Свойства функций 9 класс какие бывают
С О Д Е Р Ж А Н И Е Вернуться к списку тем учебника
Алгебра 9 класс. УМК Макарычев и др. Онлайн-учебник 2017. Глава 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. § 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. (1. Функция. Область определения и область значений функции. 2. Свойства функций) Электронная версия.
В курсе алгебры 7 и 8 классов вы уже многое узнали о функциях. В этой главе сведения о функциях будут расширены. Здесь вводятся новые понятия — область значений, возрастание и убывание функции. Основное внимание уделяется квадратичной функции. Вы узнаете о свойстве параболоида — тела, которое получается при вращении параболы вокруг её оси. Вас, вероятно, заинтересует легенда о том, как использовал это свойство древнегреческий учёный Архимед (III в. до н. э.) при защите Сиракуз. В заключительной части главы вы познакомитесь со свойствами степенной функции у = хn, где n — натуральное число, узнаете, что график этой функции при чётном п сходен с графиком функции у = х2, а при нечётном — с графиком функции у = х3. При получении свойств квадратичной и степенной функций рекомендуем использовать компьютер.
§ 1. Функции и их свойства
1. Функция. Область определения и область значений функции.
2. Свойства функций
OCR-версия параграфа (только текст)
Функция — одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = f(х) (читают: «у равно / от х»). Символом f(х) обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Функция у = f(x) считается заданной, если указана область определения функции и правило, согласно которому каждому значению независимой переменной поставлено в соответствие единственное значение зависимой переменной. Если функция у = f(х) задана формулой и её область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной х, при которых выражение f(х) имеет смысл. Например, областью определения функции f(х) = 5х + х2 является множество всех чисел; областью определения функции g(x) = 2/(x + 3) служит множество всех чисел, кроме –3.
Область определения функции, описывающей реальный процесс, зависит от конкретных условий его протекания.
Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
С О Д Е Р Ж А Н И Е Вернуться к списку тем учебника
Алгебра 9 Макарычев. Онлайн-учебник 2017. Глава 1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ. § 1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА. (1. Функция. Область определения и область значений функции. 2. Свойства функций) Электронная версия.
Источник
Ребята, мы продолжаем изучать числовые функции. Сегодня мы остановимся на такой теме, как свойства функции. Функции обладают многими свойствами. Вспомните, какие свойства мы с вами совсем недавно изучили. Правильно, область определения и область значений, они являются одними из ключевых свойств. Никогда не забывайте про них и помните, что функция всегда обладает этими свойствами.
В этом разделе, мы с вами определим некоторые свойства функций. Порядок, в котором мы будем их определять, рекомендую соблюдать и при решении задач.
Возрастание и убывание функции
Первое свойство, которое мы определим, это возрастание и убывание функции.
Функция называется возрастающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 – выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х⊂D(f), если для любых х1 и х2, таких, что х1 < x2 – выполняется неравенство f(x1)>f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции.
Понятия “возрастание” и “убывание” функции очень легко понять, если внимательно посмотреть на графики функции. Для возрастающей функции: мы как бы поднимаемся в горку, для убывающей соответственно – спускаемся. Общий вид возрастающих и убывающих функции представлен на графиках ниже.
Возрастание и убывание функции в общем случае называется монотонностью. То есть, наша задача -это найти промежутки убывания и возрастания функции. В общем случае это формулируется так: найти промежутки монотонности или исследовать функцию на монотонность.
Пример
Исследовать на монотонность функцию $y=3x+2$.
Решение: Проверим функцию для любых х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=3×1+2$
$f(x2)=3×2+2$
Поскольку, х1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Ограниченность функции
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на множестве Х⊂D(f), если существует такое число а, что для любых хϵХ выполняется неравенство f(x) < a.
Если промежуток Х не указывается, то считают, что функция ограничена на всей области определения.
Функция ограниченная и сверху, и снизу называется ограниченной.
Ограниченность функции легко читается по графику. Можно провести некоторую прямую
$у=а$, и если функция выше этой прямой, то ограниченность снизу. Если ниже, то соответственно сверху. Ниже представлен график ограниченной снизу функции. График ограниченной функции, ребята, попробуйте нарисовать сами.
Пример
Исследовать на ограниченность функцию $y=sqrt{16-x^2}$.
Решение: Корень квадратный из некоторого числа больше либо равен нуля. Очевидно, что наша функция, также больше либо равна нуля, то есть ограниченна снизу.
Корень квадратный мы можем извлекать только из неотрицательного числа, тогда $16-x^2≥0$.
Решением нашего неравенства будет промежуток [-4;4]. На этом отрезке $16-x^2≤16$ или $sqrt{16-x^2}≤4$, но это значит ограниченность сверху.
Ответ: наша функция ограниченна двумя прямыми $у=0$ и $у=4$.
Наибольшее и наименьшее значение
Наименьшим значение функции y= f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое, что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≥f(x0)$.
Наибольшим значение функции y=f(x) на множестве Х⊂D(f), называется некоторое число m, такое что:
a) Существует некоторое х0, что $f(x0)=m$.
б) Для любого хϵХ, выполняется $f(x)≤f(x0)$.
Наибольшее и наименьшее значение принято обозначать yнаиб. и yнаим..
Понятия ограниченности и наибольшего с наименьшим значением функции тесно связаны. Выполняются следующие утверждения:
а) Если существует наименьшее значение у функции, то она ограничена снизу.
б) Если существует наибольшее значение у функции, то она ограничена сверху.
в) Если функция не ограничена сверху, то наибольшего значения не существует.
г) Если функция не ограничена снизу, то наименьшего значения не существует.
Пример
Найти наибольшее и наименьшее значение функции $y=sqrt{9-4x^2+16x}$.
Решение: $f(x)=y=sqrt{9-4x^2+16x}=sqrt{9-(x-4)^2+16}=sqrt{25-(x-4)^2}≤5$.
При $х=4$ $f(4)=5$, при всех остальных значениях функция принимает меньшие значения или не существует, то есть это наибольшее значение функции.
По определению: $9-4x^2+16x≥0$. Найдем корни квадратного трехчлена $(2х+1)(2х-9)≥0$. При $х=-0,5$ и $х=4,5$ функция обращается в ноль, во всех остальных точках она больше нуля. Тогда, по определению, наименьшее значению функции равно нулю.
Ответ: yнаиб.=5 и yнаим.=0.
Ребята мы с вами еще изучали понятия выпуклости функции. При решении некоторых задач, нам это свойство может понадобиться. Это свойство, также легко определяется с помощью графиков.
Функция выпукла вниз, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется ниже линии соединения точек.
Функция выпукла вверх, если любые две точки графика исходной функции соединить, и график функции окажется выше линии соединения точек.
Функция непрерывна, если график нашей функции не имеет разрывов, например, как график функции выше.
Если требуются найти свойства функции, то последовательность поиска свойств такова:
а) Область определения.
б) Монотонность.
в) Ограниченность.
г) Наибольшее и наименьшее значение.
д) Непрерывность.
е) Область значений.
Пример
Найти свойства функции $y=-2x+5$.
Решение.
а) Область определения D(y)=(-∞;+∞).
б) Монотонность. Проверим для любых значений х1 и х2 и пусть х1 < x2.
$f(x1)=-2×1+2$.
$f(x2)=-2×2+2$.
Поскольку х1 < x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
в) Ограниченность. Очевидно, что функция не ограничена.
г) Наибольшее и наименьшее значение. Поскольку функция не ограничена, то наибольшего и наименьшего значений не существует.
д) Непрерывность. График нашей функции не имеет разрывов, тогда функция непрерывна.
е) Область значений. Е(у)=(-∞;+∞).
Задачи на свойства функции для самостоятельного решения
Найти свойства функции:
а) $y=2x+7$,
б) $y=3x^2$,
в) $y=frac{4}{x}$.
Источник
Цели занятия: изучить свойства функции; выяснить, какими свойствами обладают некоторые ранее изученные функции
Обучающие: -учить учащихся определять промежутки возрастания и убывания функции
Материально-техническое обеспечение занятия: компьютер, интерактивная доска, линейки
Тип занятия: урок- практикум.
Проводится в 9 классе.
1. Организационный момент
Основные элементы
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
Организационный момент.
1)Приветствие и ознакомление с целями, задачами и планом урока.
2)На прошлом уроке мы с вами рассматривали
Определения функции, графика функции. Мы учились находить область определения и область значений функции.
2. Опрос обучающихся по заданному на дом материалу
Основные элементы
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
Ответы учащихся:
1)Функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
2)Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты- соответствующим значениям функции.
3)СЛАЙД 2
Значения аргумента, при которых функция обращается в нуль, называют нулями функции
4)Слайд 3
(При опросе отвечают разные учащиеся и проговаривают все определения)
5)слайд 4
2
А) У=Х – 36
Б) У=Х- 16
В) У=Х+7
Ученик выполняет вычисления:
А) У=6, У= -6
Б) У= 16
В) У= -7
1.Актуализация опорных знаний.
Повторим определения функции, графика функции.
1)Что называется функцией?
2)Что называется графиком функции?
3) Что называют нулями функции?
4)Найдите нули функции, заданной графически.
5)Найдите нули функции, заданной формулой.
Учитель показыват слайды с ответом
Работа по слайду1
Слайд 2,3
Слайд 4
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
- задание № 5
f(x)=-5x+6
- f(x)= 17 b) f(x)= 0
17= -5x+ 6 0== -5x+ 6
11=-5x -6=-5x
11 6
x=—- x=—-
-5 5
2.Опрос обучающихся по заданному на дом заданию.
1)Устно проверим домашнюю задачу № 5
3. Изучение нового материала.
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
Слайд 6
1)записывают определение возрастающей функции в тетрадь:
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции
Должны выполняться условия:
Слайд 7
2) Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции
Должны выполняться условия:
Сегодня мы дадим 1)Определение возрастающей функции
2)Определение убывающей функции
3)Доказательство возрастания функции
4)Доказательство убывания функции
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 8
- доказательство рассматривают вместе с учителем
- доказательство записывают сами
слайд 9
Докажите, что функция
У=-2х+5 является убывающей
Доказательство ( заполняю совместно пропуски)
Один ученик диктует ответы.
4. Закрепление учебного материала
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
1)Слайд 10
2)Назовите общие особенности графиков возрастающих функции. Слайд 11,12
3)Назовите общие особенности графиков убывающих функции. Слайд 13,14
4,5)устная работа по сладу 15
Опрашивается несколько учащихся.
1) Выполните самостоятельную работу
Вовремя проведения учитель помогает слабым учащимся.
2)Графики возрастающих функций демонстрирует учитель
3)Графики убывающих функций демонстрирует учитель
4)Нахождение промежутков возрастания и убывания функции по графику
На каких промежутках функция возрастает? Убывает?
5)Линейная функция
Слайд 10
Слайд 11,12
Слайд 13,14
Слайд 15
Слайд 16
5.Подведение итогов. Задание на дом.
Деятельность обучающихся
Деятельность преподавателя
Примечание
Записывают домашнее задание
Мы с вами сегодня много повторили и много узнали нового. Хорошо поработали. Учитель отмечает тех ребят, кто хорошо отвечал и понял тему. Благодарю всех за урок. Молодцы!
Запишите домашнее задание.
Домашнее задание:
Стр. 14 №30,29,40
Стр.10-11 определения выучить.
Выберите картинку, выражающую ваше настроение к концу урока, и прикрепите ее на плакат.
До свидания!
Источник
Слайд 1
Свойства функции Обобщающий урок
Слайд 2
План урока Повторение теоретического материала – Определения изученных свойств функции и отражение этих свойств на её графике – Перечисление свойств элементарных функций Теоретическая часть контроля Практическая часть контроля Решение заданий ГИА Подведение итогов Домашнее задание
Слайд 3
Свойства функции
Слайд 4
Свойства функции ЧЕТНОСТЬ Четная функция Нечетная функция Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х . Четная функция симметрична относительно оси ординат . Функция y = f(x) называется четной, если область ее определения есть множество, симметричное относительно начала координат, и если f (-x) = f (x) при любом х Х . Нечетная функция симметрична относительно начала координат .
Слайд 5
Монотонность Возрастающая Функцию у = f ( х ) называют возрастающей на множестве Х , если для любых двух точек х 1 и х 2 множества Х , таких , что х 1 f (х 2 ). x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) х 1 x 2 f(x 2 ) f(x 1 ) Свойства функции
Слайд 6
Ограниченность Функцию у = f ( х ) называют ограниченной снизу на множестве Х , если все значения функции на множестве Х больше некоторого числа . Функцию у = f ( х ) называют ограниченной сверху на множестве Х , если все значения функции на множестве Х меньше некоторого числа . х у х у Свойства функции
Слайд 7
Наибольшее и наименьшее значения Число m называют наименьшим значением функции у = f ( х ) на множестве Х , если: в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = m . для всех х из Х выполняется неравенство f ( х ) ≥ f (х 0 ). Число M называют наибольшим значением функции у = f ( х ) на множестве Х , если: в Х существует такая точка х 0 , что f (х 0 ) = M . для всех х из Х выполняется неравенство f ( х ) ≤ f (х 0 ). Свойства функции
Слайд 8
Непрерывность Непрерывность функции на промежутке Х означает, что график функции на промежутке Х сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков . Задание: Определите, на каком из рисунков изображен график непрерывной функции. Свойства функции 1 2 подумай правильно
Слайд 9
Выпуклость Функция выпукла вниз на промежутке Х , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка . Функция выпукла вверх на промежутке Х , если соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка. Свойства функции
Слайд 10
Алгоритм описания свойств функций Область определения Область значений Четность Монотонность Ограниченность Наибольшее и наименьшее значения Непрерывность Выпуклость Свойства функции
Слайд 11
Свойства функции y = kx + m (k ≠ 0) D ( f ) = (-∞; +∞ ); E ( f ) = (-∞; +∞); ни четная, ни нечетная; возрастает при k > 0 , убывает при k 0 k
Слайд 12
при k 0 D ( f ) = (-∞, +∞ ); E ( f ) = [ 0, +∞); четная; убывает на луче (-∞, 0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞ ); непрерывна; ограничена снизу, не ограничена сверху; у наиб не существует, у наим = 0; выпукла вниз. Свойства функции у = k х 2 Свойства функции
Слайд 13
при k > 0 D ( f ) = (-∞,0) U (0, + ∞ ); Е( f ) = (-∞,0) U (0,+∞); нечетная убывает на луче (-∞,0) и на луче (0,+∞ ); нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; имеет разрыв в точке х=0 ; выпукла вверх при х 0; не ограничена ни сверху, ни снизу . Свойства функции Свойства функции
Слайд 14
Свойсва функции Свойства функции при k 0 и выпукла вниз при х
Слайд 15
Свойства функции D ( f ) = [ 0,+∞ ); Е( f ) = [ 0, +∞); ни четная, ни нечетная; возрастает на всей области определения; ограничена снизу; у наим = 0, у наиб = не существует; непрерывна; выпукла вверх. Свойства функции y x
Слайд 16
Функция у = | х | D ( f ) = (-∞,+∞ ); Е( f ) = [ 0, +∞); четная; у бывает на луче (-∞,0 ] , возрастает на луче [ 0, +∞ ) ; ограничена снизу, не ограничена сверху ; у наим = 0 , у наиб = не существует ; непрерывна ; можно считать выпуклой вниз. Свойства функции
Слайд 17
Функция у = ах 2 + b х + с при а > 0 D ( f ) = (-∞, +∞ ); Е( f ) = [ у 0 ; +∞) убывает на луче , возрастает на луче ; ограничена снизу; у наим = у 0 , у наиб не существует ; непрерывна; выпукла вниз; Свойства функции при а
Слайд 18
Теоретическая часть Взаимопроверка
Слайд 19
Теоретическая часть Взаимопроверка Вариант I В НИЖЕ У наим ВНИЗ
Слайд 20
Количество баллов Теоретическая часть Практическая часть Выполнение задания ГИА Всего баллов Оценка за урок Лист самооценки Ф И _____________________________________________________
Слайд 21
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ САМОПРОВЕРКА
Слайд 22
Вариант 2 D ( f ) = [ -4;+∞); Е( f ) = (0; 3] ; Ни четная, ни нечетная Возрастает на отрезке [-4; 0] убывает на луче [ 0;+∞) ; Ограничена снизу, ограничена сверху ; у наим = не существует , у наиб = 3 ; Непрерывна ; Выпукла вверх на отрезке [-4; 0] выпукла вниз на луче [ 0;+∞).
Слайд 23
Вариант 1 D ( f ) = (-∞,+∞); Е( f ) = (- ; 4] ; Ни четная, ни нечетная Возрастает на луче (- ; 1] убывает на луче [ 1;+∞) ; Ограничена сверху, не ограничена снизу ; у наим = не существует , у наиб = 4 ; Непрерывна ; Выпукла вверх
Слайд 24
Вариант 3 D ( y ) = (-∞;0) U (0;+ ∞) Е( y ) = (-5; 5) Нечётная Возрастает на [-3; 0) и (0;3]; убывает на (-∞;-3] и [3;+∞) Ограничена снизу, ограничена сверху у наим = не существует , у наиб = не существует Функция имеет разрыв в точке х = 0 Функция выпукла вверх на (-∞;-3] и выпукла вниз на [3;+∞) y x -5 -2 3 5 2 -3 0
Слайд 25
Г И А – 2014 тема: «Функции» Тест для вариантов 1 и 2
Слайд 26
ГИА – 2014: Установите соответствие между графиками функции и формулами, которые их задают: 1. y = x + 1 2. y = x – 1 3. y = 1/x 4. y = x 2 – 1 А Б В
Слайд 27
0 х y 1 1 ГИА – 2014: Указать область значений функции
Слайд 28
ГИА – 2014: На каком (каких) рисунках изображен график четной функции? 4 2 1 х х х y 3 х y y y 0 0 0 0
Слайд 29
ГИА – 2014: Выбрать верное утверждение: х 1 0 y 2 3 4 -1 -2 1 2
Слайд 30
ТЕСТИРОВАНИЕ по заданиям ГИА САМОПРОВЕРКА 431 3 3 1
Слайд 31
31 Вариант 3 : Постройте и прочитайте график функции: x , если х 2; – ( х – 3) 2 + 3, если х 2. у х 2 3 3 0 1. D(f) = ( – ; + ) ; 2. ни четная, ни нечетная; 3. возрастает на отрезке [0; 3], убывает на луче (- ; 0] и на луче [3; + ); 4. не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. у наим ., у наиб . не сущ.; 6. непрерывна; 7. Е (f) = (- ; + ) ; 8. выпукла вверх на луче [2; + ).
Слайд 32
Подведение итогов Всего баллов Оценка 0 – 8 2 9 – 15 3 16 – 21 4 22 – 24 5
Слайд 33
Домашнее задание ВСЕМ : Сборник для подготовки к ГИА – № 1.7.23 – 1.7.25 Вариант 1 – записать свойства функции по графику на рис. 30, 35 Вариант 2 – записать свойства функции по графику на рис. 33, 42 Вариант 3 – файл в Дневник.ру ( Восстановить график функции , если известно, что она нечетная. Используя график, перечислить свойства функции )
Источник