Свойства функции на каком то интервале

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ

Рассмотрим некоторые
свойства функций непрерывных на отрезке. Эти свойства приведём без
доказательства.

Функцию y = f(x)
называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во
всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно
справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого
отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если
функция y = f(x) непрерывна
на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна
точка x1 Î [a, b] такая, что значение
функции f(x) в
этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x1) ≥ f(x).
Аналогично найдётся такая точка x2, в которой значение функции
будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x1) ≤ f(x).

Ясно, что таких
точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x)
принимает наименьшее значение в двух точках x2 и x2′.

Замечание. Утверждение теоремы можно
стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Действительно, если
рассмотреть функцию y = x на (0, 2), то она
непрерывна на этом интервале, но не достигает в нём ни наибольшего, ни
наименьшего значений: она достигает этих значений на концах интервала, но концы
не принадлежат нашей области.

Также теорема перестаёт
быть верной для разрывных функций. Приведите пример.

Следствие. Если функция f(x)
непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом
отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x)
непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка
принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b]
найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция
обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой
геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x),
соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от
оси Ox, то этот график хотя бы в
одной точке отрезка пересекает ось Ox.
Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Эта теорема допускает
следующее обобщение.

Теорема 3 (теорема о промежуточных значениях). Пусть функцияy = f(x)
непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого
отрезка такая точка CÎ [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически
очевидна. Рассмотрим график функции y = f(x).
Пусть f(a) = A, f(b) = B. Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое
между A и B, пересечёт график функции,
по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем
значением x = C, при котором f(c) = C.

Таким образом, непрерывная функция, переходя от одного своего значения к
другому, обязательно проходит через все промежуточные значения. В частности:

Следствие. Если функция y = f(x)
непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения,
то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение,
заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть имеем
некоторую функцию y=f(x),
определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x) имеет
определенное значение.

Рассмотрим два значения аргумента: исходное x0 и новое x.

Разность x– x0 называется приращением аргумента x в точке x0 и обозначается Δx. Таким образом, Δx = x – x0 (приращение аргумента может
быть как положительным, так и отрицательным). Из этого равенства следует, что x=x0+Δx, т.е. первоначальное значение переменной получило некоторое приращение.
Тогда, если в точке x0 значение функции было f(x0),
то в новой точке x функция будет принимать
значение f(x) = f(x0 +Δx).

Разность y – y0 = f(x) – f(x0) называется
приращением функции y = f(x) в
точке x0 и обозначается символом Δy. Таким образом,

Обычно исходное
значение аргумента x0 считается фиксированным, а новое
значение x – переменным. Тогда y0 = f(x0) оказывается
постоянной, а y = f(x) –
переменной. Приращения Δy и Δxтакже будут переменными и формула
(1) показывает, что Dy является функцией переменной Δx.

Составим
отношение приращения функции к приращению аргумента

Найдем предел этого
отношения при Δx→0. Если этот предел
существует, то его называют производной данной функции f(x) в
точке x0 и обозначают f ‘(x0).
Итак,

.

Производной данной функции y = f(x) в
точке x0 называется предел отношения
приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда последнее произвольным образом
стремится к нулю.

Заметим, что для
одной и той же функции производная в различных точках xможет принимать различные
значения, т.е. производную можно рассматривать как функцию аргумента x. Эта функция обозначается f ‘(x)

Производная
обозначается символами f ‘(x),y ‘, . Конкретное значение производной при x = aобозначается f ‘(a) или
y ‘|x=a.

Операция
нахождения производной от функции f(x) называется
дифференцированием этой функции.

Для непосредственного
нахождения производной по определению можно применить следующее практическое правило:

1. Придать x приращение Δx и найти наращенное значение функции f(x + Δx).
2. Найти приращение функции Δy = f(x + Δx) – f(x).
3. Составить отношение и найти предел этого отношения при Δx∞0.

Примеры.

1. Найти производную функции y = x2

   а) в
   произвольной точке;

   б) в точке x= 2.

   а)

   1. f(x + Δx) = (x + Δx)2;
   2. Δy = (x + Δx)2 – x2=2xΔx– x2;
   3. .

      б) f ‘(2)
      = 4

2. Используя определение найти производную функции в произвольной точке.
1. .

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно,
что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к
моменту времени t, v– скорость равномерного движения.

Однако, т.к.
большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае
скорость, а, следовательно, и расстояние sбудет зависеть от времени t,
т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть
материальная точка движется по прямой в одном
направлении по закону s=s(t).

Отметим
некоторый момент времени t0. К этому моменту точка
прошла путь s=s(t0). Определим
скорость vматериальной точки в момент времени t0.

Для этого
рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+Δt. Ему соответствует
пройденный путь s=s(t0+Δt). Тогда за промежуток
времени Δt точка прошла путь Δs=s(t0+Δt)–s(t).

Рассмотрим
отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt. Средняя скорость не может
точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение
неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту
истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток
времени Δt.

Итак, скоростью
движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью)
называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+Δt, когда Δt→0:

,

т.е. скорость
неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем
сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем
кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а
точка М0
остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном
приближении точки М по кривой к точке
М0
с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к
кривой в данной точке М0.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М0
называется предельное положение секущей М0М,
когда точка М стремится вдоль кривой
к точке М0.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и
соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0
функция принимает значение y0=f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует
точка М0(x0; y0). Дадим аргументу x0 приращение Δх.
Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+Δ y=f(x0–Δx).
Получаем точку М(x0+Δx; y0+Δy).
Проведем секущую М0М и
обозначим через φ угол, образованный секущей
с положительным направлением оси Ox. Составим
отношение и заметим, что .

Если теперь Δx→0, то в силу непрерывности
функции Δу→0, и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно
приближается к точке М0.
Тогда секущая М0М будет
стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол φ→α при Δx→0, где через α обозначили угол между
касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой
коэффициент касательной будет:

т.е. f ‘(x) = tg α .

Т.о.,
геометрически у ‘(x0) представляет угловой
коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна
тангенсуугла, образованного касательной
к графику функции f(x) в
соответствующей точке М0
(x; y) с
положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти
угловой коэффициент касательной к кривой у
= х2 в точке М(-1; 1).

Ранее мы уже
видели, что (x2)’ = 2х. Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y‘|x=-1
= – 2.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ

Функция y=f(x) называется
дифференцируемой в некоторой точке x0, если она имеет в этой точке определенную
производную, т.е. если предел отношения существует и конечен.

Если функция
дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка [а; b] или интервала (а; b), то говорят, что она дифференцируема на отрезке [а; b] или соответственно в
интервале (а; b).

Справедлива следующая
теорема, устанавливающая связь между дифференцируемыми и непрерывными
функциями.

Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x0,
то она в этой точке непрерывна.

Таким образом,из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Доказательство. Если
, то

,

где α
бесконечно малая величина, т.е. величина, стремящаяся к нулю при Δx→0.
Но тогда

Δy=f ‘(x0)
Δx+αΔx=> Δy→0
при Δx→0, т.е f(x) – f(x0)→0
при x→x0, а это и означает, что функция f(x) непрерывна в точке x0. Что и требовалось доказать.

Таким образом, в точках
разрыва функция не может иметь производной. Обратное утверждение неверно:
существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются
дифференцируемыми (т.е. не имеют в этих точках производной).

Рассмотрим на рисунке точки а, b, c.

В точке a при Δx→0 отношение не имеет предела (т.к.
односторонние пределы различны при Δx→0–0 и Δx→0+0).
В точке A графика нет определенной
касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами
к1
и к2. Такой тип точек
называют угловыми точками.

В точке b при Δx→0 отношение является знакопостоянной бесконечно большой величиной . Функция имеет бесконечную производную. В этой точке
график имеет вертикальную касательную. Тип точки – “точка перегиба” cвертикальной
касательной.

В точке c односторонние производные являются бесконечно большими
величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиесявертикальные касательные. Тип – “точка
возврата” с вертикальной касательной – частный случай угловой точки.

Примеры.

1. Рассмотрим функцию y=|x|.Эта функция непрерывна в точке x = 0, т.к. .

   Покажем, что она не имеет
   производной в этой точке.

   f(0+Δx) = f(Δx) = |Δx|. Следовательно, Δy = f(Δx) – f(0) = |Δx|

   Но тогда при Δx< 0
   (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)

   А при Δx > 0

   Т.о., отношение при Δx→
   0 справа и слева имеет различные пределы, а это значит, что отношение предела
   не имеет, т.е. производная функции y=|x| в точке x= 0 не существует. Геометрически
   это значит, что в точке x= 0 данная
   “кривая” не имеет определенной касательной (в этой точке их две).

2. Функция определена и непрерывна на всей
   числовой прямой. Выясним, имеет ли эта функция производную при x= 0.

   Следовательно,
   рассматриваемая функция не дифференцируема в точке x= 0. Касательная к кривой в этой точке образует с осью
   абсцисс угол p/2,
   т.е. совпадает с осью Oy.