Начертите график какой нибудь функции обладающей следующими свойствами

При первом появление понятия функции следует отказаться от четкой формулировки определения. В ныне действующих учебниках нет единства в вопросе определения функции. Поэтому целесообразно вводить определение понятия в 9 классе, а до этого строить теорию при отсутствии определения. Определение функции лучше ввести через понятие соответствия, когда учащиеся накопят большой опыт в работе с этим понятием и вполне осмыслят его как на интуитивном, так и на рабочем уровне.

Проанализировав накопленный опыт в использовании понятия функции и в работе со свойствами функции в курсе алгебры 7-8 классов, у учащихся появляется потребность в формальном определении понятия функции и соответствующих свойств функции. При введении понятия необходимо выделить два обстоятельства, подводящие к определению функции: область определения и правило соответствия. Вначале дается определение независимой и зависимой переменных.

Для правильного формирования понятия функции полезно рассматривать кусочные функции, то есть функции заданные разными формулами на разных промежутках. Они во многих случаях являются математическими моделями реальных ситуаций. Изучение таких функций препятствует отождествлению функций с их аналитической записью, помогает легче понять тонкость, содержащуюся в определении «правило f»

С учетом всего выше сказанного предлагается вводить понятие функции и ее свойств в 9 классе по следующей схеме:

1) Определение числовой функции. Область определения, область значения функции; способы задания функций и чтение графиков;

2) Свойства функций.

Далее предлагается банк задач направленный на проверку умений учеников в соответствии с требованиями проекта стандарта 2002 года по теме «Функции». Задачи собраны по каждой теме таким образом, чтобы учитель мог проверить на какую оценку претендует ученик.

Критерии оценки учащегося:

Для получения отметки «3» необходимо уметь решать задачи на прямое воспроизведение теории (простой уровень). Эти задачи должны выполнять требования стандарта.

Для получения отметки «4» необходимо уметь решать задачи на прямое воспроизведение теории (средний и сложный уровень), ученик должен уметь решать задачи используя перенос знаний (простой уровень), должен решать задачи простого уровня имеющие нестандартный вид (по формулировке).

Для получения отметки «5» необходимо уметь решать задачи на применение знаний (умений) в незнакомой ситуации, для решения нового круга задач, использовать творческий перенос знаний (самостоятельное использование ранее усвоенных знаний в новой ситуации, для решения проблемы; видение проблемы и способов ее решения и т.п.), ученик должен решать задачи среднего и сложного уровня имеющие нестандартный вид, должен уметь решать задачи на применение не только математического аппарата, но и логического, физического и др.

1) Определение числовой функции. Область определения, область значения функции, способы задания функций, чтение графиков.

Отметка «3».

На эту оценку собраны задачи, в которых ученик должен воспроизвести полученные теоретические знания. Задачи являются простыми, они обязательны для решения, так как без них не будут выполняться требования стандарта к математической подготовке школьников.

Графические:

1) На рисунке изображен график функции у=f(x). Найдите по графику:

а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному -1; 0; 2;

б) значение аргумента, при котором значение функции равно -1; 1; 4.

в) f(0); f(2);

г) значения х, при которых f(x)=-1; f(x)=4.

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Здесь необходимо по графику найти значение функции по данному аргументу и наоборот. Идет работа над символьным языком

3) В таблице приведены данные об изменении температуры в течении 30 дней. Постройте график температуры. Проанализируйте как менялась температура. Какой день был самым теплым? В какие дни температура не менялась?

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Здесь от учащихся требуется использовать графические представления для описания и анализа реальных зависимостей.

4) Функция задана формулой f(x) = x2-х+2. Составьте таблицу значений функции на промежутке [-1;4] с шагом 1. Нарисуйте график данной функции.

Задача на прямое воспроизведение теории, на способы задания функций.

5) Какой из графиков изображенных на рисунке задает функцию y=f(x)?

а)	б)
в)	г)

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Ученик должен проанализировать определение функции и понять какой из графиков не является функцией. У ученика должен сложиться стереотип графика функции.

Постройте график функции y=x2-4. С помощью графика определите:

а) чему равно значение функции при x=2,5;

б) при каких значениях аргумента значение функции равно 3.

Задача аналогична задачам №1 и №2, но добавляется задание построить график.

7) Начертите график какой-либо функции , для которой:

а) , ;

б) , .

Задача на прямое воспроизведение теории. Проверяет, как ученик усвоил понятия D(f) и E(f), ученик должен понять с помощью каких осей координат их можно найти.

Аналитические:

Найдите значения функции y=x2-3x+2 при x=-5, x=0.

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Задача проверяет как ученик понял понятия, введенные в теории.

При каком значении x функция y=5x-4 принимает значение:

а) равное 26;б) равное 0?

Задача является обратной к предыдущей задаче.

Укажите область определения функции, заданной формулой:

а) y=; в) y=; д) y=

б) y=; г) y= ;е) y=.

Данный тип задач направлен на проверку понимания области определения функции, здесь собраны функции, которые имеют в своем составе простые функции, область определения находится просто.

Постройте график функции:

а) y=0,5x; в) y=2×2; д) y=x2-6x+5;

б) y=-2x+6; г) y=-x2+4;е) y=x2+1.

Задача на прямое воспроизведение теории. По данной аналитической записи построить графики линейных и квадратичных функций.

Проходит ли график функции y=-2×2 через:

а) точку A (0,5; -0,125);

б) точку B (-1,5; -1,1).

Данная задача на прямое воспроизведение теории. Задача преследует цель, чтобы ученик понял смысл графика, аналитического задания функции, понял связь между ними.

Какая из прямых y=0,5x-4; y=-0,5x или y=-0,5x+4 проходит через начало координат? Постройте эту прямую.

Задача аналогична предыдущей задаче, добавляется построение графика.

Известно, что . Сравните:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

Задача на прямое воспроизведение теории. Задача направлена на то, чтобы ученик мог пользоваться всеми языками математики, свободно переходить с одного на другой.

Придумайте функцию с указанной областью определения:

а) ();

б) ().

Данная задача аналогична задаче №7 из графического типа.

Отметка «4»

На отметку «4» ученик должен уметь решать все задачи на отметку «3». Чтобы получить отметку «4» ученик должен решать задачи с переносом знаний, должен увидеть в нестандартной записи условия задачу на тот или иной метод решения.

Графические:

1) Опишите процесс загрузки и разгрузки машины, показанный графически на рисунке. Вычислите скорость, с которой машина загружалась и разгружалась.

В данной задаче ученик не просто читает график функции, но и использует межпредметную связь, вычисляя скорость разгрузки и загрузки.

2) На рисунке изображен график движения пешехода из пункта А в пункт В и график движения велосипедиста из пункта В в пункт А. Ответьте на вопросы:

а) Каково расстояние между А и В?

б) Через сколько времени после начала движения пешеход и велосипедист встретились? Сколько километров к этому времени прошел пешеход и сколько проехал велосипедист?

в) Кто раньше прибыл в конечный пункт – пешеход или велосипедист? На сколько времени?

г) Во сколько раз скорость велосипедиста больше скорости пешехода?

Данная задача усложнена тем, что в одной системе координат нарисованы графики двух функций, это разрушает стереотип, ученик должен ответить на вопросы, применяя полученные знания и межпредметную связь.

3) Является ли графиком какой-либо функции фигура, изображенная на рисунках. Если да, то задайте эту формулу аналитически.

а)	б)
в)	г)

В данной задаче требуется не просто «узнать» функции, но и по графику задать ее. Здесь собраны графики функций, которые задаются с помощью линейных функций или их систем.

Аналитические:

Придумайте функцию с указанной областью определения:

а) ();

б) .

Данная задача аналогична задаче №8 из отметки «3». Здесь задана более сложная область определения

Дана функция

, где

а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Данная задача направлена на прямое воспроизведение теории, здесь аналитически задана сложная функция, по которой требуется ответить на вопросы.

Дана функция , где

а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Задача аналогична предыдущей задаче.

Является ли корректным задание: построить график функции , где

а) б)

Ученик должен проанализировать определение функции, он должен отличать функцию не только с помощью графика, но и в аналитическом виде.

Функция задана формулой , где V- объем конуса (в м3), S – площадь его основания (в м2), h – высота конуса ( в м).

а) Выразите каждую переменную через две другие;

б) найдите значение V, если S=2м2, h=140см;

в) найдите значение S, если V=45дм3, h=0,4м;

г) найдите значение h, если V=5м3, S=2500см2.

Данная задача аналогична задачам №1,2,5 из отметки «3», она усложнена нестандартным заданием функции.

Даны функции

и Покажите, что:

а) б)

Данная задача аналогична задаче №7 из отметки «3». Усложнение происходит из за того, что идет работа с двумя более сложными функциями.

Существуют ли значения аргумента, при которых:

а) функция принимает значение, равное 5;

б) функция принимает значение, равное -4.

Задача аналогична №2 из отметки «3», здесь рассматривается более сложная функция, возможно получение различных ответов.

Найдите область определения каждой из функций:

а) ; б);в) ;

г) д) е) .

Задача аналогична №3 из отметки «3», заданы более сложные функции.

Пусть Найдите:

а) в)

б) г)

Докажите, что график функции:

а) целиком расположен в верхней полуплоскости;

б) не пересекает ось x;

в) не пересекает ось y.

Задача имеет нестандартную запись условия, но имеет достаточно простое решение.

Отметка «5»

Ученик должен решать задания отметки «3» и «4». Для получения отметки «5» необходимо уметь решать задачи на применение знаний (умений) в незнакомой ситуации, для решения нового круга задач, использовать творческий перенос знаний (самостоятельное использование ранее усвоенных знаний в новой ситуации, для решения проблемы; видение проблемы и способов ее решения и т.п.), ученик должен решать задачи среднего и сложного уровня имеющие нестандартный вид, должен уметь решать задачи на применение не только математического аппарата, но и логического, физического и др.

Графические: 1) На рисунке изображены графики функций

; ; ; .

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

а)	б)
в)	г)

В данной задаче требуется поставить в соответствие графику определенную формулу. Задача направлена на то, чтобы ученик проследил и нашел некоторую закономерность.

2) Такси выехало из таксомоторного парка и в течении часа ездило по городу. Через час оно вернулось в таксомоторный парк. Максимальное удаление от парка составило 3 км.

а) Начертите график, показывающий как в течение этого часа могло меняться расстояние S (км) от парка до такси, и прокомментируйте этот график.

б) Используя свой график, постройте движение такси, отложив по горизонтальной оси время движения, а по вертикальной – пройденный такси путь.

В данной задаче ученик по условию должен сам построить график, он должен понять процесс движения такси, проанализировать его и сделать соответствующие выводы, требуемые в условии задачи.

Является ли графиком какой-либо функции фигура, изображенная на рисунках. Если да, то задайте эту формулу аналитически.

а)	б)
в)	г)

В данной задаче требуется не просто «узнать» функции, но и по графику задать ее. Здесь уже собраны графики не линейной функции, а более сложных для понимания функций.

Аналитические:

Приведите пример функции, у которой:

а) в)

б) г) и

Данная задача является нестандартной по записи условия, ученик должен понимать символьный язык, перевести условие задачи на любой другой язык, он должен не просто нарисовать график такой функции, но и задать его аналитически.

Задайте функцию с указанной областью определения:

а) в)

б) г)

Данная задача аналогична задаче №1 из отметки «4», здесь задана более сложная область определения.

Дана функция , где

а) укажите ;

б) вычислите: , , , , ;

в) постройте график функции;

г) найдите .

Задача аналогична задачам №2,3 из отметки «4». Функция имеет более сложное аналитическое задание.

Постройте график функции

В данной задаче необходимо указать область определения, составить таблицу и понять как будет проходить график функции, не знакомой ученикам.

Найдите область определения каждой из функций:

а) в)

б) г)

Задача аналогична №8 из отметки «4», функции имеют более сложные задания.

2) Свойства функций.

Задачи подобраны аналогично задачам на предыдущую тему.

Отметка «3».

Графические

1) На рисунке изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-3;2]. Используя график ответьте на вопросы:

а) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

б) Укажите нули функции?

в) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

г) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает

2) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика.

а)

б)

3) Среди графиков, изображенных на рисунке, найдите график функции, которая возрастает при и убывает при .

4) Начертите график какой-нибудь функции, нулями которой являются числа:

а) -3; 0; 2;б) -5; -2; 0; 2,5; 4.

Для каждой функции укажите промежутки, на которых ее значения положительны; отрицательны.

5) Постройте график функции и прочитайте по графику ее свойства:

а) у=х2;б) у= -х3;в) у=.

6) Исследуйте на четность функции, графики которых изображены на рисунках:

а)	б)
в)	г)

Аналитические:

1) Найдите нули функции:

а) y=3×2+x-2;б) y=10-x2;

в) f(x)=(х-1)(х+2);г) f(x)=x2(x+0,5)(2x-3).

2) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:

а) у=5х;б) у=х3+1;

в)у=х/2+4;г) у=2х3.

3) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

а) у=-5х;б) у=-х3+1;

в)у=4-х/2;г) у=-3х3.

4) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:

а) у=7х+2;б) у=х2;

в) у=1/x, x>0;г) у=.

5) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) у=2х+3, х[0;1];б) у=0,5х2, х(0;2].

6) Является ли симметричным заданное множество:

а) [-3;3];б) [-4;1];

в) (-;+);г) [0;+).

7) Исследуйте на четность функцию:

а) у=х2;б) у=х3.

Отметка «4»

Графические:

1) На рисунке изображен график функции y=f(x), областью определения которой является отрезок [-1,5;1,5]. Используя график ответьте на вопросы:

а) Есть ли у функции наибольшее или наименьшее значение, и если есть, то чему оно равно? При каком значении аргумента функция принимает это значение?

б) Укажите нули функции?

в) Укажите промежутки, на которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

г) Укажите промежутки, на которых функция возрастает; убывает

2) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика?

а)

б)

3) Начертите график какой-нибудь функции, обладающей следующими свойствами: при х1 функция возрастает, а при х1 функция убывает; нулями функции являются числа -1 и 2.

4) График какой-функции изображен на рисунке:

а) f(x)=(x+5)(x-5)(x-10);

б) g(x)=(x+5)(5-x)(x-15);

в) h(x)=(x+5)(x-5)(x-15);

г) р(х)=0,05(x+5)(x-5)(x-15).

5) Постройте график функции и перечислите ее свойства:

а) у=х3+х2-1;б) у=

6) Исследуйте на четность функции, графики которых изображены на рисунках:

Аналитические:

1) Найдите нули функции:

а) f(x)=10х4-250х2;б) f(x)=3х3-108х2.

2) Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой являются числа:

а) -3; 1; 7;б) -4; 2,5; 1/3.

3) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция возрастает:

а) у=х2, x;б) у=-1/x, x>0.

4) Используя свойства числовых неравенств, докажите, что заданная функция убывает:

а) у=х2, x;б) у=3/x, x>0.

5) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:

а) у=-x2+4x-5, x;б) у=-3х2+6x+2, x.

6) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) у=;б) у=4-.

7) Исследуйте на четность функцию:

а) у=, x[-1;1];б) у=х5, x[-4;4].

8) Докажите, что функция является четной: у=3х2+х4.

9) Докажите, что функция является нечетной: у=х2(2х-3).

10) Дана функция f(x)=

Задайте h(x) так, чтобы функция f(x) являлась четной.

11) Известно, что функция у – четная и возрастает при x>0. Определите характер монотонности функции при x<0.

Отметка «5»

Графические:

1) Постройте график функции и перечислите ее свойства:

а) у=;б)у=

2) На рисунке изображены графики функций, определенных на множестве всех чисел. Какие свойства каждой из функций можно выяснить с помощью ее графика?

3) На рисунках построена ветвь графика функции у=р(х). Постройте весь график, если известно, что:

а) функции на рисунках а, г -четные функции;

б) функции на рисунках б, в -нечетные функции.

а)	б)
в)	г)

Аналитические:

1) Найдите нули функции:

а) f(x)=х3-х2-х+1;б) f(x)=х3-х2+х-1.

2) Докажите, что функция возрастает:

а) у=, x>-3;б) у=, x<2.

3) Докажите, что функция убывает:

а) у=, x>4;б) у=, x<-3.

4) Для данной функции ответьте на вопрос, является ли она ограниченной снизу, ограниченной сверху, ограниченной:

а) у=-x3+1, x;б) у=-3×3+6x+2, x.

5) Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

а) у=, x[-5;1];б) у=-, x[-1;1].

6) Докажите, что функция у=х2+х не является ни четной, ни нечетной.

7) Представьте функцию у=4х4-х3+3х2-2х+4 в виде суммы четной и нечетной функции.

8) Дана функция f(x)=

Задайте, если это возможно, h(x) так, чтобы функция f(x) являлась:

а) четной; б) нечетной.

9) Известно, что функция у – четная и ограничена снизу при х>0. Можно ли утверждать, что она при х<0:

а) ограничена сверху;б) ограничена снизу?