С каким свойством симметрии связан закон сохранения энергии
В предыдущих разделах рассмотрены три фундаментальных закона природы: закон сохранения импульса, момента импульса и энергии. Следует
понимать, что эти законы выполняются только в инерциальных системах отсчета.
В самом деле, при выводе этих законов мы пользовались вторым и третьим законами Ньютона, а они применимы только в инерциальных
системах. Напомним также, что импульс и момент импульса сохраняются в том случае, если система замкнутая (сумма всех внешних сил и
всех моментов сил равна нулю). Для сохранения же энергии тела условия замкнутости недостаточно – тело должно быть еще и адиабатически
изолированным (т.е. не участвовать в теплообмене).
Во всей истории развития физики законы сохранения оказались чуть ли не единственными законами, сохранившими свое значение при
замене одних теорий другими. Эти законы тесно связаны с основными свойствами пространства и времени.
равнозначность всех моментов времени (симметрия по отношению к сдвигу начала отсчета времени). Равнозначность следует понимать в
том смысле, что замена момента времени t1 на момент времени t2, без изменения значений
координат и скорости частиц, не изменяет механические свойства системы. Это означает то, что после указанной замены, координаты
и скорости частиц имеют в любой момент времени t2 + t такие же значения, какие имели
до замены, в момент времени t1 + t.
одинаковость свойств пространства во всех точках (симметрия по отношению к сдвигу начала координат). Одинаковость следует понимать
в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое, без изменения взаимного расположения
и скоростей частиц, не изменяет механические свойства системы.
одинаковость свойств пространства по всем направлениям (симметрия по отношению к повороту осей координат). Одинаковость следует
понимать в том смысле, что поворот замкнутой системы, как целого, не отражается на её механических свойствах.
Между законами типа основного уравнения динамики и законами сохранения имеется принципиальная разница. Законы динамики дают нам
представление о детальном ходе процесса. Так, если задана сила, действующая на материальную точку и начальные условия, то можно
найти закон движения, траекторию, величину и направление скорости в любой момент времени и т. п. Законы же сохранения не дают
нам прямых указаний на то, как должен идти тот или иной процесс. Они говорят лишь о том, какие процессы запрещены и потому в
природе не происходят.
Таким образом, законы сохранения проявляются как принципы запрета: любое явление, при котором не выполняется хотя бы один из
законов сохранения, запрещено, и в природе такие явления никогда не наблюдаются. Всякое явление, при котором не нарушается ни
один из законов сохранения, в принципе может происходить.
Рассмотрим следующий пример. Может ли покоящееся тело за счет внутренней энергии начать двигаться? Этот процесс не противоречит
закону сохранения энергии. Нужно лишь, чтобы возникающая кинетическая энергия точно равнялась убыли внутренней энергии.
На самом деле такой процесс никогда не происходит, ибо он противоречит закону сохранения импульса. Раз тело покоилось, то его
импульс был равен нулю. А если оно станет двигаться, то его импульс сам собой увеличится, что невозможно. Поэтому внутренняя
энергия тела не может превратиться в кинетическую, если тело не распадётся на части.
Если же допустить возможность распада этого тела на части, то запрет, налагаемый законом сохранения импульса, снимается. При этом
возникшие осколки могут двигаться так, чтобы их центр масс оставался в покое, – а только этого и требует закон сохранения импульса.
Итак, для того чтобы внутренняя энергия покоящегося тела могла превратиться в кинетическую, это тело должно распасться на части.
Если же есть еще один какой-либо закон, запрещающий распад этого тела на части, то его внутренняя энергия и масса покоя будут
постоянными величинами.
Фундаментальность законов сохранения заключается в их универсальности. Они справедливы при изучении любых физических
процессов (механических, тепловых, электромагнитных и др.). Они одинаково применимы в релятивистском и нерелятивистском движении,
в микромире, где справедливы квантовые представления, и в макромире, с его классическими представлениями.
Источник
Приветствую всех, и сегодня я постараюсь без формул (!) рассказать о связи симметрий и законов сохранения.
Симметрия – это группа преобразований, которая не меняет объект. Например, квадрат не меняется при поворотах (относительно центра) на 90 градусов. А круг не меняется при любых поворотах относительно центра. А еще обе эти фигуры не меняются при зеркальном отражении…
А любая фигура не меняется при повороте на 360 градусов – тоже симметрия, хоть и не очень богатая.
Группа – это такой набор преобразований, что для каждого преобразования найдется то, которое его отменяет. Например, в группе зеркальных отражений два элемента: единичный элемент (преобразование “ничего не делаем”) и собственно отражение. Отражение обратно к себе – оно себя отменяет.
Элементов может быть больше и даже бесконечно много. Нас будут интересовать непрерывные группы с одним параметром. То есть параметр должен меняуравнения явно не зависят. ться непрерывно на отрезке или на всей числовой прямой. Примеры – группа поворотов вокруг данной оси на любой угол или группа сдвигов в данном направлении.
Пусть у нас есть уравнения движения, описывающие изменения координат (и скоростей – их тоже можно считать координатами) каких-то объектов во времени. Разумно предполагать, что, например, время в эти уравнения явно не входит. В противном случае динамика системы зависит от времени. Так бывает, если меняются внешние условия, но если мы записываем законы природы – такого быть не должно. Координаты объектов в уравнения, конечно, входят; но они должны входить в виде разностей, в виде расстояний между объектами, а не абсолютно: в противном случае динамика системы будет меняться в зависимости от того, где мы поместим начало координат. Наконец, уравнения не должны меняться при поворотах, потому что направление осей, опять же, не должно влиять динамику.
Теорема Нётер утверждает, что каждая симметрия дает закон сохранения. В нашем случае их семь: инвариантность по времени дает сохранение энергии, инвариантность по сдвигам (в трех направлениях) дает сохранение импульса (это вектор из трех компонент), а повороты – сохранение момента.
Давайте возьмем два уравнения для координат x и y двух материальных точек в одномерном пространстве. И пусть от времени уравнения явно не зависят. Тогда выберем положение x одной из точек за новое время – мы именно так и поступаем, принимая за время положение Солнца или Луны на небе. Получим одно уравнение для y(x), и оно от нового времени уже может и зависеть. Решим его – там будет произвольная постоянная C (они всегда присутствуют при решении дифференциальных уравнений): y=f(x,C). Выразим эту постоянную: C = U(x,y).
Собственно, это и есть закон сохранения: энергия U всегда сохраняет свое значение. Теперь давайте посмотрим на импульс.
Координаты наших точек в уравнения входят, но только в виде разности x-y. Обозначим эту разность через h и вычтем одно уравнение из другого. Получим опять одно уравнение для переменной h. Далее получим, совершенно аналогично, сохраняющийся импульс. Правда, он может от времени зависеть, но если инвариантность по времени есть, вместо времени уже новая переменная.
Так симметрии связаны с законами сохранения. Получается, что важно даже не то, от чего что-то зависит, а от чего не зависит. К этому принципу мы еще вернемся. Подписывайтесь на канал, будет еще много интересного.
Источник
Законы сохранения энергии и импульса, как и законы Ньютона, выполняются в любых инерциальных системах отсчета. Другими словами, эти законы удовлетворяют механическому принципу относительности. Хотя и механическая энергия, и импульс рассматриваемой системы материальных точек имеют разные значения в разных системах отсчета, их изменение во всех инерциальных системах отсчета описывается одними и теми же законами.
В замкнутых механических системах при любых взаимодействиях частиц полный импульс системы сохраняется независимо от того, будут ли внутренние силы потенциальными или непотенциальными. При наличии внешних сил изменение полного импульса системы равно суммарному импульсу этих сил.
В консервативных механических системах сохраняется полная механическая энергия. При наличии непотенциальных сил изменение энергии равно суммарной работе этих сил, как внешних, так и внутренних. Для «истинно механических», замкнутых систем, где нет так называемых диссипативных сил, подобных силам
трения, полная энергия сохраняется. Когда на такую систему действуют внешние силы, изменение ее энергии равно работе этих внешних сил.
Законы сохранения энергии и импульса тесно связаны с определенными свойствами симметрии пространства и времени. Хотя выше они были получены как следствие законов динамики Ньютона, в действительности они представляют собой более общие принципы, область их применения шире и не ограничивается ньютоновской динамикой.
Однородность пространства. Сохранение импульса в замкнутой системе связано с однородностью пространства. Однородность пространства означает, что все явления в замкнутой системе не изменятся, если осуществить параллельный перенос системы из одного места в другое таким образом, чтобы все тела в ней оказались в тех же условиях, в каких они находились в прежнем положении. При таком переносе потенциальная энергия взаимодействия тел, которая, как это следует из однородности пространства, зависит только от их взаимного расположения, остается неизменной. Значит, при переносе всех тел замкнутой системы на один и тот же вектор равна нулю работа всех внутренних сил
Так как — произвольный вектор, одинаковый во всех слагаемых этой суммы, то отсюда следует, что
т. е. сумма сил в замкнутой системе равна нулю. Это и есть то условие, при выполнении которого второй закон Ньютона приводит к закону сохранения импульса. В этих рассуждениях третий закон Ньютона уже не используется. Вместо него использовано одно из свойств симметрии пространства — однородность.
Из приведенных рассуждений следует не только закон сохранения полного импульса системы, но и сам третий закон Ньютона для любого взаимодействия двух тел. Действительно, в частном случае системы из двух тел равенство (1) принимает вид откуда
Однородность времени. Сохранение энергии в замкнутой системе связано с однородностью времени. Однородность времени заключается в том, что все явления в замкнутой системе при одинаковых начальных условиях будут дальше протекать совершенно одинаково, независимо от того, в какой момент времени эти начальные условия созданы. Это означает, что энергия системы определяется
только ее механическим состоянием, т. е. зависит только от положений и скоростей образующих ее частиц. С течением времени механическое состояние системы изменяется, т. е. радиусы-векторы частиц и их скорости являются функциями времени. Однако энергия системы явно от времени не зависит — вся зависимость энергии замкнутой системы от времени может проистекать только из-за зависимости
Явная зависимость энергии от времени могла бы соответствовать, например, изменению интенсивности гравитационного взаимодействия с течением времени. В этом случае механическая энергия замкнутой системы не сохранялась бы. Однако опыт показывает, что это не так. Если бы по понедельникам гравитационная постоянная была больше своего обычного значения в соответствии с поговоркой: «Понедельник — день тяжелый», то, с легкостью подняв груз на некоторую высоту в субботу или воскресенье, в понедельник можно было бы получить от него ббльшую работу за счет того, что его потенциальная энергия возросла благодаря увеличению гравитационной постоянной. Мы получили бы «вечный двигатель», качающий энергию из времени.
Однородность времени не только приводит к закону сохранения энергии, но и делает возможным сам факт существования науки, устанавливающей объективные законы природы. Справедливость таких законов подтверждается опытами, которые могут быть воспроизведены в любое время, любую эпоху.
Связь пространства и времени. В классической физике представления о пространстве и времени на первый взгляд совершенно независимы друг от друга. Свойство симметрии пространства — его однородность — приводит к закону сохранения импульса замкнутой системы. Аналогичное свойство симметрии времени связано с законом сохранения энергии замкнутой консервативной системы. Однако уже в рамках классической физики связь между понятиями пространства и времени в действительности четко проявляется. А именно, изменение импульса, сохранение которого связано со свойствами пространства, определяется временнбй характеристикой действия силы — ее импульсом И наоборот, изменение энергии, сохранение которой связано со свойствами времени, определяется пространственной характеристикой действия силы — ее работой В релятивистской физике понятия пространства и времени переплетаются настолько тесно, что можно говорить только о едином физическом пространстве-времени, или о четырехмерном пространственно-временном континууме. Понятия пространства самого по себе и времени самого по себе уже утрачивают физический смысл.
• С какими свойствами симметрии пространства и времени связаны законы сохранения импульса и энергии?
• Покажите, как третий закон Ньютона для взаимодействий любой природы можно обосновать, основываясь на однородности физического пространства.
Сохранение энергии и однородность времени. Приведенный ранее вывод закона сохранения механической энергии фактически был основан на интегрировании в общем виде уравнений динамики (второго закона Ньютона). Именно так была получена теорема о кинетической энергии. Можно дать другое доказательство закона сохранения энергии, основанное на представлении об однородности времени.
Энергия замкнутой системы является функцией ее механического состояния, т. е. зависит от радиусов-векторов и импульсов входящих в систему частиц и не зависит явно от времени: Она представляет собой сумму кинетической энергии зависящей от импульсов частиц, и потенциальной энергии зависящей от их положения:
Продифференцируем энергию по времени, учитывая, что меняются со временем:
При дальнейшем преобразовании этого выражения учтем, что в соответствии со вторым законом Ньютона (здесь — равнодействующая всех сил, действующих на частицу); — градиент потенциальной энергии, определяющий действующую на частицу потенциальную силу; наконец, что следует из явного выражения для кинетической энергии Подставляя эти соотношения в (3), приходим к равенству
где — непотенциальная сила, действующая на частицу: Согласно (4) скорость изменения механической энергии замкнутой системы равна мощности действующих в системе непотенциальных сил. При отсутствии таких сил система консервативна и ее механическая энергия сохраняется:
В этом выводе однородность времени проявилась в том, что энергия системы считалась не зависящей от времени явно. В противном случае в правой части выражения (3) появилось бы еще одно слагаемое учитывающее эту зависимость. Мы получили бы , и энергия системы не сохранилась бы.
Симметрия при масштабных преобразованиях. Следствия свойств симметрии не всегда проявляются так наглядно и просто, как в разобранных выше случаях. Симметрия присуща не только пространству и времени, но и самой физической системе. Проявления симметрии могут быть весьма неожиданными и обнаруживать себя в завуалированной форме.
Определенная симметрия характерна и для физических законов, устанавливающих соотношения между характеристиками систем или их изменениями со временем. Она заключается в инвариантности (неизменности) законов или выражающих их уравнений при определенных преобразованиях, которым могут быть подвергнуты физические системы. Одним из таких преобразований является так называемое масштабное преобразование, при котором координаты и время изменяются в определенное число раз:
где — заданные числовые множители.
Выясним, как при таком преобразовании координат и времени преобразуется энергия системы, равная сумме кинетической и потенциальной энергий. При неизменной массе кинетическая энергия, пропорциональная квадрату скорости, очевидно, преобразуется следующим образом:
Чтобы сказать, как преобразуется потенциальная энергия, нужно знать, как она зависит от координат. Напомним, что потенциальные энергии тела в однородном поле тяжести, в ньютоновском поле тяготения и потенциальную энергию упруго деформированной пружины можно записать как определенную функцию координат:
если для каждой из них выбрать начало отсчета соответствующим образом. Это значит, что зависимость каждой из них от соответствующей координаты (где под нужно понимать соответственно или имеет степенной характер:
где для однородного поля, для ньютонова поля тяготения и для упругой пружины.
Из (7) следует, что любая из приведенных потенциальных энергий преобразуется как
Легко видеть, что при определенном выборе таком, что т. е. при
полная механическая энергия преобразуется следующим образом:
Вот здесь-то и начинается самое интересное.
Физическое подобие. Преобразование энергии (10) при преобразовании координат и времени по формулам (5) можно трактовать просто как изменение масштабов используемых единиц длины и времени в заданной физической системе.
Но это же преобразование (10) можно рассматривать и как преобразование энергии при изменении самой физической системы, считая единицы измерения прежними. Например, можно мысленно увеличить все расстояния в несколько раз. Скажем, можно увеличить вдвое радиус орбиты, по которой планета обращается вокруг Солнца, или втрое увеличить высоту, с которой свободно падает тело в однородном поле тяжести Земли, или вчетверо увеличить растяжение пружины. Если при этом время тоже изменить согласно второй из формул (5), причем коэффициент выбрать в соответствии с (9), то по виду преобразования энергии (10) мы не сможем определить, которая из упомянутых двух возможностей была реализована.
Симметрия по отношению к этим возможностям трактовки формулы (10) означает, что при реальном изменении линейных размеров физической системы в а раз все характерные времена в ней изменятся в раз, где в соответствии с (9): В частности, при имеем видно, что в однородном поле время падения с вдвое большей высоты будет больше в раз. При имеем что соответствует третьему закону Кеплера: квадраты периодов пропорциональны кубам линейных размеров геометрически подобных орбит. При получаем — характерное время (период) при колебаниях груза на упругой пружине не зависит от размаха этих колебаний (амплитуды).
Таким образом, использование симметрии физических законов по отношению к масштабным преобразованиям позволяет
найти связь пространственных и временных характеристик движения без обращения к законам динамики.
• В чем проявляется симметрия физических законов по отношению к масштабным преобразованиям?
• Кинооператор снимает сцену взрыва моста на модели в одну десятую натуральной величины. Как следует изменить частоту кадров при съемке, чтобы в кинофильме сцена выглядела правдоподобно?
Источник