Какое свойство не является свойством функции распределения

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1]:

Доказательство. Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Свойство 2. F (х) — неубывающая функция, т. е.

Доказательство. Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение, меньшее , можно подразделить на следующие два несовместных события:

1) Х примет значение, меньшее , с вероятностью ;

2) Х примет значение, удовлетворяющее неравенству , с вероятностью . По теореме сложения имеем .

Получить решение

Отсюда

или

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то

или

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a;b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

Это важное следствие вытекает из свойства 2, если

ПРИМЕР 13.1.40 Случайная величина Х задана функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (1;2).

Решение. Так как на интервале (1;2), по условию,

то

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

Действительно, положив

в формуле ,

имеем

Пусть . Тогда в силу непрерывности функции F(х) (Х — непрерывная случайная величина) ;

следовательно, .

Тогда .

Например, равенство доказывается так:

Замечание. Ранее мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю, – невозможные события. Теперь же рассматриваются события возможные, но с нулевой вероятностью. Они появляются только при рассмотрении опытов, не сводящихся к схеме случаев. Понятие о событии “возможном, но обладающем нулевой вероятностью”, не более парадоксально, чем представление о фигуре, имеющей определенную площадь, тогда как ни одна из точек внутри фигуры отличной от нуля площадью не обладает. Фигура состоит из таких точек, но ее площадь не равна сумме их площадей. Сколь угодно малый элемент, выделенный из этой фигуры, имеет площадь; она приближается к нулю при уменьшении размеров элемента и в пределе равна нулю для точки.
Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина должна принять одно из своих возможных значений, то до опыта вероятность каждого из таких значений равна нулю. Однако в исходе опыта случайная величина непременно примет одно из своих возможных значений, т.е. заведомо произойдет одно из событий, вероятности которых были равны нулю.

Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то:

1) ;

2) .

Доказательство. 1) Пусть . Тогда событие невозможно (так как значений, меньших , величина Х по условию не принимает) и,следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть . Тогда событие достоверно (так как все возможные значения Х меньше ) и, следовательно, вероятность его равна единице.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:

, .

Сформулированные свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины.
График расположен в полосе, ограниченной прямыми (первое свойство).

При возрастании х в интервале (a;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, ордината точек графика возрастает (второе свойство).

При ординаты графика равны нулю; при ординаты графика равны единице (третье свойство).

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис.13.1.3.

Рис.13.1.3

Функция распределения дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(X) равна единице.

ПРИМЕР 13.1.41 Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения

Найти функцию распределения и построить ее график.

Решение. Если , то (третье свойство).

Если , то , т.к. Х может принять единственное возможное в данном случае значение -1 с вероятностью 0,2.

Если , то . Действительно, т.к. Х может принять значение -1 (вероятность этого события равна 0,2) или значение 2

(вероятность этого события равна 0,3). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятность события Х < х равна сумме вероятностей 0,2+0,3=0,5.

Если , то . Действительно, событие достоверно, следовательно, его вероятность равна единице.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

График этой функции приведен на рис.13.1.4.

Рис.13.1.4

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис.13.1.5.).

Рис.13.1.5

Cлучайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения – к непрерывной функции (рис.13.1.3.).

На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрывы, такие случайные величины называются смешанными.

В качестве примера смешанной случайной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис.13.1.6).

Рис.13.1.6

Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток , но при этом крайние значения промежутка 0 и , осуществляющиеся при положении бомбы типа I и II, обладают определенной конечной вероятностью, и этим значениям соответствуют скачки функции распределения, тогда как в промежуточных значениях (положение типа III) функция распределения непрерывна (рис.13.1.7).

Рис.13.1.7

Итак, в общем случае функция распределения случайной величины может иметь график со скачками (разрывы I рода), который на отдельных участках может быть постоянной величиной, на других – монотонно возрастать (рис.13.1.8).

Рис.13.1.8

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Источник

Для анализа случайных величин в теории вероятностей принято использовать её функцию распределения. В отличие от ряда распределения функция распределения может быть определена для случайных величин любых типов.

Функцией распределения случайной величины называется функция, значениями которой являются вероятности того, что значения случайной величины будут строго меньше аргумента функции распределения . Следовательно, функция распределения случайной величины определена для любых действительных значений своего аргумента и значения функции распределения задаются так: .

Можно пояснить, что значение функции распределения – это вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее на числовой оси левее точки .

Функция распределения случайной величины удобна для анализа тем, что она определена для любых действительных значений своего аргумента . Если не существует значений случайной величины , которые меньше значения , то значение функции распределения будет равно нулю, поскольку нулевой будет вероятность . Для всех остальных значений своего аргумента значение функции распределения будет больше 0. Но эти значения всегда меньше или равны 1, поскольку значениями функции распределения всегда являются вероятности тех или иных событий. Следовательно, для любых действительных значений функция распределения определена и её значения находятся от 0 до 1 включительно: .

Функция распределения для любой случайной величины обладает следующими основными свойствами:

1. Функция распределения является неубывающей, т.е. если , то .

2. Функция распределения при стремлении аргумента к стремится к 0, а при стремлении к стремится к 1. Иначе говоря, , а .

3. Функция распределения является непрерывной слева, т.е. .

4. Вероятность того, что случайная величина примет значение в полуинтервале , в который левый конец включён, а правый конец – нет, равна разности значений функции распределения этой случайной величины в концах этого полуинтервала: .

Первое основное свойство функции распределения можно обосновать так. Если , то интервал является подмножеством . Следовательно, случайное событие является подмножеством случайного события , а потому, как доказывалось в первой части курса, их вероятности связаны неравенством . И тогда по определению функции распределения получаем, что .

Второе и третье свойства функции распределения принимаются в этой части курса без доказательства. Отметим только, что оба эти свойства являются следствиями аксиом непрерывности вероятности, которые излагались в первой части курса теории вероятностей и математической статистики.

Четвёртое свойство можно обосновать так. Если два числа связаны неравенством , то объединение множеств и даст множество , т.е. . Равны и вероятности этих множеств, как случайных событий: . При этом множества и не пересекаются, а потому являются несовместными случайными событиями. Для таких случайных событий вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: . Следовательно, или . И тогда по определению того, как вычисляются значения функции распределения, вероятности в правой части этого равенства можно заменить значениями функции распределения от соответствующих значений аргументов: .

Если в последнем равенстве сделать переменной и устремить к справа, то получится, что в пределе полуинтервал превратится в точку , а само равенство превратится в . Выражение в правой части этого равенства называется скачком функции в точке . Если функция распределения является непрерывной в точке , то её скачёк равен нулю. Следовательно, для случайных величин, имеющих непрерывные функции распределения, вероятность принять какое-то конкретное значение всегда равно 0. Если же у случайной величины функция распределения является только слева непрерывной (а это, напомним, свойство любых функции распределения), то вероятность для этой случайной величины иметь какое-то конкретное значение будет равно скачку функции распределения в точке этого значения аргумента. Такая закономерность характерна для дискретных случайных величин: значения вероятностей для них иметь какое-то конкретное значение определяется величиной скачка разрывной справа функции распределения в точке этого конкретного значения.

Источник

Понятие случайной величины.

В самом общем смысле случайная величина – это некоторая переменная, принимающая, те или иные значения с определенными вероятностями.

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Гистограмма – один из способов представления случайной величины.

случайная величина может быть:
дискретнаяслучайная величина принимает конечное (или счетное) число возможных значений – xi (гдеi = 1.. n или i = 1 .. ∞) с определенными вероятностями. Пример: игральные кости. Выпадаемый номер – случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений – 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью*.
непрерывная случайная величина может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно. Пример:рост студентов – рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений – бесконечно.

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями их появления.

Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) или графически (в виде многоугольника распределения).

Рассмотрим случайную величину X, которая принимает значения x1,x2,x3…xn с некоторой вероятностью pi, где i= 1.. n. Сумма вероятностей pi равна 1.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1	x2	x3	…	xn	…
p1	p2	p3		pn

называется рядом распределения дискретной случайной величины или просто рядом распределения. Эта таблица является наиболее удобной формой задания дискретной случайной величины.

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

Закон Бернулли – число сочетаний из n элементов по m.

Закон распределения Пуассона

Функция распределения

Фу́нкция распределе́ния — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события , а вероятностью события , где – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от , есть некоторая функция от . Эта функция называется функцией распределения случайной величины и обозначается :

. (5.2.1)

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если , то ;

(F2)

cуществуют пределы и ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева:

Закон плотности распределения вероятностей

Плотность вероятности – это некоторая средняя вероятность, приходящая на бесконечно малый отрезок

Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):

limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х.

Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:

P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

Дисперсия и ее свойства.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайных величин от математического ожидания:

D[Х]=M[X-M(X)]2

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Свойство 2. постоянную величину можно вынести за знак дисперсии, предварительно возведя ее в квадрат:

D(cX) = c2D(X)

Свойство 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин Х и Y равна сумме их дисперсий:

D(X+Y) = D(X) + D(Y), от сюда следствие:

если х1, х2,…, хn – случайные величины, каждая из которых независима от суммы остальных, то

D(X1+X2+…+Xn) = D(X1) + D(X2)+…+D(Xn).

Моментом k-порядка называется математическое ожидание k-й степени отклонения случайной величины Х от некоторой постоянной с.

Если в качестве с берется нуль, моменты называются начальными

νk = М(Х)k

Если с = М(Х), то моменты называются центральными

μ = M[X – M(X)]k

Моменты случайной величины.

Момент случайной величины — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Если дана случайная величина определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

-м начальным моментом случайной величины где называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено;

-м центральным моментом случайной величины называется величина

-м факториальным моментом случайной величины называется величина

если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.

Замечания

Если определены моменты -го порядка, то определены и все моменты низших порядков

В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные, и наоборот. Например:

и т. д.

Вычисление моментов

Моменты могут быть вычислены напрямую через определение путём интегрирования соответствующих степеней случайной величины. В частности, для абсолютно непрерывного распределения с плотностью имеем:

если

а для дискретного распределения с функцией вероятности

если

Также моменты случайной величины могут быть вычислены через ее характеристическую функцию :

Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:

Биномиальное распределение.

Биномиальное распределение

распределение вероятностей числа появлений некоторого события при повторных независимых испытаниях. Если при каждом испытании вероятность появления события равна р, причём 0 ≤ p≤ 1, то число μ появлений этого события при nнезависимых испытаниях есть случайная величина, принимающая значения m = 1, 2,.., n с вероятностями

где q= 1 — p, a — биномиальные коэффициенты (отсюда название Б. р.). Приведённая формула иногда называется формулой Бернулли. Математическое ожидание и Дисперсия величины μ, имеющей Б. р., равны М(μ) = np иD(μ) = npq, соответственно. При больших n, в силу Лапласа теоремы (См. Лапласа теорема), Б. р. близко к нормальному распределению (См. Нормальное распределение), чем и пользуются на практике. При небольших n приходится пользоваться таблицами Б. р.

Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделируетслучайную величину

, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Выберем фиксированное число и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

где

· обозначает факториал числа ,

· — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , записывается: .

Функция распределения

Интегрируя плотность, получаем функцию экспоненциального распределения:

Моменты

Несложным интегрированием находим, что производящая функция моментов для экспоненциального распределения имеет вид:

Закон распределения системы случайных величин. Таблица распределения. ( в файле 2)

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.[/b]

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы дискретных случайных величин. Пусть и — дискретные случайные величины, возможные значения которых , где Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что случайная величина примет значение и одновременно с этим случайная величина примет значение . Вероятности фиксируют в таблице.

Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события при составляют полную группу несовместных событий, поэтому

При этом

Свойство 1.

или символически

Свойство 2.

или

Свойство 3.

или

Свойство 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 15), вычисляется, по формуле

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина, входящая в систему, приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью распределения. Условная функция распределения обозначается , условная плотность распределения — (мы записали условные законы распределения случайной величины при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение).

Плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение (условной плотностью распределения), назовем величину

Аналогично плотностью распределения для случайной величины при условии, что случайная величина приняла определенное значение, назовем величину

. Отсюда получаем .

или с учетом формул (5.3)

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами безусловной плотности распределения. В частности,

24. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
Для характеристики двумерной случайной величины (X, Y) вводят дополнительные числовые характеристики, которые выражают степень зависимости ее составляющих X иY.
^ Начальным моментом порядка s, h системы двух случайных величин X, Y называется математическое ожидание произведения степени s случайной величины X и степени h случайной величины Y:

25. Центральным моментом порядка s, h системы СВ (X, Y) называется математическое ожидание произведения степеней s, h соответствующих центрированных случайных величин:

где X=X – M(X), Y=Y – M(Y) – центрированные случайные величины X и Y.
Основным моментом порядка s, h системы СВ (X,Y) называется нормированный центральный момент порядка s,h:

Начальные моменты :

Вторые центральные моменты:
– характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OX.
– характеризует рассеяние случайных величин в направлении оси OY.
Особую роль в качестве характеристики совместной вариации случайных величин X и Y играет второй смешанный центральный момент,который называется корреляционным моментом (ковариацией):

Корреляционный момент является мерой связи случайных величин. Если случайные величины X и Y независимы, то математическое ожидание равно произведению их математических ожиданий:
, отсюда
Если ковариация случайных величин не равна нулю, то говорят, что случайные величины коррелированны. Ковариация может принимать значения на всей числовой оси, поэтому в качестве меры связи используют основной момент порядка s=1, h =1, который называюткоэффициентом корреляции:
где

Коэффициент корреляции служит мерой линейной зависимости между случайными величинами.
Свойства коэффициента корреляции:

если , то случайные величины линейно зависимы;
если , то случайные величины не коррелированны, что не означает их независимости вообще.

25. Неравенство Чебышева. Нера́венство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения близкие к своему среднему. Более точно, оно даёт оценку вероятности, что случайная величина примет значение далёкое от своего среднего. Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание и дисперсия конечны. Тогда

, где .

Если , где – стандартное отклонение и , то получаем

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на стандартных отклонения с вероятностью меньше . Она отклоняется от среднего на стандартных отклонения с вероятностью меньше .

Метод наименьших квадратов

является одним из наиболее распространенных и наиболее разработанных вследствие своей простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Вместе с тем, при его применении следует соблюдать определенную осторожность, поскольку построенные с его использованием модели могут не удовлетворять целому ряду требований к качеству их параметров и, вследствие этого, недостаточно “хорошо” отображать закономерности развития процесса .

Рассмотрим процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов более подробно. Такая модель в общем виде может быть представлена уравнением (1.2):

yt = a0 + a1 х1t +…+ an хnt + εt .

Исходными данными при оценке параметров a0 , a1 ,…, an является вектор значений зависимой переменной y = (y1 , y2 , … , yT )’ и матрица значений независимых переменных

в которой первый столбец, состоящий из единиц, соответствует коэффициенту модели .

Название свое метод наименьших квадратов получил, исходя из основного принципа, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров: сумма квадратов ошибки модели должна быть минимальной.

Статистической гипотезой

Определения

Пусть в (статистическом) эксперименте доступна наблюдению случайная величина , распределение которой известно полностью или частично. Тогда любое утверждение, касающееся называется статистической гипотезой. Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:

На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и как правило простую гипотезу . Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза , называемая конкурирующей или альтернативной.

Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами, поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу.

В большинстве случаев статистические критерии основаны на случайной выборке фиксированного объема из распределения . В последовательном анализе выборка формируется в ходе самого эксперимента и потому её объем является случайной величиной (см. Последовательный статистический критерий).

Понятие случайной величины.

Гистограмма – один из способов представления случайной величины.

2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей вида

x1	x2	x3	…	xn	…
p1	p2	p3		pn

Закон Бернулли – число сочетаний из n элементов по m.

Закон распределения Пуассона

Функция распределения

. (5.2.1)

Свойства функции распределения.

1. Функция распределения есть неубывающая функция своего аргумента, т.е. при .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: .

Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

она не убывает: если , то ;

(F2)

cуществуют пределы и ;

(F3)

она в любой точке непрерывна слева:

Источник