Какой объем информации содержится в сообщении о дне и месяце рождения

Цели урока: формировать умения и навыки
учащихся применять знания по образцу и в
изменённой ситуации по изучаемой теме: находить
количество информации при решении задач, в
условии которых события являются
равновероятными и не равновероятными.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

• как найти вероятность события;
• как найти количество информации в сообщении,
  что произошло одно из равновероятных событий или
  одно из не равновероятных событий.

Учащиеся должны уметь:

• различать равновероятные и не равновероятные
  события;
• находить количество информации в сообщении, что
  произошло одно из равновероятных событий или
  одно из не равновероятных событий.
• находить количество возможных вариантов того
  или иного события, если известно количество
  информации в сообщении о том, что событие
  произошло.

Программно-дидактическое обеспечение:персональный
компьютер,проектор, мультимедийная доска
SMART-Board, карточки для опроса учащихся.

Ход урока

I. Постановка целей урока

1. “Вы выходите на следующей остановке?” —
   спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил
   он. Сколько информации содержит ответ?
2. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о
   том, что достали белый карандаш, несет 4 бита
   информации. Сколько белых карандашей было в
   корзине?
3. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18
   черных шаров. Сообщение о том, что из корзины
   достали белый шар, несет 2 бита информации.
   Сколько всего в корзине шаров?

II. Проверка домашнего задания

Все ли выполнили домашнее задание? Какие
задания вызвали трудности?

1. Начнём проверку домашнего задания со
   следующего: давайте выясним, чья вероятность
   вызова к доске для ответа больше.

/ Для этого учитель проецируем общее количество
оценок, которое мог бы получить учащийся на
данный момент времени, а также количество оценок
каждого ученика.

Ученики производят вычисления самостоятельно
и называют результаты. Далее выполнение
домашнего задания ученики показывают в порядке
убывания полученных вероятностей. Решение задач
демонстрируется на доске в слайдовой
презентации./

2. Выборочно проводится опрос по карточкам,
приготовленным заранее.

1) Какие существуют подходы к измерению
информации?
2) Какое сообщение называют информативным?
3) Может ли количество информации в сообщении
быть равным нулю?

Задание:вставьте пропущенные слова.

– Сообщение называется …, если в нем
содержатся новые и понятные сведения.

– События, не имеющие преимущество друг перед
другом, называются…

– Чем больше начальное число возможных …
событий, тем в большее количество раз
  уменьшается … и тем большее … будет
содержать сообщение о результатах опыта.

– Количество информации, которое находится в
сообщении о том, что произошло одно  событие
из… равновероятных, принято за единицу
измерения информации и равно…

– 1 бит — это количество информации, …
неопределенность знаний в два раза.

– I = log2N – количество информации в …
событии, где N – это …, а I – …

– I = log2(l/p) – количество информации в …
событии, где р – это …, а вероятность события
выражается в… и вычисляется по формуле:…

Все остальные учащиеся выполняют кроссворд по
основным понятиям приложение 1.

III. Решение задач

1. Решение задач, в условии которых события
являются равновероятными

В течении 10 минут ученики выполняют решения
задач / задаётся произвольный темп решения, т.о.,
часть детей решит задач больше, часть меньше в
меру своих возможностей

Вопросы к задачам:

• Почему в задаче события равновероятные?
• Что нужно найти в задаче: количество информации
  или количество вариантов информации?
• Какую формулу нужно использовать в задаче?
• Чему равно N? Как найти I?

– Чему равно I? Как найти N?

№1

“Вы выходите на следующей остановке?” –
спросили человека в автобусе. “Нет”, — ответил
он. Сколько информации содержит ответ?

Решение: человек мог ответить только “Да”
или “Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух
возможных. Поэтому N = 2. Значит I = 1 бит (2 = ).

Ответ: 1 бит.

№2

“Петя! Ты пойдешь сегодня в кино?” – спросил я
друга. “Да”, – ответил Петя. Сколько информации
я получил?

Решение: Петя мог ответить только “Да” или
“Нет”, т.е. выбрать один ответ из двух возможных.
Поэтому N = 2. значит I = 1 бит (2 = 21).

Ответ: 1 бит.

№3

Сколько информации содержит сообщение,
уменьшающее неопределенность знаний в 8 раз?

Решение: так как неопределенность знаний
уменьшается в 8 раз, следовательно, она было равна
8, т.е. существовало 8 равновероятных событий.
Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 3
бита информации (8 = 23).

Ответ: 3 бита.

№4

Какой объем информации содержит сообщение,
уменьшающее неопределенность в 4 раза?

Решение: так как неопределенность знаний
уменьшается в 4 раз, следовательно, она было равна
4, т.е. существовало 4 равновероятных событий.
Сообщение о том, что произошло одно из них, несет 2
бита информации (4 = 22).

Ответ: 2 бита.

№5

Вы подошли к светофору, когда горел желтый свет.
После этого загорелся зеленый. Какое количество
информации вы при этом получили?

Решение: из двух сигналов (желтого и зеленого)
необходимо выбрать один — зеленый. Поэтому N = 2, а
I = 1 бит.

Ответ: 1 бит.

№6

Группа школьников пришла в бассейн, в котором 4
дорожки для плавания. Тренер сообщил, что группа
будет плавать на дорожке номер 3. Сколько
информации получили школьники из этого
сообщения?

Решение: из 4 дорожек необходимо выбрать одну,
т.е. N = 4. Значит по формуле I = 2, т.к. 4 = 22.

Пояснение: номер дорожки (3) не влияет на
количество информации, так как вероятности
событий в этих задачах мы приняли считать
одинаковыми.

Ответ: 2 бита.

№7

На железнодорожном вокзале 8 путей отправления
поездов. Вам сообщили, что ваш поезд прибывает на
четвертый путь. Сколько информации вы получили?

Решение: из 8 путей нужно выбрать один.
Поэтому N = 8, а I = 3, т.к. 8 =Пояснение: номер пути (4) не
влияет на количество информации, так как
вероятности событий в этих задачах мы
приняли считать одинаковыми.

Ответ: 3 бита.

№8

В коробке лежат 16 кубиков. Все кубики разного
цвета. Сколько информации несет сообщение о том,
что из коробки достали красный кубик?

Решение: из 16 равновероятных событий нужно
выбрать одно. Поэтому N = 16, следовательно, I = 4 (16 = 24).

Пояснение: события равновероятны, т.к. всех
цветов в коробке присутствует по одному.

Ответ: 4 бита.

№9

Была получена телеграмма: “Встречайте, вагон
7”. Известно, что в составе поезда 16 вагонов.
Какое количество информации было получено?

Решение: так как из 16 вагонов нужно выбрать
один, то N = 16, следовательно, 1 = 4(16 = 24).

Ответ: 4 бита.

№10

При угадывании целого числа в диапазоне от 1 до N
было получено 9 бит информации. Чему равно N?

Решение: N = 29 = 512.

Ответ: диапазон чисел имеет значение от 1 до
512.

№11

При угадывании целого числа в некотором
диапазоне было получено 8 бит информации. Сколько
чисел содержит этот диапазон?

Решение: N = 28 = 256.

Ответ: 256 чисел.

№12

Сообщение о том, что ваш друг живет на 10 этаже,
несет 4 бита информации. Сколько этажей в доме?

Решение: N = 24 = 16 этажей.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера
этажей не повторяются.

Ответ: 16 этажей.

№13

Сообщение о том, что Петя живет во втором
подъезде, несет 3 бита информации. Сколько
подъездов в доме?

Решение: N = 23 = 8 подъездов.

Пояснение: события равновероятны, т.к. номера
подъездов не повторяются.

Ответ: 8 подъездов.

№ 14

В школьной библиотеке 16 стеллажей с книгами. На
каждом стеллаже 8 полок. Библиотекарь сообщил
Пете, что нужная ему книга находится на пятом
стеллаже на третьей сверху полке. Какое
количество информации библиотекарь передал
Пете?

Решение: существует 16*8 = 128 вариантов
местонахождения книги. Из этого количеств
вариантов необходимо выбрать один.
Следовательно, N = 128, а I = 7, т.к. 128 = 27.

Ответ: 7 бит.

№15

Загадано слово из 10 букв. Вы просите открыть
пятую букву. Вам ее открыли. Сколько информации
вы получили?

Решение: N = 10, следовательно, I = log210.

Смотрим по таблице / приложение 2
/ и видим, что I = 3,32193 бит.

Ответ: 3,3 бит

№16

В коробке лежат 6 разноцветных фломастеров.
Какое количество информации содержит сообщение,
что из коробки достали синий фломастер?

Решение: N = 6, следовательно, I = log26.
Смотрим по таблице и видим, что I = 2,58496 бит.

Ответ: 2,5 бит.

№17

Какое количество информации несет сообщение:
“Встреча назначена на май”?

Решение: так как месяцев в году 12, то из этого
количества сообщений нужно выбрать одно. Значит N
= 16, а I = log212. Смотрим по таблице и видим, что I
= 3,58496 бит.

Ответ: 3,5 бит.

№18

Какое количество информации несет сообщение о
том, что встреча назначена на 20 число?

Решение: так как дней в месяце 30 или 31, то из
этого количества сообщений нужно выбрать одно.
Значит N = 30 или 31, а I = log230 (или 31). Смотрим по
таблице и видим, что I = 4,9 бит.

Ответ: 4,9 бит.

2. Решение задач, в условии которых события не
равновероятны

Запишите формулу на доске для нахождения
количества информации в ситуации с не
равновероятными событиями. Что означает каждая
буква и как выразить одну величину через другую.

В соответствии с уровнем обучаемости 1 группа
детей решают более простые задачи №1 – №5, 2
группа -более сложные – №6 – №9.

Вопрос к задачам:

Почему события в задаче не равновероятные?
Сравните вероятности событий между собой.

№1

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько
информации несет сообщение о том, что достали
черный шар?

Дано: N, = 8; N6 = 24.

Найти: Iч = ?

Решение:

1. N = 8 + 24 = 32 — шара всего;
2. рч = = —
   вероятность доставания черного шара;
3. I = log2( ) = 2 бита. Ответ: 2 бита.

№2

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение
о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита
информации. Сколько белых карандашей было в
корзине?

Дано: N = 64; I6 = 4.

Найти: К = ?

Решение:

1) I6 = log2(l/p6); 4 = log2(l/p6); 1/рб
= 16; p6 = 1/16 – вероятность доставания белого
карандаша;

2) рб = ; = ;
= = 4
белых карандаша.

Ответ: 4 белых карандаша.

№3

В классе 30 человек. За контрольную работу по
математике получено 15 пятерок, 6 четверок, 8 троек
и 1 двойка. Какое количество информации в
сообщении о том, что Андреев получил пятерку?

Дано: N = 30; К5 = 6; К4 = 15; К3 = 8; К,
= 1.

Найти: I4 — ?

Решение: 1) р4 = = — вероятность получения оценки “5”;

2)I4 = log2( ) = log2( )=1бит

Ответ: 1 бит.

№4

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 –
синих, 5 – зеленых, 4 — желтых и 1 — красный. Какое
количество информации несут сообщения о том, что
из ящика случайным образом достали черный шар,
белый шар, желтый шар, красный шар?

Дано: К = 10; К = 5; Кж = 4; К = 1; N = 20.

Найти: Iч, I6,Iж, Iк.

Решение:

1. рч = К/N = = – вероятность доставания синего шара;
2. р6 = K/N = =
   — вероятность доставания зеленого шара;
3. рж = Кж/N = = – вероятность доставания желтого шара;
4. рк = KK/N = – вероятность доставания
   красного шара;
5. Iч = log 2(1/1/2) = 1бит;

6)I6 = log2(l/l/4) = 2 бит;

7)Iж = 1оg2(1/1/5) = 2,236 бит;

8) Iк = log2( 1/1/20) – 4,47213 бит.

Ответ: Iс = 1 бит, Iз = 2 бит, Iж =
2,236 бит, Iк = 4,47213 бит.

№5

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение
о том, что он получил пятерку, несет 2 бита
информации. Сколько пятерок ученик получил за
четверть?

Дано: N = 100,I4 = 2 бита.

Найти: К4 — ?

Решение:

1) I4 = log2(l/p4), 2 = log2(l/p4),
= 4,
р4 =
– вероятность получения “5”;

2) I4 = К4/100, К4 = 100/4 = 25 –
количество “5”.

Ответ: 25 пятерок.

№6

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди
них – 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика
достали пару черных перчаток, несет 4 бита
информации. Сколько пар белых перчаток было в
ящике?

Дано: Кч = 2,1ч = 4 бита.

Найти: К6 – ?

Решение:

3) К6 = N – К = 32 – 2 = 30 пар белых перчаток.

Ответ: 30 пар белых перчаток.

No 7

Для ремонта школы использовали белую, синюю и
коричневую краски. Израсходовали одинаковое
количество банок белой и синей краски. Сообщение
о том, что закончилась банка белой краски, несет 2
бита информации. Синей краски израсходовали 8
банок. Сколько банок коричневой краски
израсходовали на ремонт школы?

Дано: Кб = Кс =8, I6 = 2 бита.

Найти: К – ?

Решение:

1. Iб = log2(l/p6), 2 = log2(l/p6),
   1/р6 = 4, р6 = Vi – вероятность расхода
   белой банки;
2. N = = = 32 – банки
   с краской было всего;

3) Кк = N – К6 – Кс = 32 – 8 – 8 — 16
банок коричневой краски.

Ответ: 16 банок коричневой краски.

№8

В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18
черных шаров. Сообщение о том, что из корзины
достали белый шар, несет 2 бита информации.
Сколько всего в корзине шаров?

Дано: К = 16, I = 2 бита.

Найти: N – ?

Решение:

1) 1/р6 = 2I, 1/р6 = 22 = 4, р6
= –
вероятность доставания белого шара;

2) рб = = , =
, К6
+ 18 = 4 • , 18 = 3 • К6,

Кб = 6 – белых шаров;

3) N = Кч+К; = 18 + 6 = 24 шара было в корзине.

Ответ: 24 шара лежало в корзине.

№9

На остановке останавливаются троллейбусы с
разными номерами. Сообщение о том, что к
остановке подошел троллейбус с номером N1 несет 4
бита информации. Вероятность появления на
остановке троллейбуса с номером N2 в два раза
меньше, чем вероятность появления троллейбуса с
номером N1. Сколько информации несет сообщение о
появлении на остановке троллейбуса с номером N2?

Дано: INI = 4 бита, pN1 = 2pN2

Найти: IN2 — ?

Решение: 1) 1/PN, = 21NI =24=
16, pNI = 1/16-вероятность появления троллейбуса
N1;

2. pN| = 2-pN2, pN2 = pN,/2 = 1/32 –
   вероятность появления троллейбуса N2;
3. IN2 = log2(l/pN2) = log232 = 5 бит —
   несет сообщение о появлении троллейбуса N2.

Ответ: 5 бит несет сообщение о появлении на
остановке троллейбуса №2.

IV. Итоги урока

Оценка работы класса и отдельных учащихся,
отличившихся на уроке.

V. Домашнее задание

Уровень знания: Решите задачи:

1. В розыгрыше лотереи участвуют.64 шара. Выпал
   первый шар. Сколько информации содержит
   зрительное сообщение об этом?
2. В игре “ лото” используется 50 чисел. Какое
   количество информации несет выпавшее число?

Уровень понимания:

1. Какое количество информации несет сообщение о
   том, что встреча назначена на 3 июля в 18.00 часов?
2. Вы угадываете знак зодиака вашего друга.
   Сколько вопросов вам нужно при этом задать? Какое
   количество информации вы получите?
3. В ящике лежат фигурки разной формы —
   треугольные и круглые. Треугольных фигурок в
   ящике 15. Сообщение о том, что из ящика достали
   фигуру круглой формы, несет 2 бита информации.
   Сколько всего фигурок было в ящике?
4. В ведерке у рыбака караси и щуки. Щук в ведерке 3.
   Зрительное сообщение о том, что из ведра достали
   карася, несет 1 бит информации. Сколько всего рыб
   поймал рыбак?

Уровень применения:

Дополнительный материал. 1. Частотный словарь
русского языка — словарь вероятностей (частот)
появления букв в произвольном тексте – приведен
ниже. Определите, какое количество информации
несет каждая буква этого словаря.

2. Используя результат решения предыдущей
задачи, определите количество информации в слове
“компьютер”.

Используемая литература:

• О.Л. Соколова “ Вероятностный подход к
  определению количества информации”, Москва,
  ВАКО, 2006 г.
• журналы “Информатика и образования”, 2007 г.