Какое свойство прямоугольного треугольника используется в простом

Определение. Прямоугольный треугольник – треугольник, один из углов которого прямой (равен ).

Прямоугольный треугольник – частный случай обычного треугольника. Поэтому все свойства обычных треугольников для прямоугольных сохраняются. Но есть и некоторые частные свойства, обусловленные наличием прямого угла.

Общепринятые обозначения (рис.1):

 – прямой угол;

 – гипотенуза;

 – катеты;

.

Рис. 1.

Свойства прямоугольного треугольника.

Свойство 1. Сумма углов  и  прямоугольного треугольника равна .

Доказательство. Вспомним, что сумма углов любого треугольника равна . Учитывая тот факт, что , получаем, что сумма оставшихся двух углов равна  То есть, 

Свойство 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов (является самой большой стороной).

Доказательство. Вспомним, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (и наоборот). Из доказанного выше свойства 1 следует, что сумма углов  и  прямоугольного треугольника равна . Так как угол треугольника не может равняться 0, то каждый из них меньше . Значит,  является самым большим, а, значит, напротив него лежит наибольшая сторона треугольника. Значит, гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника, то есть: .

Свойство 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше суммы катетов.

Доказательство. Это свойство становится очевидным, если вспомнить неравенство треугольника.

Неравенство треугольника

В любом треугольнике сумма любых двух сторон больше третьей стороны.

Из данного неравенства сразу же следует свойство 3.

Примечание: несмотря на то, что каждый из катетов по отдельности меньше гипотенузы, их сумма оказывается больше. В числовом примере это выглядит так: , но .

1-й признак (по 2 сторонам и углу между ними): если у треугольников равны две стороны и угол между ними, то такие треугольники равны между собой.

2-й признак (по стороне и двум прилежащим углам): если у треугольников равны сторона и два угла, прилежащие к данной стороне, то такие треугольники равны между собой.Примечание: пользуясь тем, что сумма углов треугольника постоянна и равна , легко доказать, что условие «прилежания» углов не является необходимым, то есть признак будет верен и в такой формулировке: «… равны сторона и два угла, то …».

 3-й признак (по 3 сторонам): если у треугольников равны все три стороны, то такие треугольники равны между собой.

Естественно, все эти признаки остаются верными и для прямоугольных треугольников. Однако у прямоугольных треугольников есть одна существенная особенность – у них всегда есть пара равных прямых углов. Поэтому данные признаки для них упрощаются. Итак, сформулируем признаки равенства прямоугольных треугольников:

1-й признак (по двум катетам): если у прямоугольных треугольников катеты попарно равны, то такие треугольники равны между собой (Рис. 2).

Дано:

Рис. 2. Иллюстрация первого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство:  в прямоугольных треугольниках: . Значит, мы можем воспользоваться первым признаком равенства треугольников (по 2 сторонам и углу между ними) и получить: .

2-й признак (по катету и углу): если катет и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 3).

Дано:

Рис. 3. Иллюстрация второго признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: сразу отметим, что тот факт, что равны углы, прилежащие к равным катетам, не является принципиальным. Действительно, сумма острых углов прямоугольного треугольника (по свойству 1) равна . Значит, если равна одна пара из этих углов, то равна и другая (так как их суммы одинаковы).

Доказательство же данного признака сводится к использованию второго признака равенства треугольников (по 2 углам и стороне). Действительно, по условию равны катеты и пара прилежащих к ним углов. Но вторая пара прилежащих к ним углов состоит из углов . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников и получить: .

3-й признак (по гипотенузе и углу): если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного  треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 4).

Дано:

Рис. 4. Иллюстрация третьего признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: для доказательства этого признака можно сразу воспользоваться вторым признаком равенства треугольников – по стороне и двум углам (точнее, следствием, в котором указано, что углы не обязательно должны быть прилежащими к стороне). Действительно, по условию: , , а из свойств прямоугольных треугольников следует, что . Значит, мы можем воспользоваться вторым признаком равенства треугольников, и получить: .

4-й признак (по гипотенузе и катету): если гипотенуза и катет одного прямоугольного  треугольника равны соответственно гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны между собой (Рис. 5).

Дано:

Рис. 5. Иллюстрация четвёртого признака равенства прямоугольных треугольников

Доказать: 

Доказательство: для доказательства этого признака воспользуемся признаком равенства треугольников, который мы сформулировали и доказали на прошлом уроке, а именно: если у треугольников равны две стороны и больший угол, то такие треугольники являются равными. Действительно, по условию у нас есть две равных стороны. Кроме того, по свойству прямоугольных треугольников: . Осталось доказать, что прямой угол является наибольшим в треугольнике. Предположим, что это не так, значит, должен быть ещё хотя бы один угол, который больше . Но тогда сумма углов треугольника уже будет больше . Но это невозможно, значит, такого угла в треугольнике быть не может. Значит, прямой угол является наибольшим в прямоугольным треугольнике. А значит, можно воспользоваться сформулированным выше признаком, и получить: .

Сформулируем теперь ещё одно свойство, характерное только для прямоугольных треугольников.

Свойство

Катет, лежащий против угла в , в 2 раза меньше гипотенузы (Рис. 6).

Дано:

Рис. 6.

Доказать: AB

Доказательство: выполним дополнительное построение: продлим прямую  за точку  на отрезок, равный . Получим точку . Так как углы  и  – смежные, то их сумма равна . Поскольку , то и угол .

Значит, прямоугольные треугольники  (по двум катетам:  – общий,  – по построению) – первый признак равенства прямоугольных треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов. Значит, . Откуда: . Кроме того,  (из равенства всё тех же треугольников). Значит, треугольник  – равнобедренный (так как у него равны углы при основании), но равнобедренный треугольник, один из углов которого равен , – равносторонний. Из этого следует, в частности, что .

Стоит отметить, что верно и обратное утверждение: если в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше одного из катетов, то острый угол, лежащий напротив этого катета, равен .

Примечание: признак означает, что если какое-то утверждение верно, то треугольник является прямоугольным. То есть признак позволяет идентифицировать прямоугольный треугольник.

Важно не путать признак со свойством – то есть, если треугольник прямоугольный, то у него есть такие свойства… Часто признаки и свойства являются взаимно обратными, но далеко не всегда. Например, свойство равностороннего треугольника: в равностороннем треугольнике есть угол . Но это не будет признаком равностороннего треугольника, так как не любой треугольник, у которого есть угол , является равносторонним.

Можно привести и более жизненный пример: свойство слова «хлеб» – в слове «хлеб» 4 буквы. Но наличие 4 букв не является признаком слова «хлеб», так как существует множество слов из 4 букв.

Признак прямоугольного треугольника:

Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник является прямоугольным, причём медиана проведена из вершины прямого угла.

Примечание: медиана – линия, соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны (Рис. 7).

Дано:

Рис. 7.

Доказать: 

Доказательство: поскольку , то  – равнобедренные. Значит, углы при основаниях каждого из этих треугольников равны. То есть, ,  .  Тогда сумма углов треугольника  равна  Значит, . Но: .

Теорема Пифагора: .

Решение прямоугольного треугольника:

;

;

.

Теоремы:

• Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: .
• Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику. Для любых сходственных элементов (медиана, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. п.) исходного и полученных треугольников  справедливо соотношение .
• Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: .
• Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: .
• Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: 

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «АНДРЕЕВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»

Открытый урок геометрии в 7 классе по теме:

« Некоторые свойства прямоугольных треугольников»

на районном семинаре директоров школ

Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений, навыков учащихся.

Цели урока:

Образовательные: вырабатывать у учащихся умения решать основные типы задач на

применение определения, свойства прямоугольных треугольников.

Развивающие:

– развивать математическую речь учащихся, их память, умение обоснованно делать выводы;

– развивать умение преодолевать трудности при решении задач;

– развивать элементы творческой деятельности, качеств мышления – интуиции, смекалки,

а также познавательный интерес учащихся;

– развивать логическое мышление учащихся.

– развивать навыки самоконтроля учащихся;

– формировать умения выделять признаки различных видов треугольников, объединять

треугольники по группам на основе выделенных признаков;

– формировать умения вести исследование с опорой на алгоритм действий;

– повысить мотивацию к изученному предмету.

Воспитательные:

-формировать настойчивость в учебе;

– учить умению слушать;

-воспитывать ответственное отношение к труду.

Оборудование: , проектор, компьютер,

презентация в PowerPoint.

План урока

Этапы урока

Временная

реализация

I

Организационный момент.

1

II

Актуализация опорных знаний учащихся: фронтальный опрос по теории

7

III

Решение задач по готовым чертежам

24

IV

Физкультминутка

2

V

Работа с тестами

VI

Домашнее задание, выполненное учащимися. Проект «Треугольники в нашей жизни»

6

VII

Рефлексия

2

VIII

Задание на дом

2

IX

Подведение итогов урока

1

ХОД УРОКА

I.Организационный момент.

Наш урок мне хотелось бы начать со слов А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии, как в поэзии». Я думаю, шагая по стране «Геометрия», в дальнейшем вы сможете осмыслить эти слова, а может, это вы поймете уже сегодня на уроке. Надеюсь, что этот урок пройдёт интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы тот, кто ещё равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушёл с глубоким убеждением, что математика – интересный и нужный предмет. На сегодняшнем уроке будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

На предыдущих уроках вы получили теоретические знания по теме “Прямоугольный треугольник”, изучили свойства прямоугольных треугольников, начали решать задачи

Как вы думаете, что мы будем делать на этом уроке?

Предполагаемый ответ: Решать задачи по изучаемой теме.

Итак, тема урока: «Свойства прямоугольных треугольников”.

Сформулируем цель нашего урока.

Обучающиеся предлагают цели урока.

Перед вами стоит цель – закрепить умение применять свойства прямоугольного треугольника при решении задач; проверить свои знания в ходе выполнения тестированной работы.

II.Актуализация опорных знаний учащихся: фронтальный опрос по теории.

Начинаем нашу работу. Давайте мы вспомним всё то, что знаем на данный момент о прямоугольном треугольнике.

1.Какой треугольник называется прямоугольным? (У которого есть прямой угол).

2.Как называются стороны в прямоугольном треугольнике? (Гипотенуза и два катета)

3.Какую сторону называют гипотенузой?( Которая лежит напротив прямого угла)

4.Какие стороны называются катетами? (Которые образуют прямой угол)

5.Что мы знаем о длине гипотенузы и катетов? (Гипотенуза больше любого катета).

6.Какой отрезок называется биссектрисой треугольника?

7. Что называют медианой треугольника?

6. Какой отрезок называется высотой треугольника?

7.Сколько свойств прямоугольного треугольника вы знаете? ( Три свойства ).

8..Сформулируйте 1 свойство. (Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°)

9.Сформулируйте 2 свойство.( В прямоугольном треугольнике катет , лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.)

10.Сформулируйте 3 свойство. ( Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета равен 30°.)

11. Внешний угол треугольника?

Итак, вы вспомнили весь теоретический материал, который на данный момент вам известен по данной теме, а теперь мы переходим к практике.

III.Решение задач по готовым рисункам

Проверим выполнение №257 -Домашнее задание

Заполнить пропуски в решении задачи

1. В равнобедренном треугольнике АВС один из внешних углов равен 60°, высота, проведенная к боковой стороне, равна 5 см.

Найдите основание треугольника.

Решение:

Так как внешний угол равен 60°, то смежный с ним внутренний угол равен … Этот угол может быть только углом, противолежащим основанию, так как он … Так как ∆АВС – равнобедренный с основанием AС,
то < А = … = …

Так как АН – высота, то ∆АНС – …

В ∆АНС <C = 30°, значит, АН = …

Так как АН = 5 см, то АС = …

Ответ: АС = …

Задача №1.

IV.Физкультминутка.

«Здоровье – не всё, но всё без здоровья – ничто…»Сократ

Задача №2.

)

V.Задания теста

1) Определите вид треугольника, если у него один из внешних углов прямой?

а) прямоугольный  б) тупоугольный  в) остроугольный     г) нельзя    определить

2. Как называются стороны в прямоугольном треугольнике, образующие прямой

угол?

а) основание   б) катеты   в) боковые  г) гипотенуза

3) В прямоугольном треугольнике две стороны равны 25 см и 20 см. Какая из них может быть гипотенузой?

а)  20 см      б) 25 см    в)  нельзя определить   г) 15 см.

4)  Какая сторона треугольника лежит против острого угла?

а) наибольшая    б) наименьшая     в) средняя по длине  г) катет

5) Катет, лежащий против угла в 300, равен 36 см. Чему равна гипотенуза этого

треугольника?

 а)   72 см    б)   9 см    в)  18 см   г)  нельзя определить

6. Периметр равнобедренного треугольника равен 63 см, основание равно 13 см.

Найдите боковые стороны.

    а) 50 см     б) 13 см   в) 25 см  г) 21 см.

7) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 38 см, а один из острых углов равен

300. Чему равен катет, лежащий против этого угла?

    а) 19 см      б) 76 см    в) 8 см       г) нельзя определить

8) Какая сторона треугольника лежит против тупого угла?

а) наибольшая    б) наименьшая     в) средняя по длине  г) катет

ответы теста

1) Определите вид треугольника, если у него один из внешних углов прямой?

а) прямоугольный  б) тупоугольный  в) остроугольный     г) нельзя    определить Ответ а)

2)Как называются стороны в прямоугольном треугольнике, образующие прямой

угол?

а) основание   б) катеты   в) боковые  г) гипотенуза Ответ б)

3) В прямоугольном треугольнике две стороны равны 25 см и 20 см. Какая из них

может быть гипотенузой? Ответ б)

а)  20 см      б) 25 см    в)  нельзя определить   г) 15 см.

4)  Какая сторона прямоугольного треугольника лежит против большего угла?

а) наибольшая    б) наименьшая     в) средняя по длине  г) катет Ответ а)

5) Катет, лежащий против угла в 300, равен 36 см. Чему равна гипотенуза этого

треугольника?

 а)   72 см    б)   9 см    в)  18 см   г)  нельзя определить Ответ а)

6.Периметр равнобедренного треугольника равен 63 см, основание равно 13 см.

Найдите боковые стороны.

    а) 50 см     б) 13 см   в) 25 см  г) 21 см. Ответ в)

7) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 38 см, а один из острых углов равен

300. Чему равен катет, лежащий против этого угла?

    а) 19 см      б) 76 см    в) 8 см       г) нельзя определить Ответ а)

8) Какая сторона треугольника лежит против тупого угла?

а) наибольшая    б) наименьшая     в) средняя по длине  г) катет Ответ а)

VI. Домашнее задание, выполненное учащимися

Проект « Треугольники в нашей жизни»

Нам с детства знакомы такие фигуры, как треугольник, круг, квадрат. И казалось бы, что в них нет ничего удивительного. Но на самом деле это ошибочное мнение.

В 5 классе на уроках математики мы подробно познакомились с геометрической фигурой – треугольником, но когда начали изучать геометрию, оказалось, что мы многое не знаем.

Для того, чтобы узнать ещё больше об этой фигуре, решили провести небольшое исследование. Помогали нам в этом наши родители, учителя школы, учащиеся.

СЛАЙД 1

Мы поставили перед собой вопросы, на которые хотели бы получить ответы:

1) какие предметы треугольной формы окружают нас

2) какие свойства треугольника применяются в повседневной жизни

3) какие загадки связаны с треугольниками

Самый главный вопрос – можно ли треугольник назвать важной фигурой?

На него мы попросили ответить учителей и учеников школы.

СЛАЙД 2

Опрошено___ учеников и _____ учителей

Вопрос: Считаете ли вы треугольник важной фигурой?

Как видим, большинство опрошенных не считают треугольник важной фигурой. Мы попробуем доказать обратное.

Вопрос 1. Что такое треугольник?

СЛАЙД 3

Понятие «треугольник» имеет разные значения:

– в математике – это геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, образующими три внутренних угла

– в черчении – линейка в виде такой фигуры, служащая для черчения

– в музыке – ударный музыкальный инструмент из стального прута, по которому ударяют металлической палочкой

– в быту – вид взаимоотношений между тремя людьми

Вопрос 2. Как возникли треугольники?

СЛАЙД 4

Как точно появились треугольники, неизвестно. Но геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Разливы реки Нил смывали границы участков, и людям заново приходилось размечать плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. Наиболее простым был участок в форме треугольника.

Вопрос 3. Где треугольники встречаются в нашей жизни?

СЛАЙД 5

В нашей жизни треугольник встречается везде, стоит лишь внимательно присмотреться. Вот ответы учителей и учеников на второй наш вопрос: где в вашей жизни встречается треугольник?

Крыша дома Велосипед Ель

На одежде Парус Дорожные знаки

Интерьер дома Уроки трудового обучения Выпечка

Существуют и другие предметы треугольной формы.

1. Фронтовой треугольник

СЛАЙД 6

Писем белые стаи прилетали на Русь.
Их с волнением читали, знали их наизусть.
Эти письма поныне не теряют, не жгут.
Как большую святыню сыновьям берегут.

Эти строки посвящены фронтовому письму.

Так как конвертов в годы Великой Отечественной войны не хватало, солдаты писали письма на простом листе бумаги, сложенным в треугольник. Отправляли такие письма бесплатно.

Родные с нетерпением ждали треугольной весточки с фронта. Письмо о гибели солдата приходило в конверте.

В память о героических воинах – защитниках в Сталинградском сражении рядом с дорогой Волгоград – Москва сооружен мемориальный комплекс “Солдатское поле”. В братской могиле захоронена урна с прахом погибших солдат. Поблизости – скульптура девочки с цветком в руке. Рядом – мраморный треугольник солдатского письма.

На этом памятном треугольнике письмо майора Д. Петракова к дочери, написанное 18 сентября 1942 г. после боя: “Моя черноглазая Мила! Посылаю тебе василек. Представь себе: идет бой, вокруг рвутся вражеские снаряды, кругом воронки и здесь же растет цветок. И вдруг очередной взрыв – василек сорван. Я поднял его и положил в карман гимнастерки. Цветок рос, тянулся к солнцу, но его сорвало взрывной волной, и, если бы я его не подобрал, его бы затоптали. Вот так фашисты поступают в оккупированных населенных пунктах, где они убивают ребят. Мила! Папа Дима будет драться с фашистами до последнего вздоха, чтобы фашисты не поступили с тобой так же, как с этим цветком…”

2. Дорожные знаки

СЛАЙД 8 Многие из нас хотели бы в будущем стать водителями.

В этом случае нам обязательно нужно будет знать дорожные знаки. Есть группа дорожных знаков в форме треугольника. Что же они означают?

Дорожный знак в форме треугольника на белом фоне с красной окантовкой – о чем-то предупреждает. Они так и называются предупреждающимися. Устанавливаются они в городе или поселке за 50-100 м, вне населенного пункта за 150 – 300 метров до какого-то участка.

Круговое движение

Опасные повороты

Скользкая дорога

Ремонтные работы

Искусственная неровность

Пешеходный переход

Сужение дороги

Подъем

Вопрос 3. Какие загадки связаны с треугольниками?

СЛАЙД 10

Бермудский треугольник – это удивительный район западной части Атлантического океана. Еще это место называют аномальной зоной. Место таинственного исчезновения кораблей и самолетов.

На уроке географии учитель Скотникова О.Н.. рассказала нам об этом явлении и показала на карте, где находится это загадочное место.

Этот регион непрост – тут немало отмелей, огромное количество быстрых водных и воздушных течений, нередко зарождаются циклоны и бушуют ураганы. Ещё одной из причин огромного количества катастроф специалисты называют способность океана производить инфразвуковые сигналы, вызывающие панику у экипажа, из-за которой люди способны даже выброситься за борт. 

Несмотря на ажиотаж, поднятый вокруг Бермудского треугольника, учёные утверждают, что в действительности эта территория ничем особым не отличается, а большое количество аварий связано в основном с тяжёлыми природными условиями.

Вопрос 4. Для чего треугольник используется в строительстве?

СЛАЙД 11

В процессе изучения темы, мы узнали, что треугольник обладает таким свойством, как жесткость. Рассмотрим модели двух фигур – треугольника и четырёхугольника.

Под действием небольшой силы четырёхугольник изменил ?