Какого основное свойство дроби
В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.
Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры
Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:
Определение 1
Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.
Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a, b и mбудут справедливыми равенства:
a·mb·m=ab и a:mb:m=ab
Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: (a · m) · b = (b · m) · a и (a : m) · b = (b : m) · a. Таким образом, дроби a·mb·m и ab, а также a:mb:m и ab являются равными по определению равенства дробей.
Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.
Пример 1
Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4·9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4·5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:
Окрашенная часть – это 59 исходной фигуры или 2036, что является тем же самым. Таким образом, дроби 59 и 2036 являются равными: 59=2036 или 2036=59.
Эти равенства, а также равенства 20 = 4·5, 36 = 4·9, 20:4 = 5 и 36:4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 59=5·49·4 и 2036=20·436·4.
Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.
Пример 2
Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47, после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3. Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?
Решение
Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3. В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.
Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.
Определение 2
Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.
Источник
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.
Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей («треть», «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».
Сегодня мы познакомимся с основным свойством любой из таких дробей.
Возьмем круг, разделим его на три равные части и закрасим две из них.
Каждую из 3-х частей поделим еще на 4 равные части.
Посмотрим, что получилось:
Получим, что весь круг поделен на ( textbf{3}cdottextbf{4}=textbf{12} ) частей, а в двух закрашенных частях круга будет (textbf{2}cdottextbf{4}=textbf{8} ) таких частей.
Значит, $$frac{textbf{2}}{textbf{3}}=frac{textbf{2}cdottextbf{4}}{textbf{3}cdottextbf{4}}=frac{textbf{8}}{textbf{12}}$$
То есть $$frac{textbf{2}}{textbf{3}}=frac{textbf{8}}{textbf{12}} $$
Можно записать иначе:
$$frac{textbf{8}}{textbf{12}}=frac{textbf{8 : 4}}{textbf{12 : 4}}=frac{textbf{2}}{textbf{3}}$$
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
В этом заключается основное свойство дроби.
Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
С дробями можно легко познакомиться в быту. Достаточно вспомнить как выглядят настенные часы.
Там есть разделение на часы, минуты, а стрелки могут показывать, на какие части делится весь циферблат.
При этом мы будем получать дроби со знаменателями 12 (если делим на части по часам) или 60 (если делим на части по минутам).
Например:
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}}=frac{textbf{6}}{textbf{12}}=frac{textbf{30}}{textbf{60}}$$
Половина циферблата – это 6 часов из 12 или 30 минут из 60.
Любое математическое правило или свойство можно применить на практике.
Посмотрим, как применяется основное свойство дроби.
Пример:
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{x}}{textbf{12}}$$
Решение
Мы видим, что неизвестен числитель второй дроби, но дроби между собой равны.
Значит, используя основное свойство дроби, выясним, во сколько раз отличаются знаменатели дробей.
Проще делить больший знаменатель на меньший.
То есть,
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{3}cdottextbf{a}}{textbf{4}cdottextbf{a}}=frac{textbf{x}}{textbf{12}}$$
$$textbf{4}cdottextbf{a}=textbf{12}$$
12 разделим на 4 и получим 3
$$textbf{a}=textbf{3}$$
Теперь найдем неизвестный числитель.
Мы посчитали, что a = 3 Подставив в формулу это значение, получим:
$$textbf{x}=textbf{3}cdottextbf{a}=textbf{3}cdottextbf{3}=textbf{9}$$
Получаем девять в числителе второй дроби:
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{9}}{textbf{12}}$$
Здесь видим подтверждение того факта, что равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
Пример:
На тетрадном листе начертите луч длиной 10 клеток. Отметьте на нем точки с координатами:
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}} ; frac{textbf{4}}{textbf{5}} ; frac{textbf{3}}{textbf{10}}$$
Решение
Начертим луч и отметим нужные нам координаты, используя основное свойство дроби, где это требуется.
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}}=frac{textbf{1}cdottextbf{5}}{textbf{2}cdottextbf{5}}=frac{textbf{5}}{textbf{10}}$$
$$frac{textbf{4}}{textbf{5}}=frac{textbf{4}cdottextbf{2}}{textbf{5}cdottextbf{2}}=frac{textbf{8}}{textbf{10}}$$
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке. Оно происходит от глагола «дробить» – разбивать, ломать на части.
Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии, затем его стали использовать и арабы.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина | 1/3 – треть |
1/4 – четь | 1/6 – полтреть |
1/8 – полчеть | 1/12 – полполтреть |
1/16 – полполчеть | 1/24 – полполполтреть (малая треть) |
1/32 – полполполчеть (малая четь) | 1/5 – пятина |
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления, она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина.
Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли. Но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др.
Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее:
«В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.
При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7– седмина, 1/5– пятина, 1/10– десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13– пять тринадцатых жеребьёв.
Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников: числитель назывался «верхним числом», знаменатель «исподним».
Пройти тест
Источник
При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.
Формулировка и обоснование
Основное свойство дроби имеет формулировку вида:
Определение 1
При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.
То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.
Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.
То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.
Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.
Доказательство 1
Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.
Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.
Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.
Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.
Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.
Пример 1
Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).
Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.
Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.
Сферы применения основного свойства алгебраической дроби
Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.
Определение 2
Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.
То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.
Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.
Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.
Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что
x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.
Источник
Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Основное свойство дроби
Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.
Сравнение дробей
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
- привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
- найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем);
- разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Арифметические действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание дробей
При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.
При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!
Общий случай сложения (вычитания) дробей.
Умножение дробей
- Произведение двух дробей a/b и c/d равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
- При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1.
Деление дробей
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.
При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Нахождение целого по его части (числа по его дроби)
Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.
Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.
Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: Десятичная дробь
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
Источник
Равенство дробей.
Данная тема достаточно важна на основных свойствах дробей основана вся дальнейшая математика и алгебра. Рассмотренные свойства дробей, не смотря на свою важность очень просты.
Чтобы понять основные свойства дробей рассмотрим окружность.
На окружности видно, что 4 части или доли закрашены из восьми возможных. Запишем полученную дробь (frac{4}{8})
На следующей окружности видно, что закрашена одна часть из двух возможных. Запишем получившеюся дробь (frac{1}{2})
Если внимательно приглядимся, то увидим, что в первом случае, что во втором случае у нас закрашено половина круга, поэтому полученные дроби равны (frac{4}{8} = frac{1}{2}), то есть это одно и тоже число.
Как же это доказать математически? Очень просто, вспомним таблицу умножения и распишем первую дробь на множители.
(frac{4}{8} = frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}} = frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}} =frac{1}{2} cdot color{red}{1} = frac{1}{2})
Что мы сделали? Расписали числитель и знаменатель на множители (frac{1 cdot color{red} {4}}{2 cdot color{red} {4}}), а потом разделили дроби (frac{1}{2} cdot color{red} {frac{4}{4}}). Четыре поделить на четыре это 1, а единица умноженное на любое число это и есть само число. То что мы проделали в приведенном примере называется сокращением дробей.
Посмотрим еще один пример и сократим дробь.
(frac{6}{10} = frac{3 cdot color{red} {2}}{5 cdot color{red} {2}} = frac{3}{5} cdot color{red} {frac{2}{2}} =frac{3}{5} cdot color{red}{1} = frac{3}{5})
Мы опять расписали числитель и знаменатель на множители и одинаковый числа в числители и знаменатели сократили. То есть два деленное на два дало единицу, а единица умноженная на любое число дает тоже самое число.
Основное свойство дроби.
Отсюда следует основное свойство дроби:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a cdot n}{b cdot n})
Также можно дроби числитель и знаменатель делить на одно и тоже число одновременно.
Рассмотрим пример:
(frac{6}{8} = frac{6 div color{red} {2}}{8 div color{red} {2}} = frac{3}{4})
Если и числитель, и знаменатель дроби делить на одно и тоже число (кроме нуля), то величина дроби не изменится.
(bf frac{a}{b} = frac{a div n}{b div n})
Дроби у которых есть и в числители, и в знаменатели общие простые делители называются сократимыми дробями.
Пример сократимой дроби: (frac{2}{4}, frac{6}{10}, frac{9}{15}, frac{10}{5}, …)
Так же есть и несократимые дроби.
Несократимая дробь – это дробь у которые нет в числители и знаменатели общих простых делителей.
Пример несократимой дроби: (frac{1}{2}, frac{3}{5}, frac{5}{7}, frac{13}{5}, …)
Любое число можно представить в виде дроби, потому что любое число делиться на единицу, например:
(7 = frac{7}{1})
Вопросы к теме:
Как вы думаете любую можно дробь сократить или нет?
Ответ: нет, бывают сократимые дроби и несократимые дроби.
Проверьте справедливо ли равенство: (frac{7}{11} = frac{14}{22})?
Ответ: распишем дробь (frac{14}{22} = frac{7 cdot 2}{11 cdot 2} = frac{7}{11}), да справедливо.
Пример №1:
а) Найдите дробь со знаменателем 15, равную дроби (frac{2}{3}).
б) Найдите дробь с числителем 8, равную дроби (frac{1}{5}).
Решение:
а) Нам нужно чтобы в знаменателе стояло число 15. Сейчас в знаменателе число 3. На какое число нужно умножить цифру 3, чтобы получить 15? Вспомним таблицу умножения 3⋅5. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{2}{3}) на 5.
(frac{2}{3} = frac{2 cdot 5}{3 cdot 5} = frac{10}{15})
б) Нам нужно чтобы в числителе стояло число 8. Сейчас в числители стоит число 1. На какое число нужно умножить цифру 1, чтобы получить 8? Конечно, 1⋅8. Нам надо воспользоваться основным свойством дробей и умножить и числитель, и знаменатель дроби (frac{1}{5}) на 8. Получим:
(frac{1}{5} = frac{1 cdot 8}{5 cdot 8} = frac{8}{40})
Пример №2:
Найдите несократимую дробь, равную дроби: а)(frac{16}{36}), б) (frac{10}{25}).
Решение:
а) (frac{16}{36} = frac{4 cdot 4}{9 cdot 4} = frac{4}{9})
б) (frac{10}{25} = frac{2 cdot 5}{5 cdot 5} = frac{2}{5})
Пример №3:
Запишите число в виде дроби: а) 13 б)123
Решение:
а) (13 = frac{13} {1})
б) (123 = frac{123} {1})
Источник