Постройте график какой либо функции y f x обладающей указанными свойствами
15. Функции и их графики. Задание 14
21 апреля
Подготовка к заданию №14 базового ЕГЭ
Этот урок посвящён подготовке к заданию №14 базового ЕГЭ. Здесь представлена подборка типичных заданий на эту позицию.
Также для подготовки к этому заданию будет полезно изучить теоретические материалы по ссылке: https://clck.ru/N7So9
#6550
Этот вариант составлен пользователем
Тестовое задание
После выполнения задания вы получите ссылку, которую сможете отправить преподавателю.
На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек
(по отдельности) за каждый календарный месяц 2013 года в городском
роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — число
рождений. Для наглядности точки соединены линиями.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных
периодов времени характеристику рождаемости в этот период.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
- январь – март
- апрель – июнь
- июль – сентябрь
- октябрь – декабрь
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- рождаемость мальчиков в течение второго и третьего месяцев этого периода была одинаковой
- в течение этого периода рождаемость девочек только снижалась
- в каждом месяце этого периода девочек рождалось больше, чем мальчиков
- в каждом месяце этого периода мальчиков рождалось больше, чем девочек
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1].
ГРАФИКИ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- функция возрастает на отрезке [−1; 1]
- функция убывает на отрезке [−1; 1]
- функция принимает положительное значение в каждой точке отрезка [−1; 1]
- функция принимает отрицательное значение в каждой точке отрезка [−1; 1]
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунках изображены графики функций вида
Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.
ГРАФИКИ
А.
Б.
В.
Г.
УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунке изображён график функции Числа и задают на оси интервалы.
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу характеристику функции или её производной.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- значение производной функции положительно в каждой точке интервала
- значение функции отрицательно в каждой точке интервала
- значение производной функции отрицательно в каждой точке интервала
- значение функции положительно в каждой точке интервала
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунке точками показана среднесуточная температура воздуха
в Челябинске в апреле 2012 года. По горизонтали указываются числа месяца,
по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности точки
соединены линией.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных
периодов времени характеристику изменения температуры.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
- 1–7 апреля
- 8–14 апреля
- 15–21 апреля
- 22–28 апреля
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- во второй половине периода среднесуточная температура не повышалась
- среднесуточная температура достигла месячного максимума
- четыре дня в течение периода среднесуточная температура принимала одно и то же значение
- среднесуточная температура не снижалась в течение периода
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунках изображены графики функций вида
Установите соответствие между графиками функций и значениями их производной в точке
ГРАФИКИ
ЗНАЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
В таблице показаны доходы и расходы фирмы за 5 месяцев.
| Месяц | Доход, тыс. руб. | Расход, тыс. руб. |
| Сентябрь | 155 | 130 |
| Октябрь | 120 | 110 |
| Ноябрь | 110 | 90 |
| Декабрь | 80 | 110 |
| Январь | 90 | 110 |
Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных месяцев характеристику доходов и расходов в этом месяце.
МЕСЯЦЫ
- октябрь
- ноябрь
- декабрь
- январь
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- наименьший расход в период с сентября по январь
- наибольшее падение дохода, по сравнению с предыдущим месяцем, в период с октября по январь
- наибольшая разница между доходом и расходом
- доход в этом месяце больше, чем доход в предыдущем
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
Установите соответствие между функциями и характеристиками этих функций на отрезке
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунках изображены графики функций вида
Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов и
ФУНКЦИИ
КОЭФФИЦИЕНТЫ
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунке точками показан годовой объём добычи угля в России открытым способом в период с 2001 по 2010 год. По горизонтали указывается год, по вертикали — объём добычи угля в миллионах тонн. Для наглядности точки соединены линиями.
Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных
периодов времени характеристику добычи угля в этот период.
ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ
- 2002–2004 гг.
- 2004–2006 гг.
- 2006–2008 гг.
- 2008–2010 гг.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- объём добычи ежегодно составлял меньше 190 млн т
- в течение периода объём добычи сначала уменьшался, а затем стал расти
- объём добычи в первые два года почти не менялся, а затем значительно вырос
- объём добычи медленно рос в течение периода
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
На рисунке изображён график функции и отмечены точки и на оси
Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- значение функции в точке положительно и значение производной функции в точке положительно
- значение функции в точке отрицательно и значение производной функции в точке отрицательно
- значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
- значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
Установите соответствие между графиками функций и графиками их производных.
ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
ГРАФИКИ ПРОИЗВОДНОЙ
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
Установите соответствие между графиками функций и характеристиками этих функций на отрезке [−1; 1].
ГРАФИКИ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
- функция имеет точку максимума на отрезке [−1; 1]
- функция имеет точку минимума на отрезке [−1; 1]
- функция возрастает на отрезке [−1; 1]
- функция убывает на отрезке [−1; 1]
Запишите в поле для ответа последовательность цифр, соответствующих буквам АБВГ.
Это задание составили эксперты МЦНМО
Источник
Значение функции
Каждой функции поставьте в соответствие её наименьшее значение функции:
- $у=х^{2}+4х$
- $у=х^{2}+6х$
- $у=2х^{2}+4х+5$
- $y=2х^{2}−8х+5$
- A 3
- B −3
- C −4
- D −9
Определите точку минимума и найдите в ней значение функции.
Экстремумы функции
На рисунке изображен график производной функции $y = f(x)$, определённой на интервале (-5; 9).
Определите точки минимума функции:
Воспользоваться алгоритмом нахождения точек минимума и максимума
Построение графиков функций
По представленной таблице определите промежутки возрастания, убывания, точки максимума и минимума функции. Впишите ответ:
Воспользуйся определением возрастающей (убывающей функции), определением точки минимума (максимума) или обратись к тезаурусу.
Промежутки возрастания: [
;
];
Промежутки убывания: (-∞;
], [
; +∞);
х =
– точка минимума;
х =
– точка максимума
Построение графиков функций
Заполните пропуски в тексте
графика функции $y = f(x)$ – прямая, обладающая тем свойством, что
от точки $(х, f(x))$ до этой прямой
к нулю при неограниченном удалении точки
от начала координат.
Экстремумы функции
Найдите наименьшее значение функции [y=x+frac{4}{x},(0;10]]
Воспользоваться алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.
Построение графиков функций
Определите по рисункам, что является функцией:
Функцией называется правило f(х) по которому каждому элементу x множества X ставится в соответствие единственный элемент y множества Y.
График функции
Определите верный эскиз графика функции, используя данные таблицы.
График функции
Выберите верный эскиз графика функции $у = х^3 – 3х^2 + 4$ в интервале [-2;4].
Источник
Тема: Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функции, заданных различными способами. Свойства функции.
Цель:
- дать определение понятий «функция», «область определения», «область значений», «график функции»;
- рассмотреть способы задания функций;
- рассмотреть свойства функций (нули функций, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания функции, четность и нечетность функции)
- рассмотреть свойства некоторых элементарных функций
Теоретическая часть
Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.
Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.
Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.
Способы задания функции:
1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;
2. табличный способ (функция задается с помощью таблицы)
3. описательный способ (функция задается словесным описанием)
4. графический способ (функция задается с помощью графика).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1. Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
3. Возрастание (убывание) функции.
Возрастающая в некотором промежутке функция – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x12 , справедливо неравенство f(x1)2).
Убывающая в некотором промежутке функция – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x12, справедливо неравенство f(x1)>f(x2).
4. Четность (нечетность) функции
Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, у = х2 – четная функция.
Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = – f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х3 – нечетная функция.
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2+х).
Свойства некоторых функций и их графики
1. Линейной функцией называется функция вида , где k и b – числа.
Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.
Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b) и параллельная прямой у = kx.
Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.
Свойства линейной функции.
1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.
2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.
3. Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.
При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.
3. При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
При k = 0 линейная функция имеет вид у = b и при b ≠ 0 она является четной.
При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.
Графиком линейной функции у = b является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b совпадаете осью Ох.
5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если . При k 0 имеем, что у > 0, если и у
2. Функция y = x2
Область определения этой функции – множество R действительных чисел.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.
График функции y = x2 называется параболой.
Свойства функции у = х2.
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) – начало координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 – четная).
5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.
6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
3.Фунуция
Область определения этой функции – промежуток [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.
Свойства функции.
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) – начало координат.
2. Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции является промежуток [0;+∞).
4. Функция не является ни четной, ни нечетной.
5. Функция возрастающая в области определения.
6. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
4. Функция y = x3
Область определения этой функции – множество R действительных чисел,
Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.
График функции у= х3 называется кубической параболой.
Свойства функции y = x3.
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) – начале координат.
2. Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у
3. Множеством значений функции у = х3 является вся числовая прямая.
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются только знаком, т.е. кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у = х3 – нечетная).
4. Функция у = х3 возрастающая в области определения.
5. Функция y = |x|
Область определения этой функции – множество R действительных чисел.
Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = – х. Таким образом, имеем:
График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х
Свойства функции
1. Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) – начале координат.
2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции y = |x|, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.
3. Множеством значений функции y = |x| является промежуток [0;+∞).
4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| – четная).
5. На промежутке [0;+∞) функция y = |x| возрастает.
6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x| убывает.
7. Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.
6. Функция
Область определения функции: .
Область значений функции: .
График — гипербола.
1. Нули функции.
у ≠ 0, нулей нет.
2. Промежутки знакопостоянства,
Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х
Если k у х > 0; у > 0 при х
3. Промежутки возрастания и убывания.
Если k > 0, то функция убывает при .
Если k
4. Четность (нечетность) функции.
Функция нечетная.
Практическая часть:
- Найдите область определения функции
- При каких значениях функция принимает положительные значения?
Постройте график функции
- Постройте график функции и укажите координаты точек пересечения этих графиков.
- Постройте график функции
Проходит ли график через точку А(-35, -65)?
Домашнее задание
- Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой
- Какая из прямых у = 3х – 1, у = 2х + 4 или у = -2х проходит через начало координат? Постройте график этой функции.
Источник