Какое свойство в примерах

• Переместительное свойство умножения
• Сочетательное свойство умножения
• Распределительное свойство умножения

Переместительное свойство умножения

От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.

Следовательно, для любых чисел  a  и  b  верно равенство:

a · b = b · a,

выражающее переместительное свойство умножения.

Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.

Сочетательное свойство умножения

Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  c  верно равенство:

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),

выражающее сочетательное свойство умножения.

Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:

25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.

В данном случае можно было вычислить всё последовательно:

25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,

но проще и легче сначала умножить  25  на  4  и получить  100,  а уже потом умножить  100  на  15.

Распределительное свойство умножения

Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:

Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a + b) = m · a + m · b,

выражающее распределительное свойство умножения.

Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a + b) · m = a · m + b · m.

Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:

Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

m · (a – b) = m · a – m · b.

Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:

Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.

Следовательно, для любых чисел  a,  b  и  m  верно равенство:

(a – b) · m = a · m – b · m.

Переход от умножения:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

соответственно к сложению и вычитанию:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

называется раскрытием скобок.

Переход от сложения и вычитания:

m · a + m · b    и    m · a – m · b

к умножению:

m · (a + b)    и    m · (a – b)

называется вынесением общего множителя за скобки.

Сложение натуральных чисел.

Прибавить одно число к другому довольно просто. Рассмотрим пример, 4+3=7. Это выражение означает, что к четырем единицам добавили три единицы и в итоге получили семь единиц.
Числа 3 и 4, которые мы сложили называется слагаемыми. А результат сложение число 7 называется суммой.

Сумма — это сложение чисел. Знак  плюс “+”.
В буквенном виде этот пример будет выглядеть так:

a+b=c

Компоненты сложения:
a — слагаемое, b — слагаемые, c – сумма.
Если мы к 3 единицам добавим 4 единицы, то в результате сложения получим тот же результат он будет равен 7.

Из этого примера делаем вывод, что как бы мы не меняли местами слагаемые ответ остается неизменным:

4+3=3+4

Называется такое свойство слагаемых переместительным законом сложения.

Переместительный закон сложения.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

В буквенной записи переместительный закон выглядит так:

a+b=b+a

Если мы рассмотрим три слагаемых, например, возьмем числа 1, 2 и 4. И выполним сложение в таком порядке, сначала прибавим 1+2, а потом выполним сложение к получившейся сумме 4, то получим выражение:

(1+2)+4=7

Можем сделать наоборот, сначала сложить 2+4, а потом к полученной сумме прибавить 1. У нас пример будет выглядеть так:

1+(2+4)=7

Ответ остался прежним. У обоих видов сложения одного и того же примера ответ одинаковый. Делаем вывод:

(1+2)+4=1+(2+4)

Это свойство сложения называется сочетательным законом сложения.

Переместительный и сочетательный закон сложения работает для всех неотрицательных чисел.

Сочетательный закон сложения.

Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

(a+b)+c=a+(b+c)

Сочетательный закон работает для любого количества слагаемых.  Этот закон мы используем, когда нам нужно сложить числа в удобном нам порядке. Например, сложим три числа 12, 6, 8 и 4. Удобнее будет сначала сложить 12 и 8, а потом прибавить к полученной сумме сумму двух чисел 6 и 4.
(12+8)+(6+4)=30

Свойство сложения с нулем.

При сложении числа с нулем, в результате сумма будет тем же самым числом.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

В буквенном выражение сложение с нулем будет выглядеть так:

a+0=a
0+a=a

Вопросы по теме сложение натуральных чисел:
Таблица сложения, составьте и посмотрите как работает свойство переместительного закона?
Таблица сложения от 1 до 10 может выглядеть так:

Второй вариант таблицы сложения.

Если посмотрим на таблицы сложения, видно как работает переместительный закон.

В выражении a+b=c суммой, что будет являться?
Ответ: сумма — это результат сложения слагаемых. a+b и с.

В выражении a+b=c слагаемыми, что будет являться?
Ответ: a и b. Слагаемые – это числа, которые мы складываем.

Что произойдет с числом если к нему прибавить 0?
Ответ: ничего, число не поменяется. При сложении с нулем, число остается прежнем, потому что нуль это отсутствие единиц.

Сколько слагаемых должно быть в примере, чтобы было можно применить сочетательный закон сложения?
Ответ: от трех слагаемых и больше.

Запишите переместительный закон в буквенном выражении?
Ответ: a+b=b+a

Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите ответ у представленных выражений: а) 15+7 б) 7+15
Ответ: а) 22 б) 22

Пример №2:
Примените сочетательный закон к слагаемым: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Ответ: 20.

Пример №3:
Решите выражение:
а) 5921+0  б) 0+5921
Решение:
а) 5921+0 =5921
б) 0+5921=5921

Краткое описание

Используемый в школе распределительный закон умножения позволяет ученикам максимально быстро выполнить все необходимые вычисления. Знание определенных нюансов поможет решить сложные уравнения и различные задачи. Процесс умножения представляет собой сокращенный процесс сложения. А это означает, что первый множитель выступает в роли числа, которое складывается само с собой определенное количество раз, соответствующее второму множителю. Пример: 4 * 8 = 4+4+4+4+4+4+4+4 = 32.

Элементарное математическое умножение было изобретено в то время, когда у человечества возникла необходимость выполнять большие вычисления, которые просто неудобно записывать в виде элементарного сложения. Всем хорошо известно, что можно 8 раз сложить число 4, а можно 4 раза сложить число 8, но итоговый результат от этого не поменяется. Именно в этом и состоит смысл переместительного умножения всех задействованных элементов. Умножение позволило человеку решить довольно много проблем, но вместе с этим в алгебру пришло и деление, но уже как противоположная математическая операция.

Ключевые особенности

Чтобы даже на начальном этапе ученик мог выполнить умножение суммы некоторых чисел, необходимо просто умножить каждое слагаемое по отдельности и сложить полученный результат. К примеру: (j + d) * s = sj + sd либо s * (j + d) = sj + sd. Чтобы немного упростить способ решения задачи, описанное правило можно использовать в обратном порядке: s * j + s * d = s * (j + d). В этом случае общий множитель выносится за пределы скобок.

Если попробовать задействовать многофункциональное распределительное свойство сложения, то в итоге можно будет решить следующие математические примеры:

• Классическая задача: 35 * 6. Следует представить число 35 как сумму двух чисел 30 и 5, которую просто нужно перемножить на 6: (30 + 5) * 6. Все вычисления выполняются элементарно: 30 * 6 + 5 * 6 = 210.
• Еще один пример: 4 * (20 + 13). Для решения нужно умножить число 4 на каждое задействованное слагаемое: 4 * 20 + 4 * 13. Сложение примет следующий вид: 80 + 52 = 132.
• Также следует рассмотреть более сложный пример: 8 * (45 — 3). Необходимо перемножить на число 9 уменьшаемое 45, а также вычитаемое 3. Пример: 8 * 45 — 8 * 3. Если все сделать верно, то итоговый результат примет следующий вид: 360 — 24 = 336.

Умелое применение распределительного свойства умножения поможет избежать распространенных ошибок. Так, основное правило актуально не только по отношению к сумме, но и к разности двух и более выражений. Для укрепления полученных навыков можно попробовать самостоятельно придумать задачу.

Основные математические возможности

Чтобы можно было выполнить определенные арифметические действия по отношению к числу, необходимо поочередно умножить его на каждое слагаемое и в итоге сложить полученные произведения. А это значит, что для любых частных чисел l, r, w верным будет следующее равенство: w * (l + r) = w * l + w * r. Этот пример отлично выражает распределительный закон сложения и последующего умножения. Так как число и сумма являются множителями, то после смены их места расположения, задействовав для этого переместительное свойство, можно будет сформировать наиболее подходящее свойство.

Всего специалисты выделяют три свойства распределительного умножения:

• Элементарное сочетательное. Именно это свойство применяется для тех примеров, где используется минимум 3 множителя. Основная мысль сочетательного свойства в том, что можно легко перемножить первые два множителя, а только потом умножить результат на третий множитель. Стоит учесть, что порядок перемножения может быть абсолютно любым.
• Переместительное. Произведение не меняется от перемены мест множителя. Для примера из двух множителей это свойство не является критичным, но для заданий с тремя и более множителями это направление может сэкономить много свободного времени.
• Распределительное. В математике это свойство получило большой спрос для умножения числа на сумму либо разность. Распределительный подход сокращает время решения задачи при правильном подходе. Суть свойства в том, что во время умножения числа на разность либо конкретную сумму можно каждое слагаемое умножить на основное число, а уже потом выполнить сложение.

Все перечисленные направления имеют свои особенности и правила использования на практике, которые обязательно нужно учесть для лучшего усвоения этой темы.

Правила вычитания

Умножение и последующее вычитание натуральных чисел обязательно связывается распределительным свойством. Учащимся обязательно нужно запомнить формулировку этого правила: умножить определенную разность двух рациональных чисел на конкретное число — это вычитание из произведения уменьшаемого числа произведения данного или неизвестного вычитаемого числа. Все математические примеры записываются при помощи обычных букв: (s — r)* n = s * n — r * n. Задействованными символами могут называться определенные рациональные целые и дробные числа.

Элементарные примеры распределительного свойства умножения позволяют ученикам освоить технику решения распространенных математических задач. Если необходимо убедиться в равенстве уравнения 5 * (8 — 3) = 5 * 8 — 5 * 3, тогда нужно выполнить несколько арифметических действий. Так как пример 8 − 3 всегда равен 5, то произведение 5 * (8 — 3) всегда будет иметь следующий результат: 5 * 5 = 5+5+5+5+5=25. Теперь нужно вычислить разность между 5 * 8 и 5 * 3. Решение выглядит следующим образом: 5 * 8 − 5 * 3 = (5+5+5+5+5+5+5+5) — (5+5+5) = 40 — 15 = 25. Это значит, что равенство 5 * (8 − 3) = 5 * 8 − 5 * 3.

Использование двух и более слагаемых

Распространенное в алгебре распределительное свойство элементарного умножения активно применяется не только по отношению к двум слагаемым, но и для неограниченного количества арифметических элементов. Этот подход можно применить для всех форм дробей, что очень удобно. Стандартная формула имеет следующий вид:

• d x (e + t + h) = d x e + d x t + d x h .
• d x (e — t — h) = dxe — dxt — dxh.

В качестве примера следует рассмотреть следующее уравнение: 678 * 4. Чтобы понять все нюансы, надо представить число 678 как сумму трех чисел: 600, 70 и 8. Если это сделать, то в итоге можно получить следующее решение: (600 + 70 + 8) * 4 = 600 * 4 + 70 * 4 + 8 * 4 = 2400 + 280 + 32 = 2712. Для более быстрого решения задачи нужно упростить несколько выражений, используя для этого упомянутое ранее свойство.

Если в качестве примера взять уравнение 8 * (4х + 3у), тогда первым делом раскрывают имеющиеся скобки, применяя для этого распределительный закон умножения: 8 * 4х + 8 * 3у = 32х + 24у. Конечно, полученный результат сложить просто невозможно, так как заявленные слагаемые не являются подобными, к тому же они имеют разную буквенную часть. Именно поэтому ответ будет выглядеть следующим образом: 32х + 24у.

Если ученик научится использовать при решении различных примеров универсальное распределительное свойство сложения и умножения, то в итоге он сможет легко решать даже самые сложные математические примеры, так как многие ситуации можно свести к устному счету. Также будет существенно экономиться время при решении многоуровневых задач. Благодаря полученным знаниям, можно будет с легкостью упростить выражения. Эксперты рекомендуют дважды проверять выполненную работу, так как только в этом случае можно будет избежать ошибок.

Умножение нуля

Несмотря на то что ноль не относится к категории естественных чисел, этому направлению тоже нужно уделить повышенное внимание. Это связано с тем, что такое свойство используется во время умножения натуральных чисел столбиком. Если строго соблюдать смысл умножения, тогда произведение 0 * х, где х выступает в роли произвольного естественного числа больше единицы, представляет собой сумму х слагаемых. В такой ситуации актуальной является следующая формула: 0 * х = 0+0+0+0+….+0. Свойства математического сложения позволяют специалистам утверждать, что последняя сумма неизбежно будет равна нулю.

Чтобы иметь возможность сохранить справедливость элементарного умножения используемого числа на единицу, можно считать верным следующее равенство: 0 * 1 = 0. Это значит, что для любого естественного числа х выполняется равенство 0 * х = 0. Чтобы оставалось актуальным переместительное свойство умножения, нужно помнить о справедливости равенства х * 0 = 0 для всех натуральных чисел х.

Произведение естественного числа и нуля равно нулю 0 * х = 0, а также х * 0 = 0. Используемый x представляет собой произвольное натуральное число. Экспертами было доказано, что последнее утверждение играет важную роль формулировки свойства умножения ранее полученного числа и нуля. К примеру, произведение чисел 87 и 0 равно нулю. Если попробовать умножить 0 на 897689, то в итоге тоже получим ноль.

Распределительное свойство относительно разности

Правильное решение математических уравнений возможно только в том случае, если ученик предварительно хорошо изучил теоретическую часть этой темы. Чтобы выполнить элементарное умножение разности на число, необходимо предварительно умножить на него уменьшаемое, а только после этого — вычитаемое, и выполнить вычисление полученных результатов. Пример: g x (y — u) = g x y — g x u или (y — u) x g = g x y — g x u .

Понять все нюансы помогут следующие три примера:

• Для решения уравнения 78 * (12 — 5) принято использовать распределительный закон. Первым делом умножают 78 на оба числа: 78 * 12 — 78 * 5. Необходимо отыскать разность полученных значений: 936 — 390 = 546 и записать полученный результат. Ответ: 546.
• Следующий пример: 78 * 5. Нужно найти значение математического выражения, используя для этого ранее изученные свойства. Следует представить 78 как разность двух чисел 83 и 5. Решение будет выглядеть следующим образом: 78 * 5 = (83 − 5) * 5 = 83 * 5 − 5 * 5 = 390.
• Еще один арифметический пример: 9 * (2 + 30). Решение этого уравнения довольно простое: 9 * 2 + 9 * 30 = 18 + 270 = 288.

Решать такие задачи элементарно и быстро, но для этого нужно хорошо усвоить все правила, а также рекомендации специалистов, так как только в этом случае можно будет избежать грубых ошибок.

Манипуляции с натуральным числом

Этот раздел связан с умножением единицы на конкретное число. Если следовать смыслу умножения, то в итоге произведение изучаемого арифметического выражения х будет равно сумме х слагаемых, каждое из которых тоже равно единице. Действует элементарная формула: 1 * х = 1+1+1+….+1 = х. Пример: произведение чисел 1 и 78 равно 78, а результатом умножения 1 и 456 есть число 456.

Произведение х * 1 лишено какого-либо смысла, так как это арифметическое выражение представляет собой сумму одного слагаемого, которое равно число х, но сложение определяют для двух и более слагаемых. Чтобы сохранить справедливое переместительное свойство поэтапного умножения, нужно считать верным равенство х * 1 = х.

Опытные математики утверждают, что произведение двух разных чисел, одно из которых приравнивается к нулю, равно другому числу. Это утверждение выступает в качестве официальной формулировки умножения единицы и определенного числа. При помощи букв это свойство записывается так: 1 * х = х * 1 = х. За основу могут использоваться любые натуральные числа.

Многим может показаться, что сегодня нет необходимости разбираться во всех свойствах распределительного умножения, так как под рукой всегда есть калькулятор. Но даже у программ существуют свои ограничения, что просто недопустимо в банковской отрасли и правительственных отраслях. Именно поэтому бухгалтеры в обязательном порядке изучают все особенности применения распределительного закона умножения.