограмм. Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.
Снова смотрим на рисунок.
Получилось, что
- ( displaystyle AF=FE) (мы так выбирали точку ( displaystyle F))
- ( displaystyle FE=EK) (из-за того, что ( displaystyle NKGF) – параллелограмм)
То есть ( displaystyle AF=FE=EK) – медиана ( displaystyle AK) разделена точками ( displaystyle F) и ( displaystyle E) на три равные части. И точно так же ( displaystyle CG=GE=EN).
Значит, точкой ( displaystyle E) обе медианы разделились именно в отношении ( displaystyle 2:1), то есть ( displaystyle AE=2EK) и ( displaystyle CE=2NE).
Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану ( displaystyle CN) и проведем медианы ( displaystyle AK) и ( displaystyle BM).
А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан ( displaystyle AK) и ( displaystyle CN). Что тогда?
Получится, что медиана ( displaystyle BM) разделит медиану ( displaystyle AK) абсолютно точно так же: в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A).
Но сколько же может быть точек на отрезке ( displaystyle AK), которые делят его в отношении ( displaystyle 2:1), считая от точки ( displaystyle A)?
Конечно же, только одна! И мы её уже видели – это точка ( displaystyle E).
Что же получилось в итоге?
Медиана ( displaystyle BM) точно прошла через ( displaystyle E)! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении ( displaystyle 2:1), считая от вершины.
Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.
Формула длины медианы
Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем.
Итак, ( displaystyle {{m}^{2}}=frac{1}{4}~left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right))
Медиана в прямоугольном треугольнике
Теорема.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Как бы понять, отчего так выходит?
Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.
Итак, рассмотрим прямоугольник ( displaystyle ABCD).
Ты заметил, что наш треугольник ( displaystyle ABC) – ровно половина этого прямоугольника?
Проведём диагональ ( displaystyle BD)
Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, …»)
Но одна из диагоналей – ( displaystyle AC) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы ( displaystyle Delta ABC). Она называлась у нас ( displaystyle M).
Значит, половина второй диагонали – наша медиана ( displaystyle BM). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим ( displaystyle BM=MA=MC)
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!
Если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный, и эта медиана проведена к гипотенузе.
Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой – нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.
Вот, задача:
В ( displaystyle triangle ABC) стороны ( displaystyle AC=5); ( displaystyle BC=12). Из вершины ( displaystyle C) проведена медиана ( displaystyle CN). Найти ( displaystyle AB), если ( displaystyle AB=2CN).
Рисуем:
Сразу вспоминаем: если ( displaystyle CN=frac{AB}{2}), то ( displaystyle angle ACB=90{}^circ )!
Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике, мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!
Применяем теорему Пифагора:
( A{{B}^{2}}=A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}})
( A{{B}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}=169)
( AB=13)
Вот и ответ!
КОРОТКО О ГЛАВНОМ
1. Медиана делит сторону пополам.
Медиана — линия, проведенная из вершины треугольника к середине противоположной стороны.
2. Теорема: медиана делит площадь пополам
( displaystyle {{S}_{Delta ABM}}=frac{1}{2}~AMcdot BH;)( displaystyle {{S}_{Delta BMC}}=frac{1}{2}~CMcdot BH)
Но ( displaystyle AM=CM), значит,
( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}})
3. Три медианы треугольника
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении ( displaystyle 2:1 ), считая от вершины.( displaystyle {{S}_{Delta ABM}}=frac{1}{2}~AMcdot BH;)
( displaystyle {{S}_{Delta BMC}}=frac{1}{2}~CMcdot BH)
Но ( displaystyle AM=CM), значит,
( displaystyle {{S}_{triangle ABM~}}={{S}_{triangle BMC~}})
4. Формула длины медианы
( displaystyle {{m}^{2}}=frac{1}{4}~left( 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-{{c}^{2}} right))
5. Медиана в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.
P.S. Последний бесценный совет ????
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
- проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
- подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
- понять тему с помощью статей учебника YouClever;
- набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
- сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Так… Что думаешь? ????
Оказывается, у медианы намного больше ствойств, чем просто деление стороны пополам. И эти свойства очень полезны.
Мы рассказали тебе все о медиане. А теперь ты расскажи нам, что думаешь об этой статье.
Какое свойство тебя удивило? Что понравилось?
Оставь комментарий ниже. И задай свои вопросы, если такие есть.
Успехов!
Источник
В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
Рисунок 1
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Рисунок 2
- Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Рисунок 3
- Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
Рисунок 4
- Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
DE || AB и DE = AB / 2. - Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
FG || AB и FG = AB / 2 - Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
- Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
FX=XE, GX=XDРисунок 5
- Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
- Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
- Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Рисунок 6
- Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Рисунок 7
- Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC – прямоугольник.
- Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.
Рисунок 8
- Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Рисунок 9
- Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
- Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
- Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
Что и требовалось доказать.
Источник