На каких свойствах сложения основано сложение смешанных чисел

Понятие дроби

Дробь — одна из форм представления числа в математике. Это запись, в которой a и b являются числами или выражениями. Существует два формата записи:

• обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое, которое является числителем, а под чертой всегда находится делитель, который называют знаменателем. Черта между ними означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел, например, 5/9 или (1,5 – 0,2)/15.
2. Алгебраические — состоят из переменных, например, (x + y)/(x – y). В этом случае значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 3/7 и 31/45.

Неправильной — ту, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 21/4. Такое число является смешанным и читается, как пять целых одна четвертая, а записывается — 5 14.

Как плюсовать дроби

Сложение — это арифметическое действие, в результате которого получается новое число. Оно содержит в себе сумму заданных чисел.

Свойства сложения

• От перестановки мест слагаемых сумма не меняется: a + b = b + a.
• Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа: (a + b) + c = a + (b + c).
• Если к числу прибавить ноль, получится само число: a + 0 = 0 + a = a
• При сложении числа можно переставлять и объединять в группы, результат от этого не изменится.

Давайте рассмотрим несколько вариантов сложения обыкновенных дробей. 

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы получить результат суммы двух дробей с равными знаменателями, нужно сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь.

Сложение дробей с разными знаменателями

Как складывать дроби с разными знаменателями — для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (далее — НОЗ), а затем воспользоваться предыдущим правилом. Вот, что делать:

1. Найдем наименьшее общее кратное (далее — НОК) для определения единого делителя.

Для этого записываем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.

НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90

2. Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:

• 90 : 15 = 6,
• 90 : 18 = 5.

Полученные числа записываем справа сверху над числителем.

3. Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим делимое и делитель на дополнительный множитель. После умножения делитель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.

4. Проверим полученный результат:

• если делимое больше делителя, нужно преобразовать в смешанное число;
• если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.

Еще раз ход решения одной строкой:

Сложение смешанных чисел

Сложение смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:

1. Сложить целые части.

2. Сложить дробные части.

Если знаменатели разные, воспользуемся знаниями из предыдущего примера и приведем к общему.

3. Суммируем полученные результаты.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.

Если урок в самом разгаре и посчитать нужно быстро — можно воспользоваться онлайн-калькулятором. Вот несколько подходящих:

• Раз 
• Два
• Три

Прибавление и вычитание дробей — смежные темы: принципы и закономерности очень похожи. Чтобы закрепить знания, нужно решать примеры сложения дробей, как можно чаще.

Запишите вашего ребенка на бесплатный вводный урок математики в детскую школу Skysmart: порешаем задачки на интерактивной платформе, порисуем фигуры на онлайн-доске и покажем, что учиться можно с интересом и в удовольствие.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Инфолавка – книжный магазин для педагогов и родителей от проекта «Инфоурок»

Общая информация

Вам будут интересны эти курсы:

Филиал “МАОУ Аромашевская средняя общеобразовательная школа

им. Героя Советского Союза В.Д. Кармацкого” Юрминская СОШ

Открытый урок по математике в 6 классе

«Сложение и вычитание смешанных чисел»

Урок подготовила и провела

учитель математики

Очилбоева Екатерина Петровна

д.Юрминка, 2016 г.

План-конспект урока по математике по теме: «Сложение и вычитание смешанных чисел» (6 класс)

Эпиграф урока:

Три пути ведут к знанию:

путь размышления это путь самый благородный,

путь подражания – это путь самый легкий

и путь опыта это путь самый горький.

Конфуций.

Цель урока:

• изучение и первичное закрепление новых знаний;

• развитие логического мышления; развитие исследовательских умений;

• воспитание интереса к изучению предмета.

Задачи:

образовательные (формирование познавательных УУД):

сформировать способность к сложению и вычитанию смешанных чисел

воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):

участвовать в коллективном обсуждении проблем и взаимоуважение собеседников, воспитывать внимание, ответственность и аккуратность.

развивающие (формирование регулятивных УУД)

1. развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Планируемые результаты. Умение:

выполнять сложение и вычитание смешанных чисел;

применять свойства сложения и вычитания при вычислениях,

рассуждать и делать выводы;

оценивать себя и товарищей.

4.Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

5. Методы обучения:

словесные (при формировании теоретических и фактических знаний);

наглядные (для развития наблюдательности, повышения внимания и лучшего запоминания материала);

проблемно – поисковые (для развития самостоятельности мышления, исследовательских умений, творческого подхода к делу);

индуктивный метод (для развития умения обобщать, осуществлять индуктивные умозаключения);

методы контроля и самоконтроля (рефлексии).

6.Формы работы учащихся: Фронтальная, групповая и индивидуальная.

7.Организация деятельности учащихся на уроке:

-самостоятельно определяют тему, цели урока;

-отвечают на вопросы;

-решают самостоятельно задачи;

-оценивают себя и друг друга;

8.Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

1. Организационный момент. Здравствуйте, дорогие ребята! Улыбнитесь друг другу и пожелайте хорошего настроения! Мне сегодня хочется вам привести слова Роджера Бэкона «Математика – это дверь и ключ ко всем наукам». Без математических знаний человек не может сформироваться как гармоническая личность. Поэтому давайте продолжим усваивать математику, каждый день, добывая новые и новые знания, которые помогут вам в изучении других предметов, как физика, химия и география, а также в нашей практической повседневной деятельности.

2. Актуализация знаний. А вот изучение математики нам будет очень трудно осваивать без умения быстро и верно считать, поэтому начнем урок с устного счета.

На стадии вызова учитель предлагает выполнить следующие примеры:

7 + 9 7 _ 2 5 + 2 4 – 1 3 + 4 4 + 1 3 + 1

11 22 10 5 7 3 5 2 8 5 5 2

(Учащиеся замечают последний пример, указывают на то, что решать его не умеют, возникает проблема в его вычислении, в свою очередь учитель подвел учащихся к изучению нового материала, сообщается тема урока).

– Ребята, как называются эти числа? (смешанные)

– Почему вы испытываете затруднения в сложении смешанных чисел?

-Так как вы испытали затруднения в сложении смешанных чисел, тогда какая задача нашего урока ? (научиться работать со смешанными числами)

Целепологание и мотивация. Итак, как звучит наша тема? Сложение и вычитание смешанных чисел.

Учитель: Совершенно верно. Наша задача научиться слаживать и вычитать смешанные числа.

.

3. Изучение нового материала.

А. На стадии осмысления каждой группе выдается текст под определенным номером, она знакомится с текстом, делает пометки, что не понятно. После прочтения выполняет задание. (7-10 мин).

Далее представитель из каждой группы выходит к доске и решает свой пример с комментированием.

Например:

–Назовите смешанные числа:

– Почему эти числа так называют? (они имеют целую и дробную часть)

– Представьте смешанные числа в виде суммы их целой и дробной частей.

– Назовите ответ.

– Расскажите, как складывают смешанные числа, когда дробные части имеют одинаковые знаменатели. (сначала складывают целые части, затем – дробные части).

– Какие свойства сложения мы применили. (переместительное и сочетательное).

-Запишите эти свойства в буквенном виде: a+b=b+a, a+(b+c)

Вывод: Эти свойства позволяют складывать смешанные числа

Б. Работа над новой темой.

а) – Что же делать если дробные части смешанных чисел имеют разные знаменатели?

Чтобы сложить смешанные числа, надо:   
  1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему 
            знаменателю: 
  2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно 
            дробных частей. Если при сложении дробных частей получилась 
            неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и 
            прибавить ее к полученной целой части.   

-Давайте проверим алгоритм сложения смешанных чисел на примере:

В) работа с учебником с.60, пример 2

Сложим числа:

– Как же поступают в том случае, когда дробная часть представлена неправильной дробью? (выделяют целую часть)

4. Физкультминутка

Учитель: Ребята, вы, наверное, устали?

Ну-ка встали, улыбнулись!

Руки вверх и… Потянулись!

Потянулись, потянулись.

Друг на дружку оглянулись!

Мы, конечно, лучше всех!

Нам сопутствует УСПЕХ!

5. Закрепление

1. № 376 (1 строчка)

2. Решение задачи (слайд )

Король решил отправить трех своих сыновей путешествовать по свету и велел выдать им 5 сундуков золота. Первый, старший принц получил сундука золота, второй – сундука.
1) Сколько сундуков золота получили первые два принца вместе?
2) А сколько сундуков получил третий принц?

Учащиеся формулируют вопросы к задаче, делают краткую запись к ней и предлагают свои варианты сложения и вычитания смешанных чисел, у которых дробная часть с разными знаменателями. Эти варианты разбираются, принимаются или опровергаются

Вопросы: У кого какие идеи и гипотезы?

6. Самостоятельная работа в форме теста.

Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел»

Фамилия, имя___________________________________________

Вариант 1

1. Выполните сложение

а) б) в) г) свой ответ_______________

2. Выполните действие 2

а) 5; б) 6; в) 5; г) свой ответ_______________

3. Выполните сложение 5 + 3

а) 8; б) 8; в) 9; г) свой ответ_____________________

4. Выполни вычитание 6

а) 3; б) 3; в) 2; г) свой ответ_______________

Тема «Сложение и вычитание смешанных чисел»

Фамилия, имя___________________________________________

Вариант 2

1. Выполните сложение

а) б) в) г) свой ответ_______________

2. Выполните действие 4

а) 6; б) 6; в) 7; г) свой ответ_______________

3. Выполните сложение 2

а) 6; б) 5; в) 5; г) свой ответ______________________

4. Выполните вычитание 9

а) 6; б) 4 ; в) 7; г) свой ответ_______________

Ключи к тесту (смотрите на экран)

Вариант 1

Вариант 2

7.Рефлексия. Подведем итоги.

– Вначале урока мы какую задачу ставили перед собой? – Мы её выполнили? Всё ли нам удалось сделать?

Заранее заготовлены сигнальные карты зеленого, красного и синего цвета для каждого ученика.

– Удовлетворены ли вы своей работой на уроке?

– Отметьте, с каким настроением вы сегодня работали?

Мне было все понятно

Небольшие недочеты, есть, над чем работать

Были неудачи, но я все преодолею.

8. Домашнее задание. № 376 (2 строчка), № 391

Приложение 2.

Оценочный лист

Фамилия и имя ________________________________

вариант__________

Карточка-консультант

Текст № 1

Найди значение суммы: 5 + 3

1. Отдельно выполни сложение целых частей и отдельно дробных частей:

5 + 3 = (5+ 3) + ( + )

2. Сложив целые части, найди сумму дробных частей, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

(5+ 3) + ( + ) = 8 + () = 8+

3. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то выдели целую часть из этой дроби и прибавь ее к полученной целой части:

= 1

Итак, 8+ = 9

Вывод: 5 + 3 = 9

Вычисли сам: 7 + 1

Карточка-консультант

Текст № 2

Найди значение суммы: 5 + 3

1. Отдельно выполни сложение целых частей и отдельно дробных частей:

5 + 3 = (5+ 3) + ( + )

2. Сложив целые части, найди сумму дробных частей, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

(5+ 3) + ( + ) = 8 + () = 8+

3. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то выдели целую часть из этой дроби и прибавь ее к полученной целой части:

= 1

Итак, 8+ = 9

Вывод: 5 + 3 = 9

Вычисли сам: 5 + 1

Карточка-консультант

Текст № 3

Найди значение разности: 5 – 3

1. Отдельно выполни вычитание целых частей и отдельно дробных частей:

5 – 3 = (5- 3) + (- )

2. Вычтя целые части, найди разность дробных частей, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

(5- 3) + (- )= 2 + (= 2 +

Итак, 2+= 2

Вывод: 5 – 3 = 2

Вычисли сам: 7 – 1

Карточка-консультант

Текст № 4

Найди значение разности: 5 – 3

1. Переведи смешанные числа в неправильные дроби: 5 = 3 =

2. Вычти дроби и , приведя эти дроби к наименьшему общему

знаменателю: – = =

3. Выдели из неправильной дроби целую часть: = 2

Итак, 5 – 3 2 =2

Вычисли сам: 3 – 1