Какой угол называется внешним и свойства
Угол – основная геометрическая фигура, которую разберем на протяжение всей темы. Определения, способы задания, обозначения и измерения угла. Разберем принципы выделения углов на чертежах. Вся теория проиллюстрирована и имеет большое количество наглядных чертежей.
Определение угла
Определение 1
Угол – простая важная фигура в геометрии. Угол напрямую зависит от определения луча, который в свою очередь состоит из базовых понятий точки, прямой и плоскости. Для досконального изучения необходимо углубиться по темам прямая на плоскости – необходимые сведения и плоскость – необходимые сведения.
Понятие угла начинается с понятий о точке, плоскости и прямой, изображенной на этой плоскости.
Определение 2
Дана прямая a на плоскости. На ней обозначим некоторую точку O. Прямая разделена точкой на две части, каждая из которых имеет название луч, а точка O – начало луча.
Иначе говоря, луч или полупрямая – это часть прямой, состоящая из точек заданной прямой, расположенных на одной стороне относительно начальной точки, то есть точки O.
Обозначение луча допустимо в двух вариациях: одной строчной или двумя прописными буквами латинского алфавита. При обозначении двумя буквами луч имеет название, состоящее из двух букв. Рассмотрим подробнее на чертеже.
Перейдем к понятию определения угла.
Определение 3
Угол – это фигура, расположенная в заданной плоскости, образованная двумя несовпадающими лучами, имеющими общее начало. Сторона угла является лучом, вершина – общее начало сторон.
Имеет место случай, когда стороны угла могут выступать в роли прямой линии.
Определение 4
Когда обе стороны угла расположены на одной прямой или его стороны служат как дополнительные полупрямые одной прямой, то такой угол называют развернутым.
На рисунке ниже изображен развернутый угол.
Точка на прямой – это и есть вершина угла. Чаще всего имеет место ее обозначение точкой O.
Угол в математике обозначается знаком «∠ ». Когда стороны угла обозначают малыми латинскими, то для правильного определения угла записываются подряд буквы соответственно сторонам. Если две стороны имеют обозначение k и h, то угол обозначается как ∠kh или ∠hk .
Когда идет обозначение большими буквами, то соответственно стороны угла имеют названия OA и OB. В таком случае угол имеет название из трех букв латинского алфавита, записанные подряд, в центре с вершиной – ∠AOB и ∠BOA . Существует обозначение в виде цифр, когда углы не имеют названий или буквенных обозначений. Ниже приведен рисунок, где разными способами обозначаются углы.
Угол делит плоскость на две части. В случае, если угол не развернутый, тогда одна часть плоскости имеет название внутренняя область угла, другая – внешняя область угла. Ниже приведено изображение, объясняющее, какие части плоскости внешние, а какие внутренние.
При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.
Внутренняя область угла – элемент, служащий для второго определения угла.
Определение 5
Углом называют геометрическую фигуру, состоящая из двух несовпадающих лучей, имеющих общее начало и соответствующую внутреннюю область угла.
Данное определение является более строгим, чем предыдущее, так как имеет больше условий. Оба определения не желательно рассматривать отдельно, потому как угол – это геометрическая фигура, преобразованная при помощи двух лучей, выходящих из одной точки. Когда необходимо выполнять действия с углом, то под определением понимают наличие двух лучей с общим началом и внутренней областью.
Определение смежных и вертикальных углов
Определение 6
Два угла называют смежными, если имеется общая сторона, а две другие являются дополнительными полупрямыми или образуют развернутый угол.
На рисунке видно, что смежные углы дополняют друг друга, так как являются продолжением один другого.
Определение 7
Два угла называют вертикальными, если стороны одного являются дополнительными полупрямыми другого или являются продолжениями сторон другого. На рисунке ниже показано изображение вертикальных углов.
При пересечении прямых получается 4 пары смежных и 2 пары вертикальных углов. Ниже показано на рисунке.
Сравнение углов
Статья показывает определения равных и неравных углов. Разберем какой угол считается большим, какой меньшим и другие свойства угла. Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. Такое же свойство применимо для сравнения углов.
Даны два угла. Необходимо прийти к выводу, равные эти углы или нет.
Известно, что имеет место наложение вершин двух углов и стороны первого угла с любой другой стороной второго. То есть при полном совпадении при наложении углов стороны заданных углов совместятся полностью, углы равные.
Может быть так, что при наложении стороны могут не совместиться, то углы неравные, меньший из которых состоит из другого, а больший имеет в своем составе полный другой угол. Ниже изображены неравные углы, не совмещенные при наложении.
Развернутые углы являются равными.
Измерение углов
Измерение углов начинается с измерения стороны измеряемого угла и его внутренней области, заполняя которую единичными углами, прикладывают друг к другу. Необходимо посчитать количество уложенных углов, они и предопределяют меру измеряемого угла.
Единица измерения угла может быть выражена любым измеряемым углом. Имеются общепринятые единицы измерения, которые применяют в науке и технике. Они специализируются на других названиях.
Чаще всего используют понятие градус.
Определение 8
Один градус называют углом, который имеет одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.
Стандартное обозначение градуса идет при помощи «°», тогда один градус – 1° . Следовательно, развернутый угол состоит из 180 таких углов, состоящих из одного градуса. Все имеющиеся углы плотно уложены друг к другу и стороны предыдущего совмещены с последующим.
Известно, что количество положенных градусов в угле, это и есть та самая мера угла. Развернутый угол имеет 180 уложенных углов в своем составе. Ниже на рисунке приводятся примеры, где уложение угла идет в 30 раз, то есть одна шестая развернутого, и 90 раз, то есть половина.
Для точности определения измерения углов используются минуты и секунды. Их применяют, когда величина угла не является целым обозначением градуса. Такие части градуса позволяют выполнять более точные расчеты .
Определение 9
Минутой называют одну шестидесятую часть градуса.
Определение 10
Секундой называют одну шестидесятую часть минуты.
Градус содержит 3600 секунд. Минуты обозначают «’», а секунды «”». Имеет место обозначение:
1°=60’=3600”, 1’=(160)°, 1’=60”, 1”=(160)’=(13600)° ,
а обозначение угла 17 градусов 3 минут и 59 секунд имеет вид 17°3’59” .
Определение 11
Градусная мера угла –это число, показывающее количество укладываний градуса в заданном угле.
Приведем пример обозначения градусной меры угла равного 17°3’59” . Запись имеет еще один вид 17+360+593600=172393600.
Для точного измерения углов используют такой измерительный прибор, как транспортир. При обозначении угла ∠AOB и его градусной мере в 110 градусов применяют более удобную запись ∠AOB=110° , которая читается «Угол АОВ равен 110градусам».
В геометрии используется мера угла из интервала (0,180], а в тригонометрии произвольная градусная мера имеет название углов поворота. Значение углов всегда выражается действительным числом. Прямой угол – это угол, имеющий 90 градусов. Острый угол – угол, который меньше 90 градусов, а тупой – больше.
Острый угол измеряется в интервале (0,90), а тупой – (90,180). Ниже наглядно изображены три вида углов.
Любая градусная мера любого угла имеет одинаковое значение. Больший угол соответственно имеет большую градусную меру, чем меньший. Градусная мера одного угла – это сумма всех имеющихся градусных мер внутренних углов. Ниже приведен рисунок, где показан угол АОВ, состоящий из углов АОС, СОD и DОВ. Подробно это выглядит так:∠AOB=∠AOC+∠DOB=45°+30°+60°=135° .
Исходя из этого, можно сделать вывод, что сумма всех смежных углов равна 180 градусам, потому что они все и составляют развернутый угол.
Отсюда следует, что любые вертикальные углы равны. Если рассмотреть это на примере, мы получим, что угол АОВ и СОD – вертикальные (на чертеже), тогда пары углов АОВ и ВОС, СОD и ВОС считают смежными. В таком случает равенство∠AOB+∠BOC=180° вместе с ∠COD+∠BOC=180° считаются однозначно верными. Отсюда имеем, что ∠AOB=∠COD . Ниже приводится пример изображения и обозначения вертикальных улов.
Кроме градусов, минут и секунд используется еще одна единица измерения. Она называется радианом. Чаще всего ее можно встретить в тригонометрии при обозначении углов многоугольников. Что же называют радианом.
Определение 12
Углом в один радиан называют центральный угол, который имеет длину радиуса окружности равную длине дуги.
На рисунке радиан изображается в виде окружности, где имеется центр, обозначенный точкой , с двумя точками на окружности, соединенными и преобразованными в радиусы ОА и ОВ. По определению данный треугольник AOB является равносторонним, значит длина дуги AB равна длинам радиусов ОВ и ОА.
Обозначение угла принимается за «рад». То есть запись в 5 радиан сокращенно обозначается как 5 рад. Иногда можно встретить обозначение, имеющее название пи. Радианы не имеют зависимости от длины заданной окружности, так как фигуры имеют некое ограничение при помощи угла и его дугой с центром, находящимся в вершине заданного угла. Они считаются подобными.
Радианы имеют такой же смысл, как и градусы, только разница в их величине. Чтобы это определить, необходимо вычисленную длину дуги центрального угла поделить на длину ее радиуса.
На практике используют перевод градусов в радианы и радианы в градусы для более удобного решения задач. Указанная статья имеет информацию о связи градусной меры с радианной, где можно подробно изучить переводы из градусной в радианную и обратно.
Обозначение углов на чертеже
Для наглядного и удобного изображения дуг, углов используют чертежи. Не всегда можно правильно изобразить и отметить тот или иной угол, дугу или название. Равные углы имеют обозначение в виде одинакового количества дуг, а неравные в виде разного. На чертеже изображено правильное обозначение острых, равных и неравных углов.
Когда необходимо отметить более 3 углов, используются специальные обозначения дуг, например, волнистые или зубчатые. Это не имеет столь важное значение. Ниже приведен рисунок, где показано их обозначение.
Обозначение углов должны быть простыми, чтобы не мешали другим значениям. При решении задачи рекомендовано выделять только необходимые для решения углы, чтобы не загромождать весь чертеж. Это не помешает решению и доказательству, а также придаст эстетичный вид рисунку.
Источник
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d – / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ |
Òðåóãîëüíèê | |
Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
Òðåóãîëüíèê |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. |
Источник
Тупоугольный треугольник, элементы, свойства, признаки и формулы.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой.
Тупоугольный треугольник (понятие и определение)
Элементы тупоугольного треугольника
Свойства тупоугольного треугольника
Формулы тупоугольного треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник (понятие и определение):
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, т.е. один из его углов лежит в пределах между 90° и 180°.
Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой, а два других – острые. В свою очередь, тупой угол – это угол, градусная мера которого составляет 90° до 180°, а острый угол – это угол, градусная мера которого составляет менее 90 градусов
Рис. 1. Тупоугольный треугольник
∠ BАC– тупой угол треугольника,
∠ АВС, ∠ BСA – острые углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть правильный (равносторонний) треугольник, т.к. у него каждый угол составляет 60°.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника,
∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
По определению, тупоугольным треугольником не может быть прямоугольный треугольник , т.к. у него один угол составляет 90° и сумма двух других углов также составляет 90°.
Рис. 3. Прямоугольный треугольник
Тупоугольный треугольник также может быть одновременно равнобедренным треугольником. Но не всякий равнобедренный треугольник тупой.
Рис. 4. Равнобедренный треугольник
АВ = AС – боковые стороны, BС – основание,
∠ ВАС – вершинный угол, ∠ АBC и ∠ BСA – углы при основании
Хотя в тупоугольном треугольнике тупой угол больше 90 градусов, сумма углов в треугольнике всегда равна 180 градусам.
Элементы тупоугольного треугольника:
Кроме сторон и углов у тупоугольного треугольника также имеются внешние углы. Внешний угол это угол, смежный с внутренним углом треугольника. У любого треугольника, в т.ч. тупоугольного, 6 внешних углов, по 2 на каждый внутренний. Внешний угол тупого угла тупоугольного треугольника всегда будет острым углом. Внешний угол острого угла тупоугольного треугольника всегда будет тупым углом.
Рис. 5. Тупоугольный треугольник и внешний угол
∠ ВAD – острый угол
Медиана тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника), соединяющая вершину треугольника с противоположной стороной, делит ее пополам, т.е. на два одинаковых отрезка.
Рис. 6. Тупоугольный треугольник и медиана тупоугольного треугольника
MA – медиана тупоугольного треугольника
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рис. 7. Тупоугольный треугольник и высота тупоугольного треугольника
MС – высота тупоугольного треугольника
Высота тупоугольного треугольника может лежать за пределами треугольника.
Биссектриса в тупоугольном треугольнике (как и в любом другом треугольнике) делит угол пополам. Биссектрисы пересекаются в точке, которая является центром вписанной окружности.
Рис. 8. Тупоугольный треугольник и биссектриса угла тупоугольного треугольника
MA – биссектриса тупого угла тупоугольного треугольника
Кроме того, биссектриса тупоугольного треугольника (как и любого другого треугольника) делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника
Свойства тупоугольного треугольника:
Свойства тупоугольного треугольника аналогичны свойствам обычного треугольника:
1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
Рис. 9. Тупоугольный треугольник
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.
Рис. 10. Тупоугольный треугольник с равными боковыми сторонами
АВ = АС
3. Сумма углов тупоугольного треугольника равна 180°.
4. Любая сторона тупоугольного треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности:
- a < b + c;
- a > b – c;
- b < a + c,
- b > a – c;
- c < a + b;
- c > a – b.
Квадрат
Овал
Остроугольный треугольник
Полукруг
Прямой угол
Прямоугольник
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ромб
Трапеция
Тупой угол
Тупоугольный треугольник
Шестиугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
2 645
Источник
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè |
Óãîë. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. | |
Êîãäà äâà ëó÷à ( AO è OB ) èñõîäÿò èç îäíîé òî÷êè, òî ôèãóðà, ñôîðìèðîâàííàÿ ýòèìè ëó÷àìè (âìåñòå ñ ÷àñòüþ ïëîñêîñòè, îãðàíè÷åííîé èìè), íàçûâàåòñÿ óãëîì. | |
Óãîë. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. |
Ðàäèàíû. Ðàäèàííàÿ ìåðà óãëà. | |
Ðàäèàííàÿ ìåðà. Êàê èçâåñòíî èç ïëàíèìåòðèè, äëèíà äóãè l, ðàäèóñ r è ñîîòâåòñòâóþùèé öåíòðàëüíûé óãîë α ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì. | |
Ðàäèàíû. Ðàäèàííàÿ ìåðà óãëà. |
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò. | |
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò — êîýôôèöèåíò k â óðàâíåíèè ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè y = kx + b . | |
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò. |
Óãëû. Ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà. | |
Ãðàäóñíîé ìåðîé óãëà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî áîëüøå íóëÿ, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, êàêîå ÷èñëî ðàç ãðàäóñ è åãî ÷àñòè – ìèíóòà è ñåêóíäà – ïîìåùàþòñÿ â ýòîì óãëå. | |
Óãëû. Ãðàäóñíàÿ ìåðà óãëà. |
Óãëû. Ñìåæíûå óãëû. | |
Ñìåæíûìè óãëàìè íàçûâàåòñÿ ïàðà óãëîâ ñ îáùåé âåðøèíîé è îäíîé îáùåé ñòîðîíîé. 2 îñòàâøèåñÿ ñòîðîíû äåëàþò ïðîäîëæåíèå äðóã äðóãó, îáðàçîâûâàÿ ïðÿìóþ ëèíèþ. | |
Óãëû. Ñìåæíûå óãëû. |
Óãîë. Âïèñàííûé óãîë. | |
Âïèñàííûé óãîë – ýòî óãîë, ñôîðìèðîâàííûé äâóìÿ õîðäàìè , áåðóùèìè íà÷àëî â îäíîé òî÷êè îêðóæíîñòè. | |
Óãîë. Âïèñàííûé óãîë. |
Óãîë. Èçìåðåíèå óãëîâ. | |
Èçìåðåíèå óãëîâ ñâîäèòñÿ ê èçìåðåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì äóã ñëåäóþùèì îáðàçîì. | |
Óãîë. Èçìåðåíèå óãëîâ. |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ |
Источник