Свойств какие относятся к динамическим

Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы.[источник не указан 1220 дней] Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.

Состояние динамической системы в любой момент времени описывается множеством вещественных чисел (или векторов), соответствующим определённой точке в пространстве состояний. Эволюция динамической системы определяется детерминированной функцией, то есть через заданный интервал времени система примет конкретное состояние, зависящее от текущего.

Введение[править | править код]

Динамическая система представляет собой такую математическую модель некоего объекта, процесса или явления, в которой пренебрегают «флуктуациями и всеми другими статистическими явлениями».[1]

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.

Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем — это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятия теории динамических систем — устойчивость состояний равновесия (т.е. способность системы при малых изменениях начальных условий сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (т.е. сохранение свойств при малых изменениях самой математической модели; «грубая система — это такая, качественный характер движений которой не меняется при достаточно малом изменении параметров»).[2][1]

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Методы теории динамических систем востребованы в других разделах естествознания, таких как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика.

Определение[править | править код]

Пусть — произвольное гладкое многообразие.

Динамической системой, заданной на гладком многообразии , называется отображение , записываемое в параметрическом виде , где , которое является дифференцируемым отображением, причём — тождественное отображение пространства . В случае стационарных обратимых систем однопараметрическое семейство образует группу преобразований топологического пространства , а значит, в частности, для любых выполняется тождество .

Из дифференцируемости отображения следует, что функция является дифференцируемой функцией времени, её график расположен в расширенном фазовом пространстве и называется интегральной траекторией (кривой) динамической системы. Его проекция на пространство , которое носит название фазового пространства, называется фазовой траекторией (кривой) динамической системы.

Задание стационарной динамической системы эквивалентно разбиению фазового пространства на фазовые траектории. Задание динамической системы в общем случае эквивалентно разбиению расширенного фазового пространства на интегральные траектории.

Способы задания динамических систем[править | править код]

Для задания динамической системы необходимо описать её фазовое пространство , множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем.
Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой (тогда говорят, что время непрерывно), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае «движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Фазовые потоки[править | править код]

Пусть фазовое пространство представляет собой многомерное пространство или область в нем, а время непрерывно. Допустим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка фазового пространства. Иными словами, известна вектор-функция скорости . Тогда траектория точки будет решением автономного дифференциального уравнения с начальным условием . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.

Каскады[править | править код]

Пусть — произвольное множество, и — некоторое отображение множества на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, то есть результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством и множеством моментов времени . Действительно, будем считать, что произвольная точка за время переходит в точку . Тогда за время эта точка перейдет в точку и т. д.

Если отображение обратимо, можно определить и обратные итерации: , и т. д. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени .

Примеры[править | править код]

Система дифференциальных уравнений

задает динамическую систему с непрерывным временем, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость , где — скорость точки . Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле.

Вопросы теории динамических систем[править | править код]

Имея какое-то задание динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать её траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются более простые (но не менее содержательные) вопросы об общем поведении системы. Например:

Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, то есть может ли она вернуться в начальное состояние в ходе эволюции?
Как устроены инвариантные многообразия системы (частным случаем которых являются замкнутые траектории)?
Как устроен аттрактор системы, то есть множество в фазовом пространстве, к которому стремится «большинство» траекторий?
Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек — остаются ли они близкими или уходят со временем на значительное расстояние?
Что можно сказать о поведении «типичной» динамической системы из некоторого класса?
Что можно сказать о поведении динамических систем, «близких» к данной?

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е изд., перераб. и испр.. — М.: Наука, 1981. — 918 с.
Памяти Александра Александровича Андронова. — М.: Изд-во Академии наук СССР, 1955.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б., Подлазов А. В. Нелинейная динамика: подходы, результаты, надежды. — М.: УРСС, 2006.
ред. Аносов Д. В. Гладкие динамические системы. — М.: Мир, 1977. — 256 с.
Евланов Л. Г. Контроль динамических систем. — М.: Наука, 1972. — 423 с. — 4800 экз.
Биркгоф Дж. Динамические системы. — М.: ОГИЗ, 1999. — 480 с. — 3500 экз. — ISBN 5-7029-0356-0.

Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей.. — 2002. — 560 с. — ISBN 5-93972-200-8.

Палис Ж., ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем: Введение. — Мир, 1986. — 301 с.

Ссылки[править | править код]

Weisstein, Eric W. Dynamical Systems (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Источник

В природных системах связи имеют характер потоков вещества, энергии и информации. Все такие системы называют динамическими. Перечислим ряд их характерных свойств.

Функционирование. Внутри динамических систем (к ним относятся и геосистемы) идут интегральные, взаимосвязанные и взаимовлияющие непрерывные процессы обмена вещества, энергии и информации и их преобразование. Природообустройство ставит перед собой задачу управления потоками вещества и энергии в природе и гармонизации круговоротов, т.е. нахождения такого оптимального уровня воздействия, который не приводит к неблагоприятным изменениям в управляемой системе. Единство, интегральность природных процессов представляет сложность для их моделирования.

Открытость Фундаментальная особенность динамических систем – постоянный обмен веществом, энергией и информацией с окружающей средой. Геосистемы обмениваются энергией, веществом и информацией с другими геосистемами, при этом поток энергии пронизывает все элементы, без этого невозможно существование геосистемы. Чем более высокоорганизованна система, тем строже она регулирует обмен веществом и энергией с окружающей средой. Нельзя понимать открытость как абсолютную, она не может быть полной, необходима некоторая изоляция. Возможность существования динамической системы объясняется некоторым преобладанием мощности внутренних связей над внешними, иначе система «размазывается» и перемешивается с окружающей её средой.

Устойчивость– способность восстанавливать или сохранять структуру и другие свойства при резком изменении внешних воздействий. Устойчивость возможна как раз в силу некоторой изолированности от окружающей среды, неполной открытости системы, которая обсуждена ранее. Устойчивость геосистем и компонентов природы растет с увеличением их внутренней неоднородности и разнообразия.

Природную устойчивость геосистем следует отличать от устойчивости техно-природных систем, которая заключается в способности выполнять заданные социально-экономические функции.

Динамичность– способность обратимо изменяться под действием периодически меняющихся внешних факторов без перестройки структуры или с незначительной перестройкой.

Геосистеме это обеспечивает её гибкость, «живучесть». Проявляется она при суточных, сезонных, годовых и многолетних циклах изменения солнечной радиации, свойств воздушных масс атмосферы в виде способности к самоподдержанию при периодически меняющихся внешних воздействиях.

Способность развиваться –геосистемы эволюционно изменяются, т.е. происходит направленное необратимое изменение, приводящее к коренной перестройке структуры, т.е. к появлению новых геосистем.

Скорость изменения зависит от ранга геосистемы: быстрей изменяются фации, затем – урочища, местности, время изменения ландшафтов и их групп измеряется геологическими масштабами. Эволюционные изменения можно, в лучшем случае, замедлить. Приостановить или повернуть вспять невозможно без серьёзного нарушения устойчивости геосистемы. Это свойство нужно для адаптации системы к окружающей среде, оптимизации внутренних и внешних связей.

Свойства геосистем как земных природных систем

Продуцирование биомассы– важнейшее свойство геосистем, заключающееся в синтезе органического вещества первичными продуцентами, важнейшие из которых на суше – зеленые растения, которые при использовании солнечной энергии извлекают двуокись углерода из атмосферы, а из почвы с водными растворами – зольные элементы и азот.

Способность почвообразования – отличительное свойство земных ландшафтов, заключающееся в образовании почвы, которая, являясь продуктом функционирования, стала и важным компонентом природы.

Почва – особое природное тело, которое образуется в результате взаимодействия живых организмов и их остатков с наружными слоями литосферы, предварительно подвергшимися измельчению под действием воды, солнца, ветра (В.В. Докучаев).

Почвы обладают неоценимым свойством – плодородием, т.е. способностью удовлетворять потребности сельскохозяйственных растений в факторах и условиях их роста и развития.

Нелинейность природных процессов. Трансформация энергии и вещества и обмен ими идут с переменной, часто замедляющейся, скоростью: уменьшается скорость впитывания воды в почву, замедляется остывание почвы при похолодании, затухает скорость понижения уровня грунтовых вод при дренировании. Природные процессы могут быть периодичными и даже менять свое направление. Это свойство повышает устойчивость геосистемы, тогда она не идет «враскачку». Нелинейные процессы сложнее изучать и моделировать.

Устойчивость геосистем

Отдельного рассмотрения заслуживает свойство устойчивости геосистем. Часто изменение природных систем в первую очередь отражается на их устойчивости.

Приведем общие критерии природной устойчивости геосистем. Прежде всего, это высокая организованность, интенсивное функционирование и сбалансированность функций геосистем, включая биологическую продуктивность и возобновляемость растительного покрова. Эти качества определяются оптимальным соотношением тепла и влаги, а находят свое выражение, например, в степени развитости почвенного покрова, и, в конечном итоге, в плодородии почв.

Устойчивость геосистем зависит от внутренней неоднородности компонентов и растет с повышением ее ранга. В этом смысле наименее устойчивой является фация – наименьшая геосистема, характеризуемая однородными условиями местоположения и местообитания и одним биоценозом. Фации сильней всего откликаются как на изменение внешних природных условий, так и на деятельность человека. Они наиболее радикально изменяются при природопользовании. Более крупные геосистемы в меньшей степени подвержены изменениям.

Особенности геосистемного подхода

Геосистемный подход к природообустройству наиболее полный из ныне существующих. При природообустройстве очень важно четко обозначить объект этой деятельности. Это имеет не только методологическое, но и большое практическое значение. Воздействие на отдельные компоненты природы – это, в сущности, абстракция, ибо эти компоненты не автономны.

Геосистемный подход по сравнению с экосистемным отличается большей полнотой, т.к. рассматривает систему, в которой есть связи каждого компонента со всеми остальными. При экосистемном подходе детально изучаются взаимосвязи живого и неживого, но выпадают из рассмотрения связи между косными компонентами природы. Экосистема – единство отдельного организма или популяции (сообщества организмов) и среды обитания.

При природообустройстве, равно как и при природопользовании, надо рассматривать целостные геосистемы. Конечно, в каждом конкретном случае можно выделить главный объект природообустройства – определенный компонент геосистемы, не забывая, что он тесно связан с другими. Например, при мелиорации сельскохозяйственных земель главным объектом деятельности является почва, как среда и средство для жизни растений. В других случаях это могут быть поверхностные или подземные воды, грунты, как основания для сооружений.

Общие положения и принципы

Анализ истории развития мелиораций выполнен по отдельным крупным регионам и почвенно-климатическим зонам. Начать этот анализ было целесообразно с пустынной зоны, включающей Среднюю (Центральную) Азию и Закавказье, где к началу XIX века уже имелся многовековой опыт орошения.

К этому времени в государствах рассматриваемых регионов существовала сложная и эффективная система орошаемого земледелия. Орошение играло исключительно важную роль в жизни общества, от него зависело состояние сельского хозяйства – решающей отрасли экономики. Созданные в глубокой древности оросительные системы, непрерывно расширялись и совершенствовались. Анализ истории развития орошения в Средней (Центральной) Азии представляет большой научный и практический интерес по следующим соображениям:

1. Обобщение имеющегося многовекового опыта позволяет оценить, насколько обоснованным было вмешательство России после присоединения Туркестана в развитие туземного орошения, и в какой мере в последующем был учтен этот опыт орошаемого земледелия, обеспечивающий высокую продуктивность орошаемых земель и рациональное использование водных ресурсов.

2. История развития орошения в Средней (Центральной) Азии и Закавказье в период с 1895 по 1990 годы по существу отражает историю развития мелиорации как науки и отрасли хозяйства со всеми ее просчетами и ошибками. Это были своего рода полигоны, на которых методом проб и ошибок отрабатывалась теория и практика орошения земель, и решались важные социально-экономические и политические проблемы (хлопковая независимость, гидроэнергетика и др.).

3. Наконец, насколько обосновано этот опыт был использован при широком развитии орошения в Российской Федерации, в Украине и Молдове, и какие последствия имело это использование.

Основные методы и модели

Для анализа истории развития орошения требуется рассмотрения следующих вопросов:

1. Оценки особенностей региональных природных систем и потребности в орошении и других мелиоративных мероприятиях.

2. Обобщения имеющегося опыта орошения земель.

3. Оценки наиболее эффективных с точки зрения природообустройства путей решения проблемы использования водных и земельных ресурсов.

4. Анализа принимаемых в различное время решений и соответствия их требованиям природообустройства.

Только в этом случае возможен объективный анализ истории развития орошения в различных регионах страны, включающий оценку обоснованности принимаемых решений и последствий их реализации.

Использование системного подхода при оценке особенностей региональных природных объектов позволяет ограничиться анализом основных системных свойств, состава и взаимодействия отдельных компонент и зависимости их от средообразующих факторов. Такой анализ предусматривает использование обобщающих показателей, характеризующих основные свойства, как отдельных компонент, так и объекта в целом. К числу основных свойств природных систем относятся: структура (строение), открытость, целостность и функционирование.

Структура (строение) и целостность природных систем определяется горизонтальной и вертикальной организацией, то есть геоморфологическими, орографическими и геоботаническими условиями, отражающими географическую зональность и представляющими объект как совокупность потоков вещества и энергии. Для анализа этих свойств природных систем могут быть использованы уравнения теплового, водного и геохимического балансов и баланса органического вещества. Анализ структуры и целостности природных систем позволяет оценить общую направленность и интенсивность процессов поступления и расходования вещества и энергии в системе и отвод за ее пределы.

Для определения среднемноголетних элементов регионального водного и солевого балансов должны быть использованы уравнения связи водного и энергетического балансов и результаты геохимических исследований.

В настоящее время существует много методов оценки состояния отдельных природных систем, наибольшее распространение из которых получили методы, основанные на анализе соотношения осадков, испаряемости, суммы активных температур и дефицита влажности воздуха. Не останавливаясь на анализе достоинств и недостатков всех предлагаемых методов, отметим, что для характеристики климатических условий природных систем наиболее подходящим (хотя и не единственным) является «радиационный индекс сухости», предложенный Григорьевым А.А. и Будыко М.И., в основу которого положено отношение радиационного баланса деятельной поверхности к количеству тепла, необходимого для испарения годовых осадков:

Он отражает совокупность основных средообразующих факторов, как для автоморфных

так и для гидроморфных условий

где Ic – радиационный индекс сухости;

R – радиационный баланс, кДж/см2 в год;

Ос – годовая сумма атмосферных осадков, см;

L – скрытая теплота парообразования, кДж/см3 год на 1 см слоя воды;

Ег – испарение с поверхности грунтовых вод, см.

Величина Ic характеризует связь энергетического и водного балансов (энергию Солнца, испарение и влагообмен с грунтовыми водами), т.е. основные факторы, определяющие гидрогеологические и геохимические условия.

Преимуществом этого показателя, являющегося одновременно и обобщающей характеристикой приземного слоя атмосферы, состоит в том, что Ic дает представление о балансе тепла и влаги, позволяет оценить тип водного и солевого режимов почв, интенсивность биологических процессов и, самое главное, зависимость почвенно-мелиоративных геоботанических и геохимических условий от этого параметра.

При использовании Icучитывается идея показателя увлажненности Докучаева. Последнее обстоятельство является очень важным, поскольку дает возможность выявить основные факторы, лимитирующие плодородие почв. Не менее важным является также возможность учета хозяйственной деятельности (орошения) на формирование гидротермических условий

где Ic – индекс сухости в условиях антропогенного воздействия;

W – дополнительное поступление влаги в результате орошения земель или осуществления агролесотехнических мероприятий, см;

R1 – радиационный баланс в измененных условиях, кДж/см2 в год.

где R0 и R1 – величины радиационного баланса до и после распашки и освоения земель, кДж/см2 в год;

А0 и А1 – альбедо в естественных и измененных условиях, в долях от единицы.

Величины испарения, поверхностного и подземного стока определяются из выражений (в относительных величинах):

Для автоморфных условий:

Для гидроморфных условий

где Еа, Ег – испарение в автоморфных и гидроморфных условиях, мм;

Ос -сумма атмосферных осадков, мм;

ga, gr – влагообмен между почвенными и нижележащими горизонтами, мм;

th, ch и sh – гиперболический тангенс, косинус и синус;

Δ и Δкр –глубина залегания и критическая глубина грунтовых вод.

При изучении динамических свойств рассматриваемой природной системы решающую роль играет функционирование, отражающее механизм формирования и развития системы. Это свойство вытекает из представления о том, что связь между компонентами внутри системы значительно устойчивее, чем связь между сопредельными системами. Специфику системы определяют в основном свойства и взаимодействие отдельных компонент природы. Таким образом, для оценки функционирования, как свойства природной системы, необходимо знать обобщенные характеристики основных компонент и связи их между собой и средообразующими факторами.

Обобщенные (интегральные) показатели отдельных компонент природных систем должны отвечать следующим основным требованиям:

универсальности, то есть возможности характеризовать основные свойства каждой компоненты;

интерпретируемости с точки зрения экологии, экономики и управления;

связи с основными средообразующими факторами.

К основным средообразующим факторам, определяющим формирование почвенно-мелиоративных и экологических условий природных систем, следует отнести, в первую очередь, ресурсы солнечной радиации и естественного увлажнения.

Рис. 2.1. Факторы почвообразования (А), водно-физические (Б) и физико-химические (В) свойства почв [17]:

I – гумидная зона; II – степная зона; III – сухостепная зона; IV – пустынная зона;

1 – отношение R/LOc

2 – отношение ежегодного опада к биомассе;

3 – энергия почвообразования;

4 – содержание частиц < 0,001 мм;

5 – влажность почв;

6 – аэрация почв;

7 – содержание водопрочных агрегатов;

8 – доступность питательных элементов;

9 – отношение гуминовых кислот к фульвокислотам;

10 – величина ППК;

11 – содержание гумуса;

12 – величина рН

Обобщенными показателями для растительности, как элемента природной системы, могут служить биоразнообразие и биопродуктивность. И тот, и другой показатель связаны с «индексом сухости» (Ic); максимальные значения биоразнообразия и биопродуктивности в природных условиях соответствуют значениям R = 1,0 -1,2.

Индекс биоразнообразия, учитывающий число видов растений, характеризует экологическую устойчивость и определяется как

Биологическая продуктивность растительности определяется фотосинтетически активной радиацией, коэффициентом ее использования растениями и калорийностью сухого остатка вещества

где – относительная продуктивность;

Б и Бо- продуктивность и потенциальная продуктивность, т/га;

ФАР – величина фотосинтетически активной радиации, мДж/га;

h – коэффициент полезного использования ФАР растениями (h=0,005…0,03);

q – калорийность сухого органического вещества. q = (18…20)·103 мДж/т;

a1 – коэффициент, характеризующий состояние растительности;

A = 3 –коэффициент пропорциональности.

В качестве обобщающего показателя для почв может быть использован «индекс плодородия почвы», характеризующий как «естественное», так и «экономическое» плодородие:

где S – индекс плодородия, характеризующий относительное плодородие почв, баллы; GГ и GФ– запасы гуматного и фульватного гумуса, т/га; N, Р, К- относительное содержание элементов минерального питания, в долях от максимального их содержания в почве; Нг – гидролитическая кислотность, мг-экв/100 г; а2, b, γ, а3- коэффициенты пропорциональности: а2=0,011 га/т; b = 8,5; γ= 5,1; a3=4 мг-экв/100 г.

Источник