Какой из параметров не относится к свойствам последовательного колебательного контура

Последовательный колебательный контур обозначение на схеме

Последовательный колебательный контур – это цепь, состоящая их катушки индуктивности и конденсатора, которые соединяются последовательно.

Идеальный последовательный колебательный контур

 На схемах идеальный последовательный колебательный контур обозначается вот так:

где

L – индуктивность, Гн

С – емкость, Ф

Реальный последовательный колебательный контур

Реальный колебательный контур имеет сопротивление потерь катушки и конденсатора. Это суммарное суммарное сопротивление потерь обозначается буквой R. В результате, реальный последовательный колебательный контур будет иметь такой вид:

R  – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора

L – собственно сама индуктивность катушки

С – собственно сама емкость конденсатора

Принцип работы последовательного колебательного контура

Генератор частоты и последовательный колебательный контур

Давайте проведем классический эксперимент, который есть в каждом учебнике по электронике. Для этого соберем вот такую схему:

Генератор (Ген)у нас будет выдавать синус.

Для того, чтобы снять осциллограмму силы тока через последовательный колебательный контур, мы подключим в схему шунтовый резистор с малым сопротивлением в 0,5 Ом и с него уже будем снимать напряжение. То есть в данном случае мы шунт используем для наблюдения силы тока в цепи.

А вот и сама схема в реальности:

Слева-направо: шунтовый резистор, катушка индуктивности и конденсатор. Как вы уже поняли, сопротивление R – это суммарное сопротивление потерь катушки и конденсатора, так как нет идеальных радиоэлементов. Оно “прячется” внутри катушки и конденсатора, поэтому в реальной схеме отдельным радиоэлементом мы его не увидим.

Теперь нам осталось подцепить эту схему к генератору частоты и осциллографу, и прогнать по некоторым частотам, снимая осциллограмму с шунта Uш , а также снимая осциллограмму с самого генератора UГЕН.

С шунта мы будем снимать напряжение, которое у нас отображает поведение силы тока в цепи, а с генератора собственно сам сигнал генератора. Давайте прогоним нашу схемку по некоторым частотам и глянем что есть что.

Влияние частоты генератора на сопротивление колебательного контура

В схеме я взял конденсатор на 1мкФ и катушку индуктивности на 1 мГн. На генераторе настраиваю синус размахом в 4 Вольта. Вспоминаем правило: если в цепи соединение радиоэлементов идет последовательно друг за другом, значит, через них течет одинаковая сила тока.

Красная осциллограмма – это напряжение с генератора частоты, а желтая осциллограмма – отображение силы тока через напряжение на шунтовом резисторе.

Частота 200 Герц с копейками:

Как мы видим, при такой частоте ток в этой цепи есть, но очень слабый

Добавляем частоту. 600  Герц с копейками

Здесь мы уже отчетливо видим, что сила тока возросла, а также видим, что осциллограмма силы тока опережает напряжение. Попахивает реактивным сопротивлением конденсатора.

Добавляем частоту. 2 Килогерца

Сила тока стала еще больше.

3 Килогерца

Сила тока увеличилась. Заметьте также, что сдвиг фаз стал уменьшаться.

4,25 Килогерц

Осциллограммы почти уже сливаются в одну. Сдвиг фаз между напряжением и силой тока становится почти незаметным.

И вот на какой-то частоте у нас сила тока стала максимальной, а сдвиг фаз стал равен нулю. Запомните этот момент. Для нас он будет очень важен.

Ну а давайте далее будем увеличивать частоту. Смотрим, что получается в итоге.

Еще совсем недавно ток опережал напряжение, а сейчас уже стал запаздывать после того, как выровнялся с ним по фазе. Так как ток уже отстает от напряжения, здесь уже попахивает реактивным сопротивлением катушки индуктивности.

Увеличиваем частоту еще больше

Сила тока начинает падать, а сдвиг фаз увеличивается.

22 Килогерца

74 Килогерца

Как вы видите, с увеличением частоты, сдвиг приближается к 90 градусов, а сила тока становится все меньше и меньше.

Резонанс последовательного колебательного контура

Давайте подробнее рассмотрим тот самый момент, когда сдвиг фаз был равен нулю и сила тока, проходящая через последовательный колебательный, контур была максимальна:

Это явление носит название резонанса.

Не будем углубляться  в теорию высшей математики и комплексных чисел. Дело в том, что в этот самый момент реактивное сопротивление катушки и конденсатора становятся равными, но противоположными по знаку. Поэтому, эти реактивные сопротивления как-бы вычитаются друг из друга, что в сумме дает ноль, и в цепи остается только активная составляющая сопротивления, то есть то самое паразитное сопротивление катушки и конденсатора, или иначе, сопротивление потерь R.

Как вы помните, если у нас сопротивление  становится малым, а в данном случае сопротивления потерь катушки и конденсатора очень маленькие, то в цепи начинает течь большая сила тока согласно закону Ома: I=U/R. Если генератор мощный, то напряжение на нем не меняется, а сопротивление становится пренебрежимо малым и вуаля! Ток растет как грибы после дождя, что мы и увидели, посмотрев на желтую осциллограмму при резонансе.

Формула Томсона (резонанса) для последовательного колебательного контура

Если при резонансе у нас реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора XL=XC , то можно уравнять их реактивные сопротивления и уже отсюда вычислить частоту, на которой произошел резонанс. Итак, реактивное сопротивление катушки у нас выражается формулой:

Реактивное сопротивление конденсатора вычисляется по формуле:

Приравниваем обе части и вычисляем отсюда F:

В данном случае мы получили формулу резонансной частоты. Это формула по другому называется формулой Томсона, как вы поняли, в честь ученого, который ее вывел.

Давайте по формуле Томсона посчитаем резонансную частоту нашего последовательного колебательного контура. Для этого я буду использовать свой RLC-транзисторметр.

Замеряем индуктивность катушки:

И замеряем нашу емкость:

Высчитываем по формуле нашу резонансную частоту:

У меня получилось 5, 09 Килогерц.

С помощью  регулировки частоты и осциллографа я поймал резонанс на частоте 4,78 Килогерц (написано в нижнем левом углу)

Спишем погрешность в 200 с копейками Герц на погрешность измерений приборов. Как вы видите, формула Томпсона работает.

Резонанс напряжений

Давайте возьмем другие параметры катушки и конденсатора и посмотрим, что у нас происходит на самих радиоэлементах. Нам ведь надо досконально все выяснить ;-). Беру катушку индуктивности с индуктивностью в 22 микрогенри:

и конденсатор в 1000 пФ

Из них собираю последовательный колебательный контур. Итак, чтобы поймать резонанс, я не буду в схему добавлять резистор. Поступлю более хитрее.

Так как мой генератор частоты китайский и маломощный, то при резонансе у нас в цепи остается только активное сопротивление потерь R. В сумме получается все равно маленькое значение сопротивления, поэтому ток при резонансе достигает максимальных значений. В результате этого, на внутреннем сопротивлении генератора частоты падает приличное напряжение и выдаваемая амплитуда частоты генератора  падает. Я буду ловить минимальное значение этой амплитуды. Следовательно это и будет резонанс колебательного контура. Перегружать генератор – это не есть хорошо, но что не сделаешь ради науки!

Ну что же, приступим ;-). Давайте сначала посчитаем  резонансную частоту по формуле Томсона. Для этого я открываю онлайн калькулятор на просторах интернета и быстренько высчитываю эту частоту. У меня получилось 1,073 Мегагерц.

Ловлю резонанс на генераторе частоты по его минимальным значениям амплитуды. Получилось как-то вот так:

Размах амплитуды 4 Вольта

Хотя на генераторе частоты  размах  более 17 Вольт! Вот так вот сильно просело напряжение. И как видите, резонансная частота получилась чуток другая, чем расчетная: 1,109 Мегагерц.

Теперь небольшой прикол 😉

Вот этот сигнал мы подаем на наш последовательный колебательный контур:

Как видите, мой генератор не в силах выдать большую силу тока в колебательный контур на резонансной частоте, поэтому сигнал получился даже чуть искаженным на пиках.

Ну а теперь самое интересное. Давайте замеряем падение напряжения на конденсаторе и катушке на резонансной частоте. То есть это будет выглядеть вот так:

Смотрим напряжение на конденсаторе:

Размах амплитуды 20 Вольт (5х4)! Откуда? Ведь подавали мы на колебательный контур синус с частотой в 2 Вольта!

Ладно, может с осциллографом что-то произошло?. Давайте замеряем напряжение на катушке:

Народ! Халява!!! Подали 2 Вольта с генератора, а получили 20 Вольт и на катушке и на конденсаторе! Выигрыш энергии в 10 раз! Успевай только снимать энергию с конденсатора или с катушки!

Ну ладно раз такое дело… беру лампочку от мопеда на 12 Вольт и цепляю ее к конденсатору или катушке. Лампочке ведь вроде как по-барабану на какой частоте работать и какой ток кушать. Выставляю амплитуду, чтобы на катушке или конденсаторе было где то Вольт 20 так как среднеквадратичное напряжение будет где-то Вольт 14,  и цепляю поочередно к ним лампочку:

Как видите – полный ноль. Лампочка гореть не собирается, так что побрейтесь фанаты халявной энергии). Вы ведь не забыли, что мощность определяется произведением силы тока на напряжение? Напряжения вроде как-бы хватает, а вот силы тока – увы! Поэтому, последовательный колебательный контур носит также название узкополосного (резонансного) усилителя напряжения, а не мощности!

Объяснение резонанса напряжения

При резонансе напряжение на катушке и на конденсаторе оказались намного больше, чем то, которое мы подавали на колебательный контур. В данном случае у нас получилось в 10 раз больше. Почему же напряжение на катушке при резонансе равняется напряжению на конденсаторе. Это легко объясняется. Так как в последовательном колебательном контуре катушка и кондер идут друг за другом, следовательно, в цепи протекает одна и та же сила тока.

При резонансе реактивное сопротивление катушки равняется реактивному сопротивлению конденсатора. Получаем по правилу шунта, что на катушке у нас падает напряжение UL = IXL , а на конденсаторе UC = IXC . А так как при резонансе у нас XL = XC , то получаем что UL = UC , ток ведь в цепи один и тот же ;-). Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называют также резонансом напряжений, так как напряжение на катушке на резонансной частоте равняется напряжению на конденсаторе.

Добротность последовательного колебательного контура

Ну раз уж мы начали задвигать тему колебательных контуров, поэтому мы не можем обойти стороной такой параметр, как добротность колебательного контура. Так как мы уже провели некоторые опыты, то нам будет проще определить добротность, исходя из амплитуды напряжений. Добротность обозначается буквой Q и вычисляется по первой простой формуле:

Давайте посчитаем добротность в нашем случае.

Так как цена деления одного квадратика по вертикали 2 Вольта, следовательно, амплитуда сигнала  генератора частоты 2 Вольта.

А это то, что мы имеем на зажимах конденсатора или катушки. Здесь цена деления одного квадратика по вертикали 5 Вольт. Считаем квадратики и умножаем. 5х4=20 Вольт.

Считаем по формуле добротности:

Q=20/2=10. В принципе немного и не мало. Пойдет. Вот так вот на практике можно найти добротность.

Есть также вторая формула для вычисления добротности.

где

R – сопротивление потерь в контуре, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Зная добротность, можно легко найти сопротивление потерь R последовательного колебательного контура.

Также хочу добавить пару слов о добротности. Добротность контура – это качественный показатель колебательного контура. В основном его стараются всегда увеличить различными всевозможными способами. Если взглянуть на формулу выше, то можно понять, для того, чтобы увеличить добротность, нам надо как-то уменьшить сопротивление потерь колебательного контура. Львиная доля потерь относится к катушке индуктивности, так как она уже конструктивно имеет большие потери. Она намотана из провода и в большинстве случаев имеет сердечник. На высоких частотах в проводе начинает проявляться скин-эффект, который еще больше вносит потери в контур.

Резюме

Последовательный колебательный контур состоит из катушки индуктивности и конденсатора, соединенных последовательно.

Катушка и конденсатор имеют паразитные омические потери, так как не являются идеальными радиоэлементами. Сумма этих потерь называется сопротивлением потерь R последовательного колебательного контура.

На какой-то частоте реактивное сопротивление катушки становится равным реактивному сопротивлению конденсатора и в цепи последовательного колебательного контура наступает такое явление, как резонанс.

При резонансе реактивные сопротивления катушки и конденсатора хоть и равны по модулю, но противоположны по знаку, поэтому они вычитается и в сумме дают ноль. В цепи остается только активное сопротивление потерь R.

При резонансе сила тока в цепи становится максимальной, так как сопротивление потерь катушки и конденсатора R в сумме дают малое значение.

При резонансе напряжение на катушке равняется напряжению на конденсаторе и превышает напряжение на генераторе.

Коэффициент, показывающий во сколько раз напряжение на катушке либо на конденсаторе превышает напряжение на генераторе, называется добротностью Q последовательного колебательного контура и показывает качественную оценку колебательного контура. В основном стараются сделать Q как можно больше.

На низких частотах колебательный контур имеет емкостную составляющую тока до резонанса, а после резонанса – индуктивную составляющую тока.

Важнейшая особенность последовательного колебательного контура заключается в том, что амплитуда реакции контура на гармоническое воздействие существенно зависит от частоты. На резонансной частоте и в узком диапазоне частот около нее амплитуда отклика достигает наибольшего значения; на частотах, значительно отличающихся от резонансной, амплитуда отклика во много раз меньше максимального значения. Если на вход такого контура подать сумму гармонических колебаний различных частот, имеющих одинаковые амплитуды, то на выходе можно обнаружить, что амплитуда колебаний, частота которых близка к резонансной, значительно превышает амплитуду колебаний, частота которых существенно отличается от резонансной. Контур как бы «пропускает» колебания одних частот и «не пропускает» колебания других частот. Способность электрической цени выделять колебания отдельных частот из суммы колебаний различных частот называется избирательностью.

В идеальном случае отклик избирательной цепи должен иметь постоянное значение в пределах определенного диапазона частот, называемого полосой пропускания цепи, и быть равным нулю за пределами этого диапазона. Таким образом, нормированная АЧХ идеальной избирательной цепи должна иметь прямоугольную форму (кривая I на рис. 3.32). АЧХ реальных избирательных цепей, в том числе и АЧХ последовательного колебательного контура (кривая II на рис. 3.32),

Рис. 3.32. Нормированные АЧХ избирательной цепи

отличаются от характеристик идеальной избирательной цепи отсутствием резкой границы между диапазонами пропускаемых и задерживаемых (подавляемых) частот. Очевидно, что избирательные свойства реальных цепей тем выше, чем ближе к прямоугольной форма их нормированной АЧХ.

Полоса пропускания (ширина полосы пропускания) реальных избирательных устройств на уровне 1/а

или

условно определяется как диапазон частот, в пределах которого амплитуда отклика цепи не падает больше, чем в а раз, относительно своего максимального значения. На границах полосы пропускания, т.е. на частотах/“ и/“ или оо“ = 2л /“ и = 2л/“, амплитуда отклика в а раз меньше своего максимального значения. Чаще всего полосу пропускания избирательной цепи определяют на уровне, когда амплитуда отклика составляет 1/V2 ~ 0,707 от максимального значения, а НдБ ~ -ЗдБ (см. табл. 3.1). Полосу пропускания цепи на уровне 1 /V2 обозначим Пу или Пю.

Для оценки избирательных свойств реальной избирательной цепи используют различные параметры, которые оценивают степень отклонения формы ее АЧХ от прямоугольной, в том числе определяют характер изменения АЧХ (неравномерность АЧХ) в пределах полосы пропускания и скорость уменьшения модуля коэффициента передачи (крутизну склонов АЧХ) за пределами или на границе полосы пропускания. В частности, избирательные свойства цепи можно достаточно полно охарактеризовать с помощью коэффициента прямоугольности АЧХ, который находится как отношение значений полосы пропускания, измеренных на уровнях l/(Xi И 1/(Х2,

где а2

Значения П“с или Цф обычно рассчитывают на уровне 1/100 (-40 дБ), а значения П“г или П(“2 — на уровне 1/V2 (-3 дБ). Нетрудно убедиться, что для идеальной избирательной цепи коэффициент прямоугольности А ЧХ равен единице при любом выборе а, и а2, а для реальной избирательной цепи он всегда больше единицы. Очевидно, что избирательные свойства цепи тем выше, чем ближе к единице значения Ки.

Избирательные свойства последовательного колебательного контура определяются формой нормированной АЧХ входной проводимости контура У(с). Полагая в выражении (3.54) Е, = , Щ“) = 1/а, получаем

откуда

Как следует из выражения (3.65), абсолютное значение обобщенной расстройки на границах полосы пропускания на уровне 1/2, г.е. при а = л/2, равно единице; при этом на нижней границе полосы пропускания = -1, а на

верхней ?,д2 = = 1. Из выражений (3.51), (3.54) и (3.65)

следует, что на границах полосы пропускания на уровне 1/V2 аргумент входной проводимости контура равен Э|р = ±я/4 (см. рис. 3.29), а реактивная составляющая входного сопротивления контура х = соL – 1/(со С) по абсолютному значению — сопротивлению потерь R.

Используя полученные результаты, найдем полосу пропускания последовательного колебательного контура на произвольном уровне 1/а и коэффициент прямоугольное™ АЧХ входной проводимости контура. Полагая в выражении (3.51) ?, = -|4“|, со = со“ и = |^“|, со = со”, получим

откуда

Из выражений (3.66)—(3.68) следует, что полоса пропускания контура при фиксированном значении резонансной частоты со0обратно пропорциональна его добротности и не зависит от емкости С, а полоса пропускания последовательного колебательного контура на уровне 1/V2 =0,707 в Q раз меньше его резонансной частоты:

Пусть контур подключен к источнику энергии с конечным внутренним сопротивлением Rj (рис. 3.33, а). Очевидно, что включенные последовательно сопротивления Rj и R можно заменить сопротивлением R3K = Rt + R. При этом рассматриваемая схема преобразуется в схему, приведенную на рис. 3.23, б; она может быть описана соотношениями, полученными на основании анализа этой схемы при замене R на R3K. В частности, добротность такого контура (будем называть ее эквивалентной добротностью последовательного колебательного контура) определяется выражением

где Q = р/R — добротность контура без учета сопротивления источника.

Ширина полосы пропускания контура с учетом внутреннего сопротивления источника энергии может быть найдена из выражения (3.69) при замене Q на Q3Kl:

Рис. 3.33. К учету влияния внутреннего сопротивления источника и сопротивления нагрузки на избирательные свойства последовательного колебательного контура

Как следует из выражений (3.71), (3.72), наличие внутреннего сопротивления источника энергии уменьшает эквивалентную добротность контура и увеличивает ширину его полосы пропускания. Поэтому для повышения эквивалентной добротности контура желательно, чтобы источник энергии, к которому подключен контур, имел бы как можно меньшее внутреннее сопротивление, т.е. по свойствам приближался к идеальному источнику напряжения.

Пусть к зажимам 2 — 2′ или 3 — 3′ последовательного колебательного контура подключена нагрузка (рис. 3.33, б, в) так, что ток /2 или /3 не равен нулю. Очевидно, что сопротивление нагрузки, подключенное параллельно емкости или индуктивности, влияет на работу контура таким же образом, как сопротивления RCu.4> и входящие в параллельные схемы замещения конденсатора и индуктивной катушки. Ранее отмечалось, что параллельные схемы замещения элементов могут быть заменены последовательными, причем при высокой добротности элементов Спар « Спосл = С, L,iap ~ 1П0Сл =L, а сопротивления RСпосл и Яа„о,, обратно пропорциональны сопротивлениям Rc„,dV (3.22) и RLuap (3.20). Таким образом, сопротивления нагрузки Rn2, подключенное параллельно емкости, и Rn3, подключенное параллельно индуктивности, могут быть заменены последовательно включенными сопротивлениями

Сопротивления /?,’2 и 7?’3> учитывающие влияние нагрузки на работу контура, назовем внесенными в контур сопротивлениями нагрузки. Если Ru2 = Rn3 = /(„, то на частотах, близких к резонансной (со ~ со0), внесенные в контур сопротивления нагрузок

имеют примерно одинаковые значения.

Влияние внесенного в контур сопротивления нагрузки Я на параметры контура аналогично влиянию внутреннего сопротивления источника Rh т.е. с увеличением /(,’ снижается эквивалентная добротность контура и увеличивается ширина его полосы пропускания.

Используя выражения (3.74), найдем выражения для эквивалентной добротности контура и ширины полосы пропускания с учетом сопротивления нагрузки

Из выражений (3.75) следует, что для увеличения эквивалентной добротности контура необходимо, чтобы сопротивление нагрузки контура Rn = Rn2 пли R„ = R„3 имело бы как можно большее значение, т.е. чтобы на зажимах 2 — 2′ и 3 — 3′ был обеспечен режим работы, близкий к режиму холостого хода.

Вопросы для самопроверки

• 1. Какая цепь называется одиночным колебательным контуром?
• 2. Чем различаются схемы последовательного и параллельного контуров, составленных из одних и тех же элементов?
• 3. Может ли один и тот же колебательный контур из реальных элементов иметь различные схемы замещения?
• 4. Какие специфические для резонансных цепей параметры имеет последовательный колебательный контур? Приведите определения.
• 5. Можно ли получить такие нормированные частотные характеристики пос?