Какой треугольник называется прямоугольным свойства

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 25 февраля 2020;
проверки требуют 15 правок.

Прямоугольный треугольник

Πрямоуго́льный треугóльник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть 90 градусов).

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника лежат в основе тригонометрии.

Связанные определения[править | править код]

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c на рисунке выше).
Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Сторона a может быть идентифицирована как прилежащая к углу В и противолежащая углу A, а сторона b — как прилежащая к углу A и противолежащая углу В.

Типы прямоугольных треугольников[править | править код]

Если катеты равны, то треугольник называется равнобедренным прямоугольным треугольником.
Если длины всех трёх сторон прямоугольного треугольника являются натуральными числами, то треугольник называется пифагоровым треугольником, а длины его сторон образуют так называемую пифагорову тройку.

Признаки равенства прямоугольных треугольников[править | править код]

По двум катетам: если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак немедленно следует из первого признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равны по два катета и прямой угол.

По катету и прилежащему острому углу: если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны
Этот признак немедленно следует из второго признака равенства треугольников, так как у двух треугольников будут равен один катет, прилежащий к нему угол и прямой угол.

По гипотенузе и острому углу: если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак следует из второго признака равенства треугольников, так как вторые острые углы будут равны по теореме о сумме углов треугольника и у треугольников будут равны гипотенузы и два прилежащих к ней угла.

По гипотенузе и катету: если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак докажем так. Наложим два треугольника друг на друга так, чтобы получить равнобедренный треугольник, то есть совместим их равными катетами так, чтобы углы, лежащие при этих катетах, лежали в разных плоскостях. Так как гипотенузы равны, получившийся треугольник — равнобедренный, тогда углы при основании равны. Тогда два прямоугольных треугольника будут равны по гипотенузе и острому углу.

По катету и противолежащему острому углу: если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Этот признак доказывается так: если один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго треугольника, то второй острый угол будет известен по теореме о сумме углов треугольника. Так как второй острый угол прилегает к катету, то далее равенство треугольников будет доказываться по предыдущей теореме.

Свойства[править | править код]

Далее предполагаем, что и длины катетов, а длина гипотенузы

(Теорема Пифагора)

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух его катетов. То есть,

Высота[править | править код]

Высота прямоугольного треугольника.

Если высота проведена к гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, подобных исходному и подобных друг другу. Из этого следует, что в обозначениях, показанных на диаграмме:[1]

Высота есть среднее геометрическое (среднее пропорциональное) двух образованных ею сегментов гипотенузы, то есть

(иногда это называют теоремой высоты прямоугольного треугольника)

Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит гипотенузу в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов, то есть

Кроме того высота, опущенная на гипотенузу, связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением:[2][3]

Также если прямоугольный треугольник является равнобедренным, то высота, опущенная на гипотенузу будет равна:

, где — это радиус вписанной окружности, а — серебряное сечение.

Характеристики[править | править код]

Треугольник ABC со сторонами a, b, c (где c — самая длинная сторона), с описанной окружностью радиуса R является прямоугольным треугольником тогда и только тогда, когда верно любое из следующих соотношений:[4]

Тригонометрические соотношения[править | править код]

Тригонометрические функции для острых углов можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для любого данного угла можно построить прямоугольный треугольник, содержащий такой угол, и со сторонами: противолежащим катетом, прилежащим катетом и гипотенузой, связанными с этим углом определёнными выше соотношениями. Эти отношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а зависят только от заданного угла, так как все треугольники, построенные таким образом, являются подобными. Если для заданного угла α, противолежащий катет, прилежащий катет и гипотенузу обозначить a, b и c соответственно, то тригонометрические функции имеют вид:

И таким образом:

Катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла

Катет, прилежащий углу, равен произведению гипотенузы на косинус этого угла

Катет, противолежащий углу, равен произведению второго катета на тангенс угла

Катет, прилежащий углу, равен произведению второго катета на котангенс угла

Гипотенуза равна отношению катета к синусу противолежащего угла, и/или частному отношению катета и косинуса прилежащего угла (угла между ними)

Специальные прямоугольные треугольники[править | править код]

Значения тригонометрических функций можно точно оценить для определённых углов, используя прямоугольные треугольники с особыми значениями углов. К таким треугольникам относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любых значений, кратных π/6, и треугольник 45-45-90 (равнобедренный прямоугольный), который можно использовать для оценки тригонометрических функций для значений, кратных π/4.
В частности,

Катет, лежащий против острого угла в 30° (и соответственно, прилежащий к углу в 60°), равен половине гипотенузы.

Теорема Фалеса[править | править код]

Медиана прямого угла треугольника

Теорема Фалеса утверждает, что если какая-нибудь точка A лежит на окружности диаметра BC (за исключением самих точек B и C), то △ABC представляет собой прямоугольный треугольник с прямым углом A. Обратное утверждение таково: если прямоугольный треугольник вписан в окружность, то гипотенуза будет её диаметром. Следствием является то, что длина гипотенузы равна удвоенному расстоянию от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Верно также, что центр окружности, описывающей прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а её радиус равен половине длины гипотенузы.

Другие свойства[править | править код]

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c равен:

Если отрезки длиной p и q, исходящие из вершины C, делят гипотенузу на три равных отрезка длины c/3, то:[5]:pp. 216-217

Прямоугольный треугольник является единственным треугольником с двумя, а не тремя, отличными друг от друга вписанными квадратами.[6]

Пусть h и s (h>s) являются сторонами двух квадратов, вписанных в прямоугольный треугольник с гипотенузой c. Тогда:

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме двух радиусов вписанной и четырёх описанных окружностей:

Если заданы S и r, то стороны треугольника находятся по формулам:

Во всех прямоугольных треугольниках медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Окружность девяти точек касается описанной окружности того же треугольника в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идёт в вершине прямого угла треугольника.

Вариации и обобщение[править | править код]

Четырёхугольники с перпендикулярными парами элементов: с 2 перпендикулярными сторонами и с 2 перпендикулярными диагоналями,- вырождаются в прямоугольный треугольник, если длина одной нужной стороны (из их 4 сторон), лежащей вблизи прямого угла или же опирающейся концами на этот угол, стремится к нулю.

Если в прямоугольном треугольнике провести отрезок, параллельный его гипотенузе, то он разрежет этот треугольник на подобный ему же прямоугольный треугольник и трапецию. При этом сумма углов при одном из оснований трапеции будет равна 90°, а продолжения боковых сторон трапеции пересекутся под прямым углом. Тогда отрезок, соединяющий середины оснований указанной трапеции, равен полуразности оснований. Данное утверждение обобщает свойство: медиана прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна половине длины гипотенузы.

Примечания[править | править код]

↑ Wentworth p. 156
↑ Voles, Roger, «Integer solutions of ,» Mathematical Gazette 83, July 1999, 269—271.
↑ Richinick, Jennifer, “The upside-down Pythagorean Theorem, ” Mathematical Gazette 92, July 2008, 313—317.
↑ Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, «Complex Numbers from A to…Z», Birkhäuser, 2006, pp. 109—110.
↑ Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry, Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278—284.

Ссылки[править | править код]

Calculator for right triangles
Weisstein, Eric W. Right Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Wentworth, G.A. A Text-Book of Geometry (неопр.). — Ginn & Co., 1895.

Источник

Прямоугольный треугольник, свойства, признаки и формулы.

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Прямоугольный треугольник (понятие, определение)

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства прямоугольного треугольника

Формулы прямоугольного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (понятие, определение):

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Гипотенуза (с греч. ὑποτείνουσα – «натянутая») – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу.

Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами. Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол.

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

Рис. 1. Прямоугольный треугольник

АВ, АС – катеты прямоугольного треугольника, ВС – гипотенуза прямоугольного треугольника, ∠ ВАС = 90°

Равнобедренный треугольник может быть прямоугольным (равнобедренным прямоугольным треугольником).

Равнобедренный прямоугольный треугольник — это треугольник, являющийся одновременно равнобедренным и прямоугольным. В этом треугольнике каждый острый угол равен 45°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Признаки равенства прямоугольных треугольников основаны и вытекают из общих признаков равенства треугольников.

1. Равенство по двум катетам.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

Рис. 2. Равенство прямоугольных треугольников по двум катетам

АВ = А1В1, АС = А1С1

2. Равенство по катету и прилежащему острому углу.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

Рис. 3. Равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему углу

АВ = А1В1, ∠АВС = ∠А1В1С1

3. Равенство по гипотенузе и острому углу.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Рис. 4. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

ВС = В1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

4. Равенство по гипотенузе и катету.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Рис. 5. Равенство прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

ВС = В1С1, АС = А1С1

5. Равенство по катету и противолежащему острому углу.

Если катет и противолежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Рис. 6. Равенство прямоугольных треугольников по катету и противолежащему острому углу

АС = А1С1, ∠АВС = ∠А1В1С1

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c2 = a2 + b2 ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

где c – гипотенуза.

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Формулы прямоугольного треугольника:

Пусть a и b – длины катетов прямоугольного треугольника, с – длина гипотенузы прямоугольного треугольника, h – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (АН), R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 9, 11, 12).

Формулы сторон прямоугольного треугольника (a, b, c) по теореме Пифагора:

c2 = a2 + b2 ,

a2 = c2 – b2 ,

b2 = c2 – a2 .

Формула радиуса вписанной окружности (r):

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Рис. 12. Прямоугольный треугольник и вписанная окружность

Формула радиуса описанной окружности (R):

Формулы площади (S) прямоугольного треугольника:

Формулы высоты (h)прямоугольного треугольника:

Какой треугольник называется прямоугольным свойства .

Квадрат

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Ромб

карта сайта

Коэффициент востребованности
14 212

Источник

Треугольник в геометрии представляет одну из основных фигур. Из предыдущих уроков вы знаете, что треугольник – это многоугольная фигура, которая имеет три угла и три стороны.

Треугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.
Прямоугольный треугольник имеет две взаимно перпендикулярные стороны, называемые катетами; третья его сторона называется гипотенузой. Гипотенуза является самой большой стороной этого треугольника.

Какой треугольник называется прямоугольным свойства

По свойствам перпендикуляра и наклонных гипотенуза длиннее каждого из катетов (но меньше их суммы).
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна прямому углу.
Две высоты прямоугольного треугольника совпадают с его катетами. Поэтому одна из четырех замечательных точек попадает в вершины прямого угла треугольника.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямоуго угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Свойства и особенности прямоугольных треугольников

I – е свойство. В прямоугольном треугольнике сумма его острых углов равна 90°. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. В прямоугольном треугольнике наибольшим углом, является прямоугольный угол. Если же в треугольнике самый большой угол имеет более 90°, то такой треугольник перестает быть прямоугольным, так как сумма всех углов превысить 180 градусов. Со всего этого следует, что гипотенуза является наибольшей стороной треугольника.

II – е свойство. Катет прямоугольного треугольника, который лежит против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузе.

III – е свойство. Если же в прямоугольном треугольнике катет равняется половине гипотенузы, то и угол, который лежит напротив данного катета будет равен 30 градусам.

Источник

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.

1 ватт определяется как мощность, при которой за 1 секунду времени совершается работа в 1 джоуль.
В одном километре содержится тысяча метров. 1 км = 1000 м
Гектар — это площадь квадрата со стороной 100 м. Ар – площади квадрата со стороной в 10 м. 1 сотка это 100 квадратных метров
Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.
Между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.

Источник