По какому одному свойству можно разбить множество четырехугольников
КАРТА – СХЕМА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
продолжительность – 90 минут
Тема занятия: Декартово произведение и разбиение множеств на классы
Цели занятия:
расширить знания студентов с темы действия с множествами, рассмотреть Декартово произведение, разбиение множеств на классы;
способствовать развитию памяти, внимания, логического мышления;
создать условия для применения полученных знаний при выполнении расчетных заданий.
Необходимое аппаратное и программное обеспечение:
компьютер;
экран;
проектор.
Дидактическое обеспечение:
Карточки с заданиями самостоятельной работы
Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр “Академия”, 2014.
Информационные источники:
Стойлова АП. Математика : учебник для студ. учреждений высш.образования / Л.П. Стойлова. – 4-е изд., стер. – М. : Издательский центр “Академия”, 2014.
Тип и вид учебного занятия:
лекция.
ОРГАНИЗАЦИОННАЯ СТРУКТУРА УРОКА
Этапы урока
Содержание и виды деятельности преподавателя
Примечания
1. Организационный этап
Приветствие, выявление отсутствующих, информирование о теме и целях занятия.
2. Актуализация ЗУН
Устный опрос.
– Что такое множество? Что означает задать множество?
– Способы задания множеств
– Что такое подмножество?
-какие действия выполняем над множествами?
– Что такое пересечение? Объединение?
– Какие свойства пересечения, объединения?
Самостоятельная работа (с взаимопроверкой)
1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.
2. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.
Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.
3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.
Найдите а)(А∩В)∩С; б) )(АВ)С; в) (А В)∩С
3. Изучение нового материала
Теоретические сведения.
– Декартово произведение.
– разбиение множеств на классы
4. Первичное закрепление
Практическое выполнение заданий
5. Информация о домашнем задании
Самостоятельная работа
Методические рекомендации для самостоятельной работы
6. Подведение итогов урока
Подведение итогов работы группы, отдельных студентов.
Корректирование пробелов знаний.
Рефлексия
Декартово произведение
В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.
Путем перебора дети получают:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.
В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.
Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3} и образовывали всевозможные пары.
Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что аА, bВ. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.
Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают АВ. Таким образом АВ = {(x;y) | xA, yB}.
Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.
Рассмотрим следующий пример. Известно, что АВ={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.
Перечислим элементы, принадлежащие множеству АВ, если
А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение АВ={(a, a), (a, b), (a, c),
(a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.
Количество пар в декартовом прoизведении АВ будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(АВ)=n(A)n(B).
В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.
Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.
Декартовым произведением множеств А, А,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А, вторая – А, …, n-ая – множеству А: АА…A.
Пусть даны множества А={2, 3}; А={3, 4, 5}; A={7, 8}. Декартово произведение ААА={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7),
(2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.
Понятие разбиения множества на классы
Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить представление о классификации.
Классификация – это действие распределения объектов по классам на основании сходств внутри класса и их отличия от других объектов. Классификация широко применяется в математике.
Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы бывают острые, тупые и прямые и т.д.
Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.
Считают, что множество Х разбито на классы Х, Х,…, Х, если:
1) подмножества Х, Х,…, Х попарно не пересекаются;
2) объединение этих подмножеств совпадает с множеством Х.
Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классификацию считают неправильной.
Например: а) Множество треугольников Х разбито на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, выделенные подмножества попарно не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х; b) Из множества треугольников Х выделили подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников. Так как множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиения множества Х на классы мы не получили.
Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств.
Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Нас интересуют числа со свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества N подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т.е. получаем еще одно подмножество множества N. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством N, то имеем разбиение данного множества на два класса.
Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый – это класс объектов, обладающих данным свойством, а второй – дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые заданным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.
Рассмотрим ситуацию, когда для элементов множества заданы два свойства. Например, свойства натуральных чисел: «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из множества N можно выделить два подмножества: А – множество чисел, кратных 3 и В – множество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис. 13). Разбиения на подмножества А и В в данном случае на произошло. Но круг, изображающий множество N, можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей. Каждая область изображает некоторое подмножество множество N. Множество I состоит из чисел, кратных 3 и 5, множество I – из чисел, кратных 3 и не кратных 5, множество III – из чисел, кратных 5 и не кратных 3, множество IV – из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех множеств есть множество N.
Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса.
Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводит к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и «быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса (рис. 14): I – класс чисел, кратных 6; II – класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III – класс чисел, не кратных 3.
Примеры
Приведем несколько примеров разбиения:
1. Множество четырехугольников разбито на два класса:
трапеции и прямоугольники. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .
2. Множество четырехугольников разбито на три класса:
квадраты, параллелограммы, прямоугольники. Так как прямоугольник и квадрат – частные случаи параллелограмма, то данные подмножества пересекаются, значит, не выполнено первое условие классификации, и разбиение множества не получено.
3. Дано множество прямых в пространстве, которое разбито на классы по их взаимному расположению: параллельные, пересекающиеся, скрещивающиеся. Данные подмножества попарно не пересекаются, а их объединения совпадают с множеством .
4. Дано множество , которое можно разделить на два класса: и , где – множество натуральных четных чисел, а – множество натуральных нечетных чисел.
5. Множество разбито на три класса: , и . множество чисел, которые делятся на , – множество чисел, которые делятся на , множество чисел, которые делятся на . Но существуют числа, которые могут делится одновременно и на , и . Отсюда следует, что подмножества пересекаются, и разбиение не получено.
Практические задания
Пример 1. Даны множества: А1= {2, 3}, А2= {3, 4, 5}, А3 = {6, 7}. Найти А1´ А2 ´А3.
Решение. Элементами множества А1´ А2 ´А3 будут кортежи длины 3 такие, что первая их компонента принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, третья – множеству А3.
А1´ А2 ´А3 ={(2, 3, 6), (2,3,7), (2,4,6), (2,4,7), (2,5,6), (2,5,7), (3,3,6), (3,3,7),(3,4,6), (3,4,7), (3,4,7),(3,5,6), (3,5,7)}.
Пример 2. Пусть на множестве Х={3, 5, 7} задано отношение «меньше» (т.е. первый элемент меньше второго, второй меньше третьего). Записать декартово произведение XX. Из этого множества следует выбрать элементы, которые должны удовлетворять отношению «меньше».
Решение.
Декартово произведение X Х может быть записано в виде множества из упорядоченных пар:
X Х= {(3;3),(3;5),(3;7),(5;3),(5;5),(5;7),(7;3),(7;5),(7;7)}.
Из этого множества выбираются элементы, которые удовлетворяют отношению «меньше». В результате получится новое множество из упорядоченных пар:
W={(3;5),(3;7),(5;7)}.
В новом множестве все пары являются элементами декартова произведения XX. Отношение «меньше» на множестве Х является подмножеством декартова произведения XX. Бинарное отношение на множестве Х есть подмножество декартова произведения W XX.
2) Декартово произведение двух множеств X Y.
Пример 3.
Пусть заданы два множества: X= {2, 6, 1}, Y= {7, 4, 8}.
Записать декартово произведение X Y .
Решение.
Декартово произведение двух множеств равно:
X Y={(2, 7), (2, 4), (2, 8), (6, 7), (6, 4), (6, 8), (1, 7), (1, 4), (1, 8)}.
Аналогично можно найти декартово произведение трёх множеств: X Y Z.
Источник
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа. / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)
Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. |
Виды четырехугольников: | |||
| |||
| |||
| |||
| |||
| |||
Свойства произвольных четырехугольников: | |||
| |||
Свойства параллелограмма: | |||
| |||
Свойства ромба: | |||
| |||
Свойства прямоугольника: | |||
| |||
Свойства квадрата: | |||
| |||
Свойства трапеции: | |||
|
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Free xml sitemap generator
Источник
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Содержание страницы:
Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.
Четырехугольники бывают выпуклые (ABCD) и невыпуклые (A1B1C1D1).
В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.
Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин: A и C, B и D.
Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.
Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.
Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:
S=12d1d2⋅sinφ
где d1 и d2 – диагонали четырехугольника, φ – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).
Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.
Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма:
- Противолежащие стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
- Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d12+d22=2(a2+b2)
Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.
S=a⋅ha=b⋅hb
Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.
Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.
S=a⋅b⋅sinα
Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.
S=12⋅d1⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь ромба можно найти по трём формулам.
S=a⋅h
Как произведение стороны ромба на высоту ромба.
S=a2⋅sinα
Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.
S=12⋅d1⋅d2
Как полупроизведение диагоналей ромба.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90°.
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны.
- Сохраняются все свойства параллелограмма.
Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:
S=a⋅b
Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.
S=12⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.
Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Сохраняет свойства ромба.
- Сохраняет свойства прямоугольника.
Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:
S=a2
Как квадрат стороны.
S=d22
Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).
Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.
BC и AD – основания, AB и CD – боковые стороны трапеции ABCD.
Свойства трапеции:
сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.
∠A+∠B=180°
∠C+∠D=180°
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m=a+b2
Площадь трапеции можно найти по двум формулам:
S=a+b2⋅h=m⋅h
Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.
S=12d1⋅d2⋅sinφ
Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.
Виды трапеций
Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.
Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.
Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны
Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками
Скачать домашнее задание к уроку 4.
Источник