Какое свойство прямой позволяет обозначать ее называя любые две точки
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
В этой главе рассматриваются знакомые вам из курса математики геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи и углы.
Вы узнаете больше о свойствах этих фигур. Некоторые из этих свойств научитесь доказывать. Слова определение, теорема, аксиома станут для вас привычными, понятными и часто употребляемыми.
§ 1. Точки и прямые
Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из фигур, изображённых на рисунке 11, разбита на части. И даже о фигуре, изображённой на рисунке 12, состоящей из двух точек, можно сказать, что она состоит из двух частей: точки A и точки B.
На рисунке 13 изображены прямая a и две точки A и B. Говорят, что точка A принадлежит прямой a, или точка A лежит на прямой a, или прямая a проходит через точку A и, соответственно, точка B не принадлежит прямой a, или точка B не лежит на прямой a, или прямая a не проходит через точку B.
Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.
Основное свойство прямой
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Это утверждение называют аксиомой (что такое аксиома, вы узнаете в § 6).
Рис. 14 |
|
Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем иметь в виду, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпадения будем оговаривать особо.
Почему это свойство прямой — основное?
Через точки A и B можно провести много различных линий (рис. 14). Прямая же задаётся этими точками однозначно. В этом и состоит суть основного свойства прямой.
Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые её точки. Так, прямую, проведённую через точки M и N, называют «прямая MN» (или «прямая NM»).
Если хотят разъяснить смысл какого-либо слова (термина), то используют определения. Например:
1)часами называют прибор для измерения времени;
2)геометрия — это раздел математики, изучающий свойства фигур.
Определения есть и в геометрии.
Определение
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Рис. 15 |
|
На рисунке 15 изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O.
Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений.
Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живёт по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком?
Из условия задачи следует, что Женя живёт на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик.
Приведённые логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик.
В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.
Теорема 1.1
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Рис. 16 |
|
Доказательство
Пусть пересекающиеся прямые a и b, помимо общей точки A, имеют ещё одну общую точку B (рис. 16). Тогда через две точки A и B проходят две прямые. А это противоречит основному свойству прямой. Следовательно, наше предположение о существовании второй точки пересечения прямых a и b неверно. 
- Какую фигуру нельзя разбить на части?
- Сформулируйте основное свойство прямой.
- Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?
- Для чего используют определения?
- Какие две прямые называют пересекающимися?
- Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?
- Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.
Практические задания
1.Проведите прямую, обозначьте её буквой m. Отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки C, D, E, не лежащие на ней.
2.Отметьте точки M и K и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку E. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.
3.Проведите прямые a и b так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой C. Принадлежит ли точка C прямой a? Прямой b?
4.Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?
5.Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
6.Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?
7.Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось: 1) одна прямая; 2) четыре прямых; 3) шесть прямых. Проведите эти прямые.
Упражнения
8.Пользуясь рисунком 17:
1)определите, пересекаются ли прямые a и MK.
2)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a; прямой MK;
3)укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой a; прямой MK;
4)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a, но не принадлежащие прямой MK;
9.Пользуясь рисунком 18, укажите:
1)какие из отмеченных точек принадлежат прямой p, а какие не принадлежат ей;
2)каким прямым принадлежит каждая из точек A, B, C, D и E;
3)какие прямые проходят через каждую из точек C, B и A;
4)в какой точке пересекаются прямые k и p, m и k;
5)в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.
Рис. 17 | Рис. 18 |
|
|
10.Точка C принадлежит прямой AB. Являются ли различными прямые AB и AC ? Ответ обоснуйте.
11.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?
12.Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть прямых?
13.Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?
14.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения может образоваться?
15.Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?
16.Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?
17.На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?
18.Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?
Рис. 19 |
|
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
19.Из фигурок, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.
Источник
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ – îäíî èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ãåîìåòðèè.
Íàãëÿäíî ïðÿìóþ ëèíèþ ìîæåò ïðîäåìîíñòðèðîâàòü òóãî íàòÿíóòûé øíóð, êðîìêà ñòîëà, êðàé ëèñòà áóìàãè, ìåñòî, ñîåäèíåíèÿ äâóõ ñòåí êîìíàòû, ëó÷ ñâåòà. Ïðè íà÷åðòàíèè ïðÿìûõ ëèíèé íà ïðàêòèêå ïðèìåíÿþò ëèíåéêó.
Ïðÿìîé ëèíèè ïðèñóùè òàêèå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè:
1.Ó ïðÿìîé ëèíèè íåò íè íà÷àëà íè êîíöà, òî åñòü îíà áåñêîíå÷íà. Ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü íà÷åðòèòü òîëüêî åå ÷àñòü.
2.×åðåç äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿìóþ ëèíèþ, è ïðèòîì òîëüêî îäíó.
3. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè íå îãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè.
4.Äâå íåñîâïàäàþùèå ïðÿìûå íà ïëîñêîñòè èëè ïåðåñåêàþòñÿ â åäèíñòâåííîé òî÷êå, èëè îíè ïàðàëëåëüíû.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðÿìîé ëèíèè èñïîëüçóþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, íàïèñàííûå â äâóõ ðàçëè÷íûõ ìåñòàõ ýòîé ïðÿìîé.
Åñëè íà ïðÿìîé ëèíèè óêàçàòü òî÷êó, òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì äâà ëó÷à:
Ëó÷îì íàçûâàþò ÷àñòü ïðÿìîé ëèíèè, îãðàíè÷åííóþ ñ îäíîé ñòîðîíû. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëó÷à ïðèìåíÿþò èëè îäíó ìàëóþ áóêâó ëàòèíñêîãî àëôàâèòà, èëè äâå áîëüøèå áóêâû, èç êîòîðûõ îäíà îáîçíà÷àåòñÿ â íà÷àëå ëó÷à.
×àñòü ïðÿìîé, îãðàíè÷åííàÿ ñ îáåèõ ñòîðîí, èìåíóþò åå îòðåçêîì. Îòðåçîê, êàê è ïðÿìàÿ ëèíèÿ, îáîçíà÷àåòñÿ èëè îäíîé áóêâîé, èëè äâóìÿ.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ýòè áóêâû óêàçûâàþò êîíöû îòðåçêà.
Ëèíèþ, ñôîðìèðîâàííóþ íåñêîëüêèìè îòðåçêàìè, íå ëåæàùèìè íà îäíîé ïðÿìîé, ïðèíÿòî íàçûâàòü ëîìàíîé. Êîãäà êîíöû ëîìàíîé ñîâïàäàþò, òî òàêàÿ ëîìàíàÿ èìåíóåòñÿ çàìêíóòîé.
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ïðÿìàÿ ëèíèÿ. Óðàâíåíèå ïðÿìîé. | |
Источник
- Главная
- Вопросы & Ответы
- Вопрос 10892909
более месяца назад
Просмотров : 9
Ответов : 1
Лучший ответ:
из любой двух точек можно провести только одну прямую
более месяца назад
Ваш ответ:
Комментарий должен быть минимум 20 символов
Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт
Лучшее из галереи за : неделю месяц все время
Другие вопросы:
Помогитееее пожалуйстааа с историей,надо написать Основные мероприятия Рюрика,Олега,Игоря,Ольги,Святослава.только без всякий издевок
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 2
Ответов :
Дима и Сережа вычисляли периметры геометрических фигур. Дима вычислял периметры прямоугольника, а Сережа-четырехугольников. Свои записи мальчики представили в виде таблицы. 4 8 9 13 6 6 6 10 6*2 4*2 6 6 4 4
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 2
Ответов : 1
А C=110° Найти A,B,C,D ?
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 1
Ответов :
Картинок: 1
номер 6 помогите пожалуйста
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 2
Ответов : 1
Картинок: 1
Произведения каких поэтов ты-бы назвал поэтичными? ( 2 класс,4 четверть )
более месяца назад
Смотреть ответ
Просмотров : 2
Ответов :
Источник
Казалось бы, что таким простым понятиям, как «точка» или «прямая», которые мы повседневно используем в жизни, крайне
просто дать определения. Но на практике оказалось, что это не так.
Существует множество определений, которые давали знаменитые математики терминам «точка» и «прямая». За многие века ученые так
и не пришли к единому определению.
Мы не будем приводить все определения точки и прямой. Остановимся на объяснениях, которые, на наш взгляд, наиболее простым образом
их описывают.
Запомните!
Точка — элементарная фигура, не
имеющая частей.
Прямая состоит из множества
точек и простирается бесконечно
в обе стороны.
На рисунке изображена прямая a и точки D, F, G и
H. Точки F и G
лежат на прямой a.
Точки D и H
не
лежат на прямой a.
В тексте точку обозначают символом «(·)».
Принадлежность и непринадлежность точки
прямой обозначают символами «∈» и «∉». Знак принадлежности можно запомнить как
зеркальное отображение буквы «Э» или как знак евро «€» .
То есть выражаясь геометрическими обозначениями, информацию о расположении прямой и точек на рисунке выше можно записать так:
- (·)F ∈ a — точка F принадлежит прямой a (другими словами, точка F лежит на прямой a);
- (·)G ∈ a — точка G принадлежит прямой a;
- (·)D ∉ a — точка D не принадлежит прямой a (другими словами, точка D не лежит на прямой a);
- (·)H ∉ a — точка H не принадлежит прямой a.
Как обозначить прямую
Прямую обычно обозначают одной
маленькой латинской буквой.
Прямую, на которой отмечены
две точки, иногда обозначают
по названиям этих точек большими латинскими точками.
- На рисунке изображены:
- Прямая a
- Прямая f
- Прямая CH
- Прямая DK
Точки D, E и F — лежат на одной прямой, поэтому:
прямая DE,
прямая EF и
прямая DF —
это три разных имени одной и той же прямой.
Задача № 1 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите прямую, обозначьте её буквой a и
отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и
точки P, Q и R, не лежащие на ней. Опишите
взаимное расположение точек A, B, P, Q, R и
прямой a, используя символы ∈ и ∉.
Решение задачи
Проведём прямую.
Обозначим её буквой a.
Отметим точки (·)A и (·)B, лежащие на прямой a.
Отметим точки (·)P, (·)Q и (·)R, не лежащие на прямой a.
Опишем взаимное расположение точек и прямой.
- (·)A ∈ a
- (·)B ∈ a
- (·)P ∉ a
- (·)Q ∉ a
- (·)R ∉ a
Задача решена.
Как обозначается пересечение прямых
На рисунке прямые a и b
не пересекаются.
Прямые b и
c пересекаются.
Хотя на чертеже не видно, но прямые a и
c тоже пересекаются (это становится ясно, если мысленно
продолжить вниз прямые a и с).
В тексте пересечение прямых обозначают
символом ∩. Информацию на рисунке выше можно записать следующим образом:
- b ∩ c — прямые b и с пересекаются;
- a ∩ c — прямые a и с пересекаются.
Прямые e и g имеют общую точку M.
Другими словами, прямые пересекаются в точке M. Геометрическими обозначениями
пересечение прямых в точке записывается так:
e ∩ g = (·)M
Прямые e и f не имеют общей точки — т.е. они не
пересекаются.
Взаимное расположение прямой и точек
Запомните!
Через любые две точки можно
провести прямую, и притом
только одну.
Через одну точку (·)A можно провести
сколько угодно прямых.
Через две точки
(·)A и (·)B можно провести
только одну прямую.
Сколько общих точек имеют две прямые
Запомните!
Две прямые либо имеют только
одну общую точку, либо не имеют
общих точек.
Докажем утверждение выше. Для этого рассмотрим все возможные случаи расположения двух прямых.
Первый случай расположения прямых
На рисунке выше мы видим, что у прямых f и e
нет общих точек, т.к. эти
прямые не пересекаются.
Второй случай расположения прямых
Возможен вариант, что прямые f и e
пересекаются и, значит, имеют одну общую точку (·)M.
Третий случай расположения прямых
Предположим, что прямые
f и e имеют две или больше общих точек.
Например, точки (·)A и (·)B.
Но мы знаем, что через две
точки можно провести только одну прямую. Значит,
прямые f и e совпадают и наше предположение, что
у двух прямых может быть две или более общих точек неверно.
Вывод: две прямые либо имеют только
одну общую точку, либо не имеют
общих точек.
Задача № 3 из учебника Атанасян 7-9 класс
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из
них пересекались. Обозначьте все точки
пересечения этих прямых. Сколько получилось
точек? Рассмотрите все возможные случаи.
Решение задачи
Проведём две прямые a и b так, чтобы эти две
прямые пересекались, и обозначим точку
пересечения.
Как мы видим, точка пересечения только одна. Мы
можем провести третью прямую так, чтобы она
тоже проходила через эту точку пересечения.
Теперь прямая a пересекается
с прямой b,
прямая b пересекается с прямой c и
прямая c пересекается с прямой a.
В этом случае
у нас только одна точка
пересечения всех прямых — точка (·)D.
Но возможен и другой вариант. Мы можем провести третью прямую c так,
чтобы она не проходила через точку (·)D. Тогда
получится
три точки пересечения — (·)D, (·)E и (·)F.
Прямая a пересекается
с прямой b
в точке (·)D,
прямая b пересекается с прямой c в точке (·)F и
прямая c пересекается с прямой a
в точке (·)E. Условие задачи выполнено.
Мы убедились, что возможны оба варианта. Поэтому в ответе запишем их оба.
Ответ: точек пересечения получается одна или
три.
Что такое отрезок
Запомните!
Отрезок —
часть прямой, ограниченная
двумя точками.
Две точки, ограничивающие отрезок, называются
концами отрезка. У отрезка на рисунке выше концы
называются S и
T.
Сам отрезок можно назвать ST
или TS. Когда изображают отрезок, оставшиеся от
прямой хвосты можно не рисовать.
В отличии от прямой любой отрезок можно измерить. Т.е. каждый отрезок имеет длину.
Источник