Какой четырехугольник называется ромбом сформулируйте свойства ромба
Определение.
Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.
Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.
Признаки ромба
Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):
АВ = ВС = СD = AD
2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:
AC┴BD
3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:
∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC
4. Если все высоты равны:
BN = DL = BM = DK
5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:
Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO
6. Если в параллелограмм можно вписать круг.
Основные свойства ромба
2. Диагонали перпендикулярны:
AC┴BD
3. Диагонали являются биссектрисами его углов:
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:
AC2 + BD2 = 4AB2
5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.
6. В любой ромб можно вписать окружность.
7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.
Сторона ромба
Формулы определения длины стороны ромба:
1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:
2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:
3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:
4. Формула стороны ромба через две диагонали:
5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):
6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:
7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:
8. Формула стороны ромба через периметр:
Диагонали ромба
Определение.
Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.
Ромб имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2
Формулы определения длины диагонали ромба:
1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d1 = a√2 + 2 · cosα
d1 = a√2 – 2 · cosβ
2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)
d2 = a√2 + 2 · cosβ
d2 = a√2 – 2 · cosα
3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d1 = 2a · cos(α/2)
d1 = 2a · sin(β/2)
4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:
d2 = 2a · sin(α/2)
d2 = 2a · cos(β/2)
5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:
d1 = √4a2 – d22
d2 = √4a2 – d12
6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:
d1 = d2 · tg(β/2)
d2 = d1 · tg(α/2)
7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:
8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:
Периметр ромба
Определение.
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Формула определения длины периметра ромба:
Формула периметра ромба через сторону ромба:
P = 4a
Площадь ромба
Определение.
Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.
Формулы определения площади ромба:
1. Формула площади ромба через сторону и высоту:
S = a · ha
2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:
S = a2 · sinα
3. Формула площади ромба через сторону и радиус:
S = 2a · r
4. Формула площади ромба через две диагонали:
5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:
6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):
Окружность вписанная в ромб
Определение.
Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.
Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:
2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:
3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:
4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:
5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:
6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:
7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:
Источник
Ðîìá – ýòî ïàðàëëåëîãðàìì ñ ðàâíûìè ñòîðîíàìè. Ðîìá ñ ïðÿìûìè óãëàìè ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì.
Ðîìá ðàññìàòðèâàþò êàê âèä ïàðàëëåëîãðàììà, ñ äâóìÿ ñìåæíûìè ðàâíûìè ñòîðîíàìè ëèáî ñ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè äèàãîíàëÿìè, ëèáî ñ äèàãîíàëÿìè äåëÿùèìè óãîë íà 2 ðàâíûå ÷àñòè.
Ñâîéñòâà ðîìáà.
1. Ðîìá – ýòî ïàðàëëåëîãðàìì, ïîýòîìó ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó è ïàðàëëåëüíû ïîïàðíî, ÀÂ || CD, AD || ÂÑ.
2. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ðîìáà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì (AC ⊥ BD) è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ íà äâå îäèíàêîâûå ÷àñòè. Òî åñòü äèàãîíàëè äåëÿò ðîìá íà 4 òðåóãîëüíèêà – ïðÿìîóãîëüíûõ.
3. Äèàãîíàëè ðîìáà – ýòî áèññåêòðèñû åãî óãëîâ (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD è ò. ä.).
4. Ñóììà êâàäðàòîâ äèàãîíàëåé ðàâíÿåòñÿ êâàäðàòó ñòîðîíû, óìíîæåííîìó íà ÷åòûðå (âûâîä èç òîæäåñòâà ïàðàëëåëîãðàììà).
Ïðèçíàêè ðîìáà.
Ïàðàëëåëîãðàìì ABCD áóäåò íàçûâàòüñÿ ðîìáîì òîëüêî â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ õîòÿ áû îäíîãî èç óñëîâèé:
1. 2 åãî ñìåæíûå ñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó (òî åñòü, âñå ñòîðîíû ðîìáà ðàâíû, AB=BC=CD=AD).
2. Óãîë ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïðÿìîé (AC⊥BD).
3. 1-íà èç äèàãîíàëåé äåëèò óãëû, êîòîðûå åå ñîäåðæàò ïîïîëàì.
Ïóñòü ìû çàðàíåå íå çíàåì, ÷òî ÷åòûð¸õóãîëüíèê îêàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì, îäíàêî èçâåñòíî, ÷òî âñå åãî ñòîðîíû ðàâíû. Çíà÷èò ýòîò ÷åòûð¸õóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì.
Ñèììåòðèÿ ðîìáà.
Ðîìá ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî âñåõ ñâîèõ äèàãîíàëåé, çà÷àñòóþ åãî èñïîëüçóþò â îðíàìåíòàõ è ïàðêåòàõ.
Ïåðèìåòð ðîìáà.
Ïåðèìåòð ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû – ñóììàðíàÿ äëèíà ãðàíèö ïëîñêîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôèãóðû. Ó ïåðèìåòðà òà æå ðàçìåðíîñòü âåëè÷èí, ÷òî è ó äëèíû.
Ïåðèìåòð ðîìáà ðàâíÿåòñÿ ñóììå ÷åòûðåõ äëèí åãî ñòîðîí ëèáî ïðîèçâåäåíèþ äëèíû âñÿêîé èç åãî ñòîðîíû íà 4 (ò.ê. ó ðîìáà âñå ñòîðîíû ðàâíû).
ãäå:
P – ïåðèìåòð ðîìáà;
a – äëèíà ñòîðîíû ðîìáà.
Ïëîùàäü ðîìáà.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû – ïèðàìèäà, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, óãëû, øàð, ïàðàëëåëîãðàìì, ïàðàëëåëåïèïåä, ïðèçìà, ñâîéñòâà, ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð | |
| Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Источник
Ромб, его свойства и признаки.
Рассмотрим ещё два вида параллелограмма.
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Поскольку ромб является параллелограммом, то он обладает теми же свойствами, что и параллелограмм, т.е.: у ромба противолежащие углы равны (стороны у него и так все равны, поэтому в этом свойстве мы опускаем равенство противолежащих сторон); диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Кроме того, ромб обладает ещё и своими, особенными свойствами. Рассмотрим их.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
Дано: – ромб
и диагонали.
Доказать: .
Доказательство.
Для того, чтобы доказать, что , нам нужно доказать, что хотя бы один из четырёх углов, которые получаются при пересечении диагоналей, равен .
1. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. .
2. и – смежные, значит, по свойству смежных углов
, как, впрочем, и остальные углы (мы знаем, что если угол прямой, то смежный с ним угол также прямой).
3. Итак, прямые и при пересечении образуют прямой угол, значит, эти прямые перпендикулярны, т.е. , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба диагонали являются биссектрисами углов.
Дано: – ромб
и диагонали.
Доказать: – биссектриса и
– биссектриса и .
Доказательство.
Для того, чтобы доказать, что и являются биссектрисами углов, нам нужно доказать, что они делят эти углы пополам.
1. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и .
2. Рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников. Следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Следовательно, – биссектриса и , ч.т.д.
ТЕОРЕМА. У ромба высоты равны.
Дано: – ромб
и – высоты.
Доказать:
Доказательство.
Рассмотрим и .
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. , ч.т.д.
Итак, ромб обладает следующими свойствами:
У ромба диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
У ромба диагонали взаимно перпендикулярны.
У ромба диагонали являются биссектрисами его углов.
У ромба противоположные углы равны.
У ромба высоты равны.
Теперь определим признаки ромба.
ТЕОРЕМА (I признак ромба). Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Так как – параллелограмм, то у него противолежащие стороны равны.
– ромб (по определению), ч.т.д.
ТЕОРЕМА (II признак ромба). Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Рассмотрим .
по свойству диагоналей параллелограмма, значит, – медиана (по опред-нию).
– высота , т.к. . Значит, в является и медианой и высотой, поэтому этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника), т.е. . Согласно I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (III признак ромба). Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
– диагональ
– биссектриса
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Так как – биссектриса , то .
по свойству внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых. Значит, , следовательно – равнобедренный, и . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (IV признак ромба). Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Дано: – параллелограмм
и – высоты
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и острому углу). Значит, все соответствующие стороны у этих треугольников равны, т.е. . По I признаку ромба, параллелограмм является ромбом, ч.т.д.
ТЕОРЕМА (V признак ромба). Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Дано: – четырёхугольник
Доказать: – ромб.
Доказательство.
Проведём диагональ и рассмотрим и .
по III признаку равенства треугольников, следовательно, все соответствующие углы у этих треугольников равны, т.е. и . Значит, по признаку параллельности прямых, и , следовательно, – параллелограмм, у которого все стороны равны, значит, он является ромбом, ч.т.д.
Итак, признаки ромба:
Если у параллелограмма две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма диагональ является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если у параллелограмма высоты равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Если в четырёхугольнике все стороны равны, то он является ромбом.
Сторона ромба равна см. Найдите периметр ромба.
Вычислите периметр ромба, один из углов которого равен , а длина меньшей диагонали равна см.
Найдите все углы ромба, если его сторона равна диагонали.
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
Из вершины ромба проведены перпендикуляры и к прямым и . Докажите, что луч является биссектрисой .
Сторона ромба равна см, . Из вершины проведены высоты и к сторонам и соответственно. Найдите расстояния . Докажите, что треугольник равносторонний.
Найдите углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.
Периметр ромба равен см, расстояние между противолежащими сторонами равно см. Найдите углы ромба.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен .
Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на меньше другого.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Найдите углы ромба.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Докажите, что параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом.
Докажите, что если каждая диагональ четырёхугольника делит пополам два его угла, то этот четырёхугольник является ромбом.
Через точку пересечения диагоналей ромба проведены перпендикуляры к его сторонам. Докажите, что точки пересечения этих перпендикуляров со сторонами ромба являются вершинами прямоугольника.
Точки – середины сторон ромба . Докажите, что четырёхугольник является прямоугольником.
В ромбе точки – середины его сторон. Докажите, что точки лежат на одной прямой с серединами отрезков: а) и б) и .
В параллелограмме биссектрисы углов и пересекают стороны параллелограмма и в точках и соответственно. Докажите, что четырёхугольник – ромб.
В ромбе биссектриса угла пересекает сторону и диагональ соответственно в точках и . Найдите угол , если .
В ромбе угол равен . Докажите, что если один из углов треугольника равен , то и остальные его углы тоже равны по .
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до прямой равно м. Найдите длину высоты ромба, проведённой к стороне .
В ромбе перпендикуляр, проведённый из вершины тупого угла к стороне ромба, делит эту сторону пополам. Найдите углы ромба.
Докажите, что четырёхугольник, вершины которого находятся в серединах сторон прямоугольника, является ромбом.
Периметр ромба равен см. Найдите сторону ромба.
В ромбе с острым углом , равным , проведена диагональ . Найдите угол .
В ромбе с тупым углом диагонали пересекаются в точке . Один из углов треугольника равен . Найдите остальные углы этого треугольника и угол .
В ромбе . Диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
В ромбе – точка пересечения диагоналей, – перпендикуляры, опущенные на стороны соответственно. Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . На сторонах взяты точки соответственно, . Докажите, что , и найдите сумму углов и .
В ромбе угол тупой. На стороне взята точка . Прямые и пересекаются в точке . Найдите угол .
В ромбе угол острый. Отрезок является перпендикуляром к прямой – точка пересечения диагоналей, а – общая точка прямых и . Найдите .
Два ромба имеют общую точку пересечения диагоналей, причём, меньшие диагонали этих ромбов взаимно перпендикулярны. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и середину стороны одного ромба, перпендикулярна стороне другого.
Два ромба и имеют общую вершину острого угла, причём, , а лучи и пересекаются в точке – точка пересечения диагоналей ромба – биссектриса треугольника . Докажите, что .
На сторонах ромба взяты точки соответственно. Каждая из прямых параллельная одной из осей симметрии ромба. Диагональ пересекает отрезок в точке , о отрезок – в точке . Докажите, что диагонали четырёхугольника равны, и определите вид выпуклого четырёхугольника .
Найдите величину большего угла ромба, если его сторона равна одной из его диагоналей.
Точка лежит на стороне параллелограмма так, что – биссектриса угла . Прямая параллельна и пересекает сторону в точке . Найдите величину угла между прямыми и .
Отрезки – биссектрисы углов параллелограмма . Отрезки и пересекаются в точке , а отрезки и – в точке , при этом . Найдите длину отрезка .
В ромбе диагонали и пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали и ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы треугольника , если .
На стороне параллелограмма взята точка так, что .
Докажите, что – биссектриса угла .
Найдите периметр параллелограмма, если .
В параллелограмме проведена биссектриса угла , которая пересекает сторону в точке .
Докажите, что треугольник равнобедренный.
Найдите сторону , если , а периметр параллелограмма равен .
Один из углов ромба равен . Определите остальные углы.
В ромбе проведена диагональ . Определите вид треугольника и найдите его углы, если .
В ромбе , диагонали пересекаются в точке . Найдите углы треугольника .
Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если .
Диагонали ромба пересекаются в точке . Найдите углы и , если .
Известно, что четырёхугольник является ромбом. Докажите, что .
Один из углов ромба на больше другого. Найдите углы треугольника , если – точка пересечения диагоналей.
На рисунке – равнобедренный, точки и – середины его боковых сторон, – точка на основании, . Определите вид четырёхугольника и найдите его периметр, если см.
В ромбе . Найдите углы треугольника .
Сторона ромба образует с его диагоналями углы, разность которых равна . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как . Определите углы ромба.
Найдите острый угол ромба , если высота , проведённая из вершины тупого угла, делит сторону пополам.
На каждой стороне ромба отложены, как показано на рисунке, равные отрезки . Определите вид четырёхугольника . Ответ объясните.
В ромбе из вершины тупого угла проведена высота к стороне , а из вершины тупого угла проведена высота к стороне . Определите взаимное расположение прямых и .
В равнобедренный треугольник вписан ромб , имеющий с ним общий угол. Найдите периметр ромба, если боковая сторона треугольника равна см.
В ромбе биссектриса угла делит сторону ромба пополам. Найдите тупой угол ромба.
Один из углов ромба равен . Найдите угол между меньшей диагональю ромба и его стороной.
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если разность и равна .
В ромбе диагонали пересекаются в точке . Найдите углы ромба, если .
Периметр ромба равен , один из его углов . Найдите меньшую диагональ ромба.
Сторона ромба равна см, а острый угол равен . Из вершины тупого угла проведена высота, которая делит сторону на два отрезка. Найдите длины этих отрезков.
Диагональ ромба, лежащая напротив угла , равна . Найдите периметр ромба.
8
Источник