На основании какого свойства записано равенство
После получения общих сведений о равенствах в математике переходим к более узким темам. Материал этой статьи даст представление о свойствах числовых равенств.
Что такое числовое равенство
Первый раз мы сталкиваемся с числовыми равенствами еще в начальной школе, когда происходит знакомство с числами и понятием «столько же». Т.е. самые примитивные числовые равенства это: 2=2, 5=5 и т.д. И на том уровне изучения мы называли их просто равенствами, без уточнения «числовые», и закладывали в них количественный или порядковый смысл (который несут натуральные числа). Например, равенство 2=2 будет соответствовать изображению, на котором – два цветка и на каждом сидит по две шмеля. Или, к примеру, две очереди, где вторыми по порядку стоят Вася и Ваня.
По мере появления знаний об арифметических действиях числовые равенства становятся сложнее: 5+7=12; 6-1=5; 2·1=2; 21:7=3 и т.п. Затем начинают встречаться равенства, в записи которых участвуют числовые выражения разного рода. Например, (2+2)+5=2+(5+2); 4·(4−(1+2))+12:4−1=4·1+3−1 и т.п. Дальше мы знакомимся с прочими видами чисел, и числовые равенства приобретают все более и более интересный и разнообразный вид.
Определение 1
Числовое равенство – это равенство, обе части которого состоят из чисел и/или числовых выражений.
Свойства числовых равенств
Сложно переоценить значимость свойств числовых равенств в математике: они являются опорой многому, определяют принцип работы с числовыми равенствами, методы решений, правила работы с формулами и многое другое.Очевидно, что существует необходимость детального изучения свойств числовых равенств.
Свойства числовых равенств абсолютно согласованы с тем, как определяются действия с числами, а также с определением равных чисел через разность: число a равно числу bтолько в тех случаях, когда разность a−b есть нуль. Далее в описании каждого свойства мы проследим эту связь.
Основные свойства числовых равенств
Изучать свойства числовых равенств начнем с трех базовых свойств, которые присущи всем равенствам. Перечислим основные свойства числовых равенств:
- свойство рефлексивности: a=a;
- свойство симметричности: если a=b, то b=a;
- свойство транзитивности: если a=b и b=c, то a=c,где a, b и c – произвольные числа.
Определение 2
Свойство рефлексивности обозначает факт равенства числа самому себе: к примеру, 6=6, −3=−3, 437=437 и т.п.
Доказательство 1
Нетрудно продемонстрировать справедливость равенства a−a=0для любого числа a: разность a−a можно записать как сумму a+(−a), а свойство сложения чисел дает нам возможность утверждать, что любому числу a соответствует единственное противоположное число −a, и сумма их есть нуль.
Определение 3
Согласно свойству симметричности числовых равенств: если число a равно числу b,
то число b равно числу a. К примеру, 43=64, тогда 64=43.
Доказательство 2
Обосновать данное свойство можно через разность чисел. Условию a=b соответствует равенство a−b=0. Докажем, что b−a=0.
Запишем разность b−aв виде −(a−b), опираясь на правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус. Новая запись выражения равна -0, а число, противоположное нулю, это нуль. Таким образом, b−a=0, следовательно: b=a.
Определение 4
Свойство транзитивности числовых равенств гласит, что два числа равны друг другу в случае их одновременного равенства третьему числу. К примеру, если 81=9 и 9=32, то 81=32.
Свойству транзитивности также отвечает определение равных чисел через разность и свойства действий с числами. Равенствам a=b и b=c соответствуют равенства a−b=0 и b−c=0.
Доказательство 3
Докажем справедливость равенства a−c=0, из чего последует равенство чисел a и c. Посколькусложение числа с нулем не меняет само число, то a−c запишем в виде a+0−c. Вместо нуля подставим сумму противоположных чисел −b и b, тогда крайнее выражение станет таким: a+(−b+b)−c. Выполним группировку слагаемых: (a−b)+(b−c). Разности в скобках равны нулю, тогда и сумма (a−b)+(b−c) есть нуль. Это доказывает, что, когда a−b=0 и b−c=0, верно равенство a−c=0, откуда a=c.
Прочие важные свойства числовых равенств
Основные свойства числовых равенств, рассмотренные выше, являются базисом для ряда дополнительных свойств, довольно ценных в разрезе практики. Перечислим их:
Определение 5
Прибавив к (или убавив от) обеим частям числового равенства, являющегося верным, одно и то же число, получим верное числовое равенство. Запишем буквенно: если a=b, где a и b – некоторые числа, то a+c=b+c при любом c.
Доказательство 4
В качестве обоснования запишем разность (a+c)−(b+c).
Это выражение легко преобразуется в вид (a−b)+(c−c).
Из a=b по условию следует, что a−b=0 и c−c=0, тогда (a−b)+(c−c)=0+0=0. Это доказывает, что (a+c)−(b+c)=0, следовательно, a+c=b+c;
Определение 6
Если обе части верного числового равенства перемножить с любым числом или разделить на число, не равное нулю, тогда получим верное числовое равенство.
Запишем буквенно: когда a=b, то a·c=b·c при любом числе c. Если c≠0, тогда и a:c=b:c.
Доказательство 5
Равенство верно: a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0, и из него следует равенство произведений a·c и b·c. А деление на отличное от нуля число c возможно записать как умножение на обратное число 1c;
Определение 7
При a и b, отличных от нуля и равных между собой, обратные им числа также равны.
Запишем: когда a≠0, b≠0 и a=b, то 1a=1b. Крайнее равенство нетрудно доказать: с этой целью разделим обе части равенства a=b на число, равное произведению a·b и не равное нулю.
Укажем еще на пару свойств, которые позволяют осуществлять сложение и умножение соответствующих частей верных числовых равенств:
Определение 8
При почленном сложении верных числовых равенств получается верное равенство. Запись этого свойства такова: если a=b и c=d, то a+c=b+d для любых чисел a, b, c и d.
Доказательство 6
Обосновать это полезное свойство возможно, опираясь на указанные ранее свойства. Мы знаем, что к обеим частям верного равенства возможно прибавить любое число.
К равенству a=bприбавим число c, а к равенству c=d – число b, итогом станут верные числовые равенства: a+c=b+c и c+b=d+b. Крайнее запишем в виде: b+c=b+d. Из равенств a+c=b+c и b+c=b+d согласно свойству транзитивности следует равенство a+c=b+d. Что и нужно было доказать.
Необходимо уточнить, что почленно можно сложить не только два верных числовых равенства, но и три, и более;
Определение 7
Наконец, опишем такое свойство: почленное перемножение двух верных числовых равенств дает верное равенство. Запишем при помощи букв: если a=b и c=d, то a·c=b·d.
Доказательство 7
Доказательство этого свойства подобно доказательству предыдущего. Умножим обе части равенства на любое число, умножим a=b на c, а c=d на b, получим верные числовые равенства a·c=b·c и c·b=d·b. Крайнее запишем как b·c=b·d. Свойство транзитивности дает возможность из равенства a·c=b·c и b·c=b·d вывести равенство a·c=b·d, которое нам необходимо было доказать.
И вновь уточним, что данное свойство применимо для двух, трех и более числовых равенств.
Так, можно записать: если a=b, то an=bn для любых чисел a и b, и любого натурального числа n.
Завершим данную статью, собрав для наглядности все рассмотренные свойства:
a=a.
Если a=b, то b=a.
Если a=bи b=c, то a=c.
Если a=b, то a+c=b+c.
Если a=b, то a·c=b·c.
Если a=bи с≠0, то a:c=b:c.
Если a=b, a=b, a≠0 и b≠0, то 1a=1b.
Если a=b и c=d, то a·c=b·d.
Если a=b, то an=bn.
Источник
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
5 класс. Учитель: Пенькова Елена Валерьевна МОУ Тоншаевская СОШ
2 слайд
Описание слайда:
На основании какого свойства записано равенство (а+5)·х=ах+5х? А. Сочетательного свойства сложения Б. Переместительного свойства сложения В. Распределительного свойства умножения относительно сложения Г. Сочетательного свойства умножения
3 слайд
Описание слайда:
На основании какого свойства записано равенство (х-8)·а=ах-8а? А. Сочетательного свойства умножения Б. Переместительного свойства сложения В. Распределительного свойства умножения относительно сложения Г. Распределительного свойства умножения относительно вычитания
4 слайд
Описание слайда:
Чему равно значение выражения 25·160+75·160? А. 1600 Б. 16000 В. 3200 Г. 32000
5 слайд
Описание слайда:
Упростить выражение 52х+48х А. 100х Б. 6х В. 100(х+х) Г. 2х+100
6 слайд
Описание слайда:
Упростить выражение 52х-48х А. 4х Б. 100х В. 4(х-х) Г. 2х-4
7 слайд
Описание слайда:
Упростить выражение 800а+а А. 801а Б. 810а В. 800(а+а) Г. 800·2а
8 слайд
Описание слайда:
Упростить выражение 75у-у А. 77у Б. 0 В. 74у Г. 75у
9 слайд
Описание слайда:
Решите уранение: 25+х=30 А. 55 Б. 5 В. 15 Г. 6
10 слайд
Описание слайда:
Решить уравнение: 102-х=62 А. 164 Б. 100 В. 40 Г. 44
11 слайд
Описание слайда:
Решить уравнение: 24х=72 А. 1728 Б. 48 В. 3 Г. 96
12 слайд
Описание слайда:
Решить уравнение: 2х+10=20 А. 5 Б. 15 В. 0 Г. 20
13 слайд
Описание слайда:
Решить уравнение: 3х-42=18 А. 180 Б. 24 В. 8 Г. 20
14 слайд
15 слайд
16 слайд
17 слайд
18 слайд
Описание слайда:
Мы писали, мы писали, Наши пальчики устали, А сейчас мы отдохнем, Руки ноги разомнем: «1» – подняться, подтянуться, «2» – согнуться, разогнуться, «3» – в ладоши три хлопка, головою три кивка, «4» – руки шире. «5» – руками помахать, «6» – за парту тихо сесть!
19 слайд
Описание слайда:
ЗВОНОК НЕУДАЧА СРАВНЕНИЕ
20 слайд
21 слайд
Описание слайда:
Мне очень понравился урок. Я хорошо поработал на уроке. Хорошо понял тему Хороший урок. Но я недостаточно хорошо поработал на уроке. Недостаточно хорошо понимаю эту тему Мне не понравился урок. Было трудно работать на уроке, я ничего не понял. Мне нужно еще поработать над данной темой
22 слайд
Выберите книгу со скидкой:
БОЛЕЕ 58 000 КНИГ И ШИРОКИЙ ВЫБОР КАНЦТОВАРОВ! ИНФОЛАВКА
Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Краткое описание документа:
Презентация прилагается к конспекту урока-практикума по математике “Упрощение выражений” – 5 класс (По учебнику Н.Я. Виленкина)
сюжет урока построен по известной сказке “Приключения Незнайки и его друзей в Солнечном городе”. Ребята, выполняя различные задания, помогают Незнайке изучить ноты, научиться рисоваться и сочинять стихи.
Урок начинается с разминки-теста “ребятам предлагается собрать паззл, правильно отвечая на вопросы). затем идут задания:
– упрощение выражений (приведение подобных слагаемых)
– решение уравнений, где предварительно надо упростить левую часть уравнения
– решение текстовых задач с помощью уравнения
Оставьте свой комментарий
Источник
Материал статьи позволит ознакомиться с математической трактовкой понятия равенства. Порассуждаем на тему сути равенства; рассмотрим его виды и способы его записи; запишем свойства равенства и проиллюстрируем теорию примерами.
Что такое равенство
Само понятие равенства тесно переплетено с понятием сравнения, когда мы сопоставляем свойства и признаки, чтобы выявить схожие черты. Процесс сравнения требует наличия двух объектов, которые и сравниваются между собой. Данные рассуждения наводят на мысль, что понятие равенства не может иметь место, когда нет хотя бы двух объектов, чтобы было что сравнивать. При этом, конечно, может быть взято большее количество объектов: три и более, однако, в конечном, счете, мы так или иначе придем к сравнению пар, собранных из заданных объектов.
Смысл понятия «равенство» в обобщенном толковании отлично определяется словом «одинаковые». О двух одинаковых объектах можно говорить – «равные». Например, квадраты 
и . А вот объекты, которые хоть по какому-то признаку отличаются друг от другу, назовем неравными.
Говоря о равенстве, мы можем иметь в виду как объекты в целом, так и их отдельные свойства или признаки. Объекты являются равными в целом, когда одинаковы по всем характеристикам. Например, когда мы привели в пример равенство квадратов, имели в виду их равенство по всем присущим им свойствам: форме, размеру, цвету. Также объекты могут и не быть равными в целом, но обладать одинаковыми отдельными признаками. Например: 
и 
. Указанные объекты равны по форме (оба – круги), но различны (неравны) по цвету и размеру.
Таким образом, необходимо заранее понимать, равенство какого рода мы имеем в виду.
Запись равенств, знак равно
Чтобы произвести запись равенства, используют знак равно (или знак равенства), обозначаемый как =.Такое обозначение является общепринятым.
Составляя равенство, равные объекты размещают рядом, записывая между ними знак равно. К примеру, равенство чисел 5 и 5 запишем как 5=5. Или, допустим, нам необходимо записать равенство периметра треугольника АВС 6 метрам: PАВС=6 м.
Определение 1
Равенство – запись, в которой использован знак равно, разделяющий два математических объекта (или числа, или выражения и т.п.).
Когда возникает необходимость письменно обозначить неравенство объектов, используют знак не равно, обозначаемый как ≠, т.е. по сути зачеркнутый знак равно.
Верные и неверные равенства
Составленные равенства могут соответствовать сути понятия равенства, а могут и противоречить ему. По этому признаку все равенства классифицируют на верные равенства и неверные равенства. Приведем примеры.
Составим равенство 7=7. Числа 7 и 7, конечно, являются равными, а потому 7=7 – верное равенство. Равенство 7=2, в свою очередь, является неверным, поскольку числа 7 и 2 не равны.
Свойства равенств
Запишем три основных свойства равенств:
Определение 2
- свойство рефлексивности, гласящее, что объект равен самому себе;
- свойство симметричности: если первый объект равен второму, то второй равен первому;
- свойство транзитивности: когда первый объект равен второму, а второй – третьему, тогда первый равен третьему.
Буквенно сформулированные свойства запишем так:
- a=a;
- если a=b, то b=a;
- если a=b и b=c, то a=c.
Отметим особенную пользу второго и третьего свойств равенств – свойств симметричности и транзитивности – они дают возможность утверждать равенство трех и более объектов через их попарное равенство.
Двойные, тройные и т.д. равенства
Совместно со стандартной записью равенства, пример которой мы приводили выше, также часто составляются так называемые двойные равенства, тройные равенства и т.д. Подобные записи представляют собой как бы цепочку равенств. К примеру, запись 2+2+2=4+2=6 – двойное равенство, а |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| – пример четвертного равенства.
При помощи таких цепочек равенств оптимально составлять равенство трех и более объектов. Такие записи по своему смыслу являются обозначением равенства любых двух объектов, составляющих исходную цепочку равенств.
Например, записанное выше двойное равенство 2+2+2=4+2=6 обозначает равенства: 2+2+2=4+2, и 4+2=6, и 2+2+2=6, а в силу свойства симметричности равенств и 4+2=2+2+2, и 6=4+2, и 6=2+2+2.
Составляя подобные цепочки, удобно записывать последовательность решения примеров и задач: такое решение становится наглядным и отражает все промежуточные этапы вычислений.
Источник
Числовые равенства и неравенства. Методика изучения числовых равенств и неравенств.
Возьмём два числовых выражения 32-20 и 144 : 12.
Соединим их знаком равенства. 32 -20 = 144 : 12 (и), т. к. 12=12
Получим высказывание, которое называется числовым равенством.
Это высказывание истинно.
14 + 4 • 8 = 4 • 9 (л), т. к. 46≠ 36
Определение 1. Два числа или два числовых выражения, соединённые знаком равенства, называются числовым равенством.
Определение 2. Высказывание вида a = b , где а и в числовые выражения, называется числовым равенством.
Символически числовое равенство записывается так: a = b.
Если знаком равенства соединены 2 числовых выражения, значения которых равны, то получится истинное числовое равенство, если не равны, то ложное.
Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.
Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.
Свойства истинных числовых равенств
1) Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.
Если a = b (и), то a +c = b + c тоже истинно.
Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл
Доказать: a +c = b + c (и).
Доказательство:
По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a +c = a + c .
По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а + с = в + с ч.т.д.
Следствие: Любой член истинного числового равенства можно переносить из одной части в другую, поменяв знак на противоположный.
a + m = b + m + n
a = – m + b + m + n
a = b + n
2) Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же число с, или числовое выражение, имеющее смысл, то получится истинное числовое равенство.
Если a = b (и), то a• c = b•c тоже истинно.
Дано: a = b истинное числовое равенство, c – число или числовое выражение, имеющее смысл
Доказать: a•c = b• c (и).
Доказательство:
По свойству рефлексивности отношения «равно» можно записать a• c = a•c .
По условию a = b , в правой части равенства заменим а на в, получим, а • с = в • с ч.т.д.
Следствие: Обе части истинного числового равенства можно разделить на одно и то же число, не равное нулю.
В начальной школе истинные числовые равенства называют верными, ложные– неверными.
II. Повторение.
-Какие выражения называются числовыми выражениями? (Они образуются из чисел, знаков действий и скобок).
-Что такое значение числового выражения? (Если выполнить все действия, указанные в выражении, получим число, которое называется значением числового выражения).
-Существуют ли числовые выражения, значения которых нельзя найти?
Какие действия выполняются раньше 1 или 2 ступени? (действия второй ступени (умножение и деление), а затем действия первой ступени (сложение и вычитание)).
-Что называетсявыражением с переменной (Запись, состоящая из чисел, знаков действий, скобок и букв)
-Областью определения выражения с переменной? (множество тех значений переменной, при которых выражение имеет смысл).
-Какие преобразования относятся к тождественным?
-приведение подобных;
-раскрытие скобок;
-приведение дробей к общему знаменателю;
-группировка или заключение в скобки)
-Что такое тождественное преобразование? (Замена выражения с переменной другим выражением тождественно равным ему называется тождественным преобразованием).
-Как называются такие записи: (3 + 2)) – 12 или 3х-у:+)8, (их нельзя назвать ни числовым выражением, ни выражением с переменной).
Задача 1. Найти значение выражения Зх(х-2) + 4(х-2) при х = 6.
Решение.
1 способ. Подставим число 6 вместо переменной в данное выражение: 3-6(6-2) + 4(6-2). Чтобы найти значение полученного числового выражения, выполним все указанные действия:
3-6-(6-2) + 4-(6-2) = 18-4 + 4-4 = 72+ 16 = 88. Следовательно, при х = 6 значение выражения
Зх(х-2)+4(х-2) равно 88.
2 способ. Прежде чем подставлять число 6 в данное выражение, упростим его:
Зх(х-2) + 4(х-2) = (х-2)(Зх+4). И затем, подставив в полученное выражение вместо Х число 6, выполним действия: (6-2)-(3-6 + 4)= 4-(18+4) = 4-22 = 88.
Обратим внимание на следующее: и при первом способе решения задачи, и при втором мы одно выражение заменяли другим. Например, выражение 18-4+4-4 заменяли выражением 72+16, а выражение Зх (х-2) + 4(х-2)-выражением (х – 2)(3х + 4), причем эти замены привели к одному и тому же результату. В математике, описывая решение данной задачи, говорят, что мы выполняли тождественные преобразования выражений.
-Какие два выражения называются тождественно равными? (если при любых значениях переменных из области определения выражений их соответственные значения равны).
– Как получить тождество? (Если два тождественно равных на некотором множестве выражения соединить знаком равенства, то получим предложение, которое называют тождествомна этом множестве).
Например, 5(х + 2) = 5х + 10 – тождество на множестве действительных чисел, потому что для всех действительных чисел значения выражения 5(х + 2) и 5х + 10 совпадают. Используя обозначение квантора общности, это тождество можно записать так: ( х R)5(х + 2) = 5х + 10. Тождествами считают и верные числовые равенства.
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.
Задача 2. Разложить на множители выражение ax–bx+ab–b2.
Решение. Сгруппируем члены данного выражения по два (первый со вторым, третий с четвертым): ax–bx+ab–b2 = = (ax–bx) + (ab–b2). Это преобразование возможно на основании свойства ассоциативности сложения действительных чисел.
Вынесем в полученном выражении из каждой скобки общий множитель: (ax–bx)+(ab–b2) = x(a–b)+b(a–b) – это преобразование возможно на основании свойства дистрибутивности умножения относительно вычитания действительных чисел.
В полученном выражении слагаемые имеют общий множитель, вынесем его за скобки: x(a–b)+b(a–b) = (a–b)(x–b). Основой выполненного преобразования является свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.
Итак, ax–bx+ab–b2 – (a–b)(x–b).
Числовые неравенства.
I. Повторение изученного:
– Какое предложение называют числовым равенством?
– Приведите примеры числовых равенств.
Возьмем, например, числовые выражения 3 + 2 и 6 – 1 и соединим их знаком равенства 3 + 2 = 6-1. Оно истинное. Если же соединить знаком равенства 3 + 2 и 7 – 3, то получим ложное числовое равенство 3 + 2 = 7-3.
– Можно ли числовое равенство считать высказыванием? (Да)
– Какое числовое равенство истинно? (Если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают).
– Назовите свойства истинных числовых равенств.
Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое равенство.
Если два числовых выражения соединить знаком «>» или «<», то получим числовое неравенство.
Определение. Два числовых выражения, соединённые знаком «>» или «<», образуют числовое неравенство.
Например, если соединить выражение 6 + 2 и 13-7 знаком «>», то получим истинное числовое неравенство 6 + 2 > 13-7 (И). Если соединить те же выражения знаком «<», получим ложное числовое неравенство 6 +2 < 13-7(Л).
Таким образом, с логической точки зрения числовое неравенство – это высказывание, истинное или ложное. А, следовательно, к числовым неравенствам можно применить логические операции.
Конъюнкцию двух числовых неравенств принято записывать в виде двойного неравенства.
(5 > 4 / 5 < 6) <=> (4 < 5 < 6)
Дизъюнкцию числового равенства и неравенства записывают в виде нестрогого неравенства
(5 > 4 V 5 = 4) <=> (5≥ 4 )
Определение. Если два числовых неравенства имеют одинаковые знаки, то их называют неравенствами одинакового смысла, если у неравенств разные знаки, то неравенствами противоположного смысла.
a >b и c > d – одинакового смысла;
a >b и c < d – противоположного смысла.
Рассмотрим свойства истинных числовых неравенств.
Свойство 1.
Для любых чисел a и b верно, что если a >b, то a – b > 0.
(a, b) (a >b=>a – b > 0).
Доказательство:
Нам дано, что a >b.По опр отношения «>», существует такое натуральное число к, что a = b + к. => по 2 опр разности a – b = к. Так как к N , к > 0, то a – b > 0 ч.т.д.
Свойство 2.
Если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство.
(a, b, с) (a >b => a +с > b + с).
Доказательство:
По условию a > b, тогда по 1 свойству a – b > 0 => (a – b) + (с – с) > 0 =>применяем сочет свойство (a + с) – (b + с) > 0 => по свойству 1 a +с > b + с ч.т.д.
Свойство 3.
Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же положительное число, в результате получим истинное числовое неравенство того же смысла.
(a, b, с>0) (a >b => a • с > b • с).
Доказательство:
По условию a > b, => a – b > 0 => (a – b) • с > 0 =>применяем распределит свойство a • с – b • с > 0 => a • с > b • с ч.т.д.
Свойство 4.
Обе части истинного числового неравенства можно умножать на одно и то же отрицательное число, в результате получим истинное числовое неравенство противоположного смысла (с противоположным знаком).
(a, b, с<0) (a >b => a • с < b • с).
Свойство 5
Истинные числовые неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, в результате получается неравенство того же смысла.
(a, b, с, d) (a >b и c >d => a + c > b +d).
Свойство 6
Истинные числовые неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, сохраняя знак того неравенства, из которого вычитаем.
(a, b, с, d) (a > b и c => a – c > b – d).
Свойство 7
Истинные числовые неравенства одинакового смысла с положительными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство того же смысла.
(a, b, с, d) (a >b >0 и c >d >0 => a • c > b • d).
Свойство 8
Истинные числовые неравенства одинакового смысла с отрицательными частями можно почленно перемножать, в результате получается истинное числовое неравенство противоположного смысла.
(a, b, с, d) (a < b < 0 и c < d < 0 => a • c > b • d).
Свойство 9
Обе части истинного числового неравенства можно возводить в одну и ту же степень с натуральным показателем, при этом получается неравенство того же смысла.
(a, b и nN) (a > b =>an > bn).
Источник