Определитель какие свойства матриц

Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.

Определение.

Определителем матрицы n×n будет число:

det(A) = Σ(-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn
(α1,α2,…,αn)

где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.

Обозначение

Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).

Свойства определителя матрицы

  1. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

  2. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

  3. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

  4. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

  5. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

    det(A) = det(AT)

  6. Определитель обратной матрицы:

    det(A-1) = det(A)-1

  7. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

  9. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

  10. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

    a11a12…a1na21a22…a2n….k·ai1k·ai2…k·ain….an1an2…ann

    =
    k·a11a12…a1na21a22…a2n….ai1ai2…ain….an1an2…ann

  11. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

    B = k·A   =>   det(B) = kn·det(A)

    где A матрица n×n, k – число.

  12. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

    a11a12…a1na21a22…a2n….bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin….an1an2…ann

    =

    a11a12…a1na21a22…a2n….bi1bi2…bin….an1an2…ann

    +

    a11a12…a1na21a22…a2n….ci1ci2…cin….an1an2…ann

  13. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

  14. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

    det(A·B) = det(A)·det(B)

Методы вычисления определителя матрицы

Вычисление определителя матрицы 1×1

Правило:

Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:

∆ = |a11| = a11

Вычисление определителя матрицы 2×2

Правило:

Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:

∆ = 
a11a12
a21a22
 = a11·a22 – a12·a21

Пример 1.

Найти определитель матрицы A

Решение:

det(A) = 
57
-41
 = 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Вычисление определителя матрицы 3×3

Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

∆ = 
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
 =


a11·a22·a33 +
a12·a23·a31 +
a13·a21·a32 –
a13·a22·a31 –
a11·a23·a32 –
a12·a21·a33

Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка

Правило:

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:

∆ = 
a11a12a13a11a12
a21a22a23a21a22
a31a32a33a31a32
 =


a11·a22·a33 +
a12·a23·a31 +
a13·a21·a32 –
a13·a22·a31 –
a11·a23·a32 –
a12·a21·a33

Пример 2.

Найти определитель матрицы A =
571-410203

Решение:

det(A) =

571-410203

=
5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 –
1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97

Вычисление определителя матрицы произвольного размера

Разложение определителя по строке или столбцу

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по i-той строке
j = 1

Правило:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

n
det(A) = Σaij·Aij – разложение по j-тому столбцу
i = 1

При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример 3.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:

= 2·(-1)1+1·

2111

+ 0·(-1)2+1·

4111

+ 2·(-1)3+1·

4121

=

= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6

Пример 4.

Найти определитель матрицы A

Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):

det(A) =

2411020021134023

=

– 0·
411113023

+ 2·
211213423

– 0·
241213403

+ 0·
241211402 =

= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0

Приведение определителя к треугольному виду

Правило:

Читайте также:  Какие свойства алгоритмов вы уже знаете

Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 – 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример 5.

Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду

Решение:

det(A) =

2411021021134023

Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:

det(A) =

241102102 – 21 – 41 – 13 – 14 – 2·20 – 4·22 – 1·23 – 1·2

=

241102100-3020-801

Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):

det(A) = –

2141012000-3200-81

Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:

det(A) = –

214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81

=
– 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26

Теорема Лапласа

Теорема:

Пусть ∆ – определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.

Источник

Пусть — квадратная матрица порядка . Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы порядка называется единственный элемент этой матрицы: .

2. Определителем матрицы порядка называется число

(2.1)

где — определитель квадратной матрицы порядка , полученной из вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в “прямые” скобки:

Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово “матрица”. Например, первая строка определителя n-го порядка — это первая строка квадратной матрицы n-го порядка.

Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка. Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу. Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.

Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной (неособой).

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

(2.2)

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

(2.3)

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других — со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, — со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Читайте также:  В каком соединении марганец проявляет только окислительные свойства

Пример 2.1. Вычислить определители

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим ;

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка .

Дополнительным минором элемента называется определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется дополнительный минор этого элемента, умноженный на

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(разложение по i-й строке);

(разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

где — дополнительный минор элемента . Обозначим . Тогда . Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя , получаем определитель верхней треугольной матрицы такого же вида, как , но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель , по последней строке ((n-1)-й строке), получаем . Продолжая аналогичным образом и учитывая, что , приходим к формуле

т.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы , т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя “равноправны”: любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю: .

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на про тивоположный (свойство антисимметричности):

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

при

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

при

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются и соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

8. Определитель линеен по любому столбцу:

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

при .

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е. ):

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

(2.4)

4. Пусть — квадратная матрица. Квадратная матрица того же порядка, что и , называется присоединенной по отношению к , если каждый ее элемент равен алгебраическому дополнению элемента матрицы . Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением , при этом получим матрицу ;

б) найти присоединенную матрицу , транспонируя матрицу .

Из формул (2.4) следует, что , где — единичная матрица того же порядка, что и .

Пример 2.3. Дана матрица . Сравнить определитель матрицы с определителями матриц

Решение. Определитель матрицы был найден в примере 2.1: . По формуле (2.2) вычисляем определители остальных матриц:

Читайте также:  Какие есть свойство корней

что соответствует свойству 1;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-го и 2-го столбцов;

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-й и 2-й строк;

что соответствует свойству 6, так как матрица получена из матрицы умножением элементов 2-й строки на число ;

что соответствует свойству 9, так как матрица получена из матрицы прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на .

Пример 2.4. Дана матрица . Найти присоединенную матрицу и вычислить произведения и .

Решение. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу (см. п.4 замечаний 2.3), т.е.

Вычислим произведения

что соответствует п.4 замечаний 2.3, так как (см. пример 2.1).

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы , где — произвольная квадратная матрица, — единичная, а — нулевая матрица соответствующего порядка, — транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы . Следовательно,

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

На главную страницу

Определители


В конец страницы

3. 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

       
Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее
определителем
, или детерминантом, и обозначается |А|,
det
А
,
или .
Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое
в виде квадратной таблицы

det
А

и равное алгебраической
сумме
n!

произведений вида .

Итак,
det
А,

где суммирование
распространено на все перестановки из чисел 1, 2, …,
n.

Здесь  –
число инверсий в перестановке .
Говорят, что числа  и
 образуют
инверсию в перестановке ,
если большее из чисел  и
 расположено
левее меньшего.

       
Например, для
n

 2

,

для
n

 3

      

Правило вычисления
определителя  равносильно
правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

      
1. Равноправие строк и столбцов.
При транспонировании матрицыее определитель не меняется.

      
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны
нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое
слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца
(строки).

      
3. Антисимметрия.
При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на
противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.

Доказательство свойств 1 и 3
основано на правиле расстановки знаков членов определителя.

4. Определитель с
двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.

Действительно, при
перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но
вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.

,
откуда  или
.

5. Линейность.
Если j-й
столбец
(i
строка
A
)
определителя det
A

является линейной комбинацией
λB
+
μ
C
(A λB
+
μ
C)
двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель
оказывается линейной комбинацией
det
A

 det

A
(λB+
μ
C)

 λdet

A
(B)
+
μdet

A
(C)
определителей det
A(B)
и det
A
(C).
Здесь det
A
(B)
(det
A
(C))
– определитель, полученный из определителя
det
А
заменой
в нем j-го
столбца
A
 на
столбец В(столбец С ).

6. Общий множитель
всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его
знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить
на число λ, то сам определитель умножится на это число.

7. Если какой-либо
столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов
(строк), то определитель равен нулю.

Свойства 6 и 7 вытекают из
пятого свойства.

8. Определитель не
изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную
комбинацию его столбцов (строк).

Действительно, в силу
линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с
двумя одинаковыми столбцами (строками).

9. Определитель суммы
двух квадратных матриц одного и того же порядка
n

A 
и  В ,

i
,
j
=  равен
сумме всех различных определителей порядка
n
,
которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с
соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть –
совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.

Доказательство следует из
свойства линейности определителя.

10. Определитель
произведения двух матриц равен произведению их определителей
det
()

 det
det
B.

Назад    
К
началу страницы    
Вперед

Источник