Свойства касательной к окружности в каком классе

Конспект урока

по теме «Касательная к окружности.»

Учитель: Шишкина Лариса Юрьевна, учитель математики

Предмет: геометрия

Класс: 8

Тип урока: формирования новых знаний

Вид урока: комбинированный

Цель урока:

Формулировка и доказательство теоремы: свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности. Ввести понятие «эвристика». Сформулировать эвристики: а) если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания; б) если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку.

Планируемые достижения:

Метапредметные: уметь анализировать, строить рассуждения, делать выводы и умозаключения на основе сравнения.

Предметные: уметь работать с текстом (структу­рировать, заполнять необходимой информацией), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной форме, применять математическую и информационно-коммуникационную терминологию и символику.

Оборудование: учебник «Геометрия. 7 – 9 классы. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др.»; опорный конспект (карточка); презентация MS Power Point, компьютер, экран, проектор.

Активизировать учащихся, включить их в учебную деятельность

Приветствие учителя. Проверка готовности учащихся к уроку

Выполняется самооценка готовности к уроку.

2. Мотивация учебной деятельности учащихся

Организовать учащихся к открытию новых знаний

На прошлых уроках по геометрии мы с вами рассмотрели случаи взаимного расположения прямой и окружности, ввели определения секущей окружности, касательной к окружности.

Давайте вспомним данные определения.

Укажите рисунки (слайд презентации), на которых изображена касательная к окружности.

Сегодняшний урок мы с вами посвятим изучению свойств касательной к окружности. Это и будет целью нашего урока. Записываем тему урока «Касательная к окружности».

Учащиеся внимательно смотрят на экран.

Формулируют определения секущей окружности, касательной к окружности; взаимного расположения прямой и окружности.

3. Актуализация знаний.

Актуализировать прежние знания, навыки и умения непосредственно связанные с темой «Касательная»; подготовка учащихся к работе на уроке.

– Для начала решим следующую задачу.

№1. Прямая p является касательной к окружности с центром в точке О. Необходимо выяснить взаимное расположение прямой p и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

Можно предложить учащимся составить краткую запись условия и сделать чертеж.

Если они не могут этого сделать, необходимо задать следующие вопросы:

– О каких объектах говорится в задаче?

– Сделайте соответствующий рисунок к задаче. Обозначьте точку касания буквой А.

В задаче говорится об окружности с центром в точке О и о касательной р.

Что необходимо установить в задаче?

Взаимное расположение касательной р и радиуса ОА данной окружности, проведенного в точку касания

Дано:

окружность (О, ОА),

p – касательная, Ар.

Найти: взаимное расположение р и ОА.

Решение задачи:

– Как могут быть расположены две прямые (а в частности прямая и отрезок) на плоскости?

Две прямые на плоскости могут быть параллельными, пересекаться, в частности быть перпендикулярными.

– Являются ли прямые p и ОА параллельными? Почему?

Нет, т. к. данные прямые имеют общую точку – точку касания, следовательно они пересекаются

Тогда, что нам необходимо установить?

Будут ли прямые АО и р перпендикулярными

Предположим, что ОА и p не перпендикулярны. Тогда что является расстоянием от центра окружности О до данной прямой?

Расстоянием от центра окружности О до прямой р является отрезок (ОН) перпендикулярный к данной прямой и проходящий через точку О.

Сравните расстояние от центра окружности до прямой p с радиусом данной окружности. Обоснуйте свой ответ.

Расстояние ОН от центра окружности до прямой p меньше радиуса окружности ОА, т. к. в данном случает ОА является наклонной, а наклонная больше перпендикуляра, проведенного к данной прямой

– Каково взаимное расположение прямой р и окружности? Какое название в этом случае имеет прямая р?

Прямая р и окружность имеют две общие точки, следовательно р является секущей по отношению к данной окружности

Может ли прямая р быть секущей по отношению к окружности?

Нет, т.к. по условию она является касательной к данной окружности.

Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит?

Данное предположение неверно. Следовательно касательная р и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны

– Сформулируйте полученное утверждение.

Это утверждение называется свойство касательной.

Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания

Записывают решение в тетради:

Дано:

окружность (О, ОА),

p – касательная, Ар.

Доказать: ОАр

Доказательство: Предположим, что это не так. Тогда ОА – наклонная (Но любая наклонная, проведенная из той же точки, что и перпендикуляр, будет больше перпендикуляра)

ОН<ОА (т.к. ОА – радиус) p – секущая (прямая р и окружность имеют две общие точки, что неверно – противоречие условию) «p – касательная» ОАр.

Ответ: ОАр.

4.Физкультминутка

Снятие утомления, повышение умственной работоспособности детей

усталости.

Много ль надо нам, ребята,

Для умелых наших рук?

Нарисуем два квадрата,

А на них огромный круг,

А потом еще кружочек,

Треугольный колпачок.

Вот и вышел очень – очень

Развеселый чудачек. 

Выставить вперед обе руки, пальцы рук сложены в кулачок, большой палец направлен вверх со словами: «Ты красавец!» 

Дети рисуют в воздухе геометрические фигуры двумя руками

5. Первичное усвоение новых знаний.

Подготовить учащихся к восприятию нового материала;

– Попробуйте спрогнозировать: в каких случаях возможно применение данной теоремы.

Применение данного свойства возможно во всех задачах, связанных с окружностью

Таким образом, можно сделать вывод: Если в задаче нам дана касательная к окружности, целесообразно … (продолжите фразу…)

В математике способ, помогающий решить ту или иную задачу, называют эвристикой. В данном случае мы с вами получили эвристику: если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания, и использовать факт, что данные касательная и радиус будут перпендикулярны. Попробуем использовать ее при решении следующей задачи.

….провести, радиус в точку касания.

5. Первичное закрепление

Зафиксировать изученное учебное действие при решении задачи

№2. Прямая АВ касательная в точке А к окружности с центром в точке О. Найдите длину отрезка ОВ, если АВ = 24 дм, а радиус окружности равен 7 дм

Решение задачи:

– АВ является касательной к окружности. Объясните, как воспользоваться полученной эвристикой?

Провести радиус ОА окружности в точку касания.

– Какую фигуру получили в результате дополнительного построения? Обоснуйте свой ответ.

В результате получили прямоугольный треугольник АОВ, т. к. отрезки ОА и АВ перпендикулярны, исходя из свойства касательной.

– Каким образом мы найдем искомый отрезок ОВ?

Отрезок ОВ является гипотенузой в данном треугольнике, его можно найти по теореме Пифагора.

Учащиеся обсуждают решение в парах и оформляют решение задачи в тетради с дальнейшей проверкой с помощью слайда презентации.

Решение:

АВ- касательная,

проведем ОА – радиус ОААВ (свойство касательной)

ОАВ=90º

ΔОАВ – прямоугольный.

ΔОАВ: ОВ=, ОВ=25 дм.

Ответ: ОВ=25 дм.

Давайте на основе свойства касательной, сформулируем теорему, обратную данной – признак касательной к окружности: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Рассмотрим еще одно понятие, связанное с понятием касательной к окружности. Для этого необходимо сделать рисунок.

Изобразите в тетрадях окружность с центром в точке О произвольного радиуса. Через точку А лежащую вне окружности проведите касательные к данной окружности, касающиеся ее в точках В и С.

– Отрезки АВ и АС называют отрезками касательных, проведенных из точки А. Запишем данное определение в карточку: отрезки АВ и АС – отрезки касательных, проведенных из точки А.

№3. Используя данный рисунок, сравните: а) отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки; б) углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных. (работа в парах)

Учащиеся выполняют данное задание с помощью линейки транспортира.

– Какие выводы вы получили в результате решения данной задачи?

Отрезки касательных равны, углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных также равны.

Прекрасно, но в математике мы основываемся на доказательствах. Какую задачу мы должны теперь решить?

Запишите краткую запись условия и доказательство, используя учебник п. 69 «Касательная к окружности» (д.з.)

Необходимо доказать, что равны а) отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки; б) углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных.

При решении каких задач мы можем использовать полученные теоретические факты?

Данные теоретические факты мы можем использовать в решении задач, в которых одним из элементов являются две касательные к окружности, проведенные из одной точки.

6. Рефлексия

Обобщить полученную информацию.

Формировать у учащихся собственного отношения к изучаемому материалу.

Какова была цель сегодняшнего урока? Достигли ли мы ее?

Изучить свойства касательной к окружности. Мы достигли данной цели.

– Какие свойства касательной к окружности мы изучили на сегодняшнем уроке? Сформулируйте их.

Свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности. Соответствующие свойства формулируются.

– Сегодня на уроке прозвучало ранее неизвестное слово – эвристика. Кто запомнил, что оно означает?

Эвристика – это способ, помогающий решить ту или иную задачу

– Какие эвристики мы сформулировали на уроке?

Если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку.

– При решении каких задач мы использовали эвристики?

При решении задач, в которых была дана касательная к окружности

7. Информация о домашнем задании

Разъяснить учащимся методику выполнения домашнего задания

Домашнее задание:

Выучить свойства касательной. Провести доказательство Т. «Об отрезках касательных..» п. 69. № 641, 643.

До свидания! Урок окончен.

Записывают в дневники домашнее задание.