Какое свойство называется основное свойство дроби
В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.
Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры
Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:
Определение 1
Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.
Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a, b и mбудут справедливыми равенства:
a·mb·m=ab и a:mb:m=ab
Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: (a · m) · b = (b · m) · a и (a : m) · b = (b : m) · a. Таким образом, дроби a·mb·m и ab, а также a:mb:m и ab являются равными по определению равенства дробей.
Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.
Пример 1
Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4·9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4·5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:
Окрашенная часть – это 59 исходной фигуры или 2036, что является тем же самым. Таким образом, дроби 59 и 2036 являются равными: 59=2036 или 2036=59.
Эти равенства, а также равенства 20 = 4·5, 36 = 4·9, 20:4 = 5 и 36:4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 59=5·49·4 и 2036=20·436·4.
Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.
Пример 2
Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47, после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3. Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?
Решение
Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3. В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.
Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.
Определение 2
Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.
Источник
Ключевые слова конспекта: дроби, обыкновенная дробь, правильные и неправильные дроби, основное свойство дроби, сравнение дробей, арифметические действия с дробями, нахождение части от целого и целого по его части.
Одна или несколько равных частей единицы называются обыкновенной дробью. Дробь 3/4 означает, что единицу разделили на 4 части и взяли 3 таких части.
Дробь можно рассматривать и как результат деления натуральных чисел. Частное от деления натуральных чисел а и b можно записать в виде дроби a/b — где делимое а — числитель, а делитель b — знаменатель.
Правильная и неправильная дробь
Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.
Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.
Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.
Основное свойство дроби
Определение. Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Основное свойство дроби используют при сокращении дробей. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дробей.
Сравнение дробей
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
- привести дроби к наименьшему общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:
- найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей (оно и будет их общим знаменателем);
- разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;
- умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Арифметические действия с обыкновенными дробями
Сложение и вычитание дробей
При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель. Полученную дробь, если возможно, сокращают и выделяют целую часть.
При сложении (вычитании) дробей с разными знаменателями нужно предварительно привести эти дроби к наименьшему общему знаменателю, затем сложить (вычесть) полученные дроби, используя правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.
Особенно надо быть внимательным при сложении (вычитании) с участием смешанных чисел!
Общий случай сложения (вычитания) дробей.
Умножение дробей
- Произведение двух дробей a/b и c/d равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
- При умножении чисел, состоящих из целой и дробной частей, их предварительно представляют в виде неправильных дробей, а затем умножают согласно п. 1.
Деление дробей
Два числа называются взаимно обратными, если их произведение равно 1, то есть дроби вида a/b и b/a являются взаимно обратными. Например 1/3 и 3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на число, обратное к делителю.
При делении чисел, состоящих из целой и дробной части, нужно предварительно представить их в виде неправильной дроби.
Нахождение части от целого (дроби от числа)
Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.
Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.
Нахождение целого по его части (числа по его дроби)
Чтобы найти целое по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на знаменатель той же дроби.
Задача нахождения целого по его части по существу является задачей нахождения числа по его дроби. Чтобы найти число по его дроби, необходимо данное значение разделить на эту дробь.
Это конспект по теме «Обыкновенная дробь». Выберите дальнейшие действия:
- Перейти к следующему конспекту: Десятичная дробь
- Вернуться к списку конспектов по Математике.
- Проверить знания по Математике.
Источник
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.
Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей («треть», «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».
Сегодня мы познакомимся с основным свойством любой из таких дробей.
Возьмем круг, разделим его на три равные части и закрасим две из них.
Каждую из 3-х частей поделим еще на 4 равные части.
Посмотрим, что получилось:
Получим, что весь круг поделен на ( textbf{3}cdottextbf{4}=textbf{12} ) частей, а в двух закрашенных частях круга будет (textbf{2}cdottextbf{4}=textbf{8} ) таких частей.
Значит, $$frac{textbf{2}}{textbf{3}}=frac{textbf{2}cdottextbf{4}}{textbf{3}cdottextbf{4}}=frac{textbf{8}}{textbf{12}}$$
То есть $$frac{textbf{2}}{textbf{3}}=frac{textbf{8}}{textbf{12}} $$
Можно записать иначе:
$$frac{textbf{8}}{textbf{12}}=frac{textbf{8 : 4}}{textbf{12 : 4}}=frac{textbf{2}}{textbf{3}}$$
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
В этом заключается основное свойство дроби.
Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Закрыть
С дробями можно легко познакомиться в быту. Достаточно вспомнить как выглядят настенные часы.
Там есть разделение на часы, минуты, а стрелки могут показывать, на какие части делится весь циферблат.
При этом мы будем получать дроби со знаменателями 12 (если делим на части по часам) или 60 (если делим на части по минутам).
Например:
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}}=frac{textbf{6}}{textbf{12}}=frac{textbf{30}}{textbf{60}}$$
Половина циферблата – это 6 часов из 12 или 30 минут из 60.
Любое математическое правило или свойство можно применить на практике.
Посмотрим, как применяется основное свойство дроби.
Пример:
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{x}}{textbf{12}}$$
Решение
Мы видим, что неизвестен числитель второй дроби, но дроби между собой равны.
Значит, используя основное свойство дроби, выясним, во сколько раз отличаются знаменатели дробей.
Проще делить больший знаменатель на меньший.
То есть,
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{3}cdottextbf{a}}{textbf{4}cdottextbf{a}}=frac{textbf{x}}{textbf{12}}$$
$$textbf{4}cdottextbf{a}=textbf{12}$$
12 разделим на 4 и получим 3
$$textbf{a}=textbf{3}$$
Теперь найдем неизвестный числитель.
Мы посчитали, что a = 3 Подставив в формулу это значение, получим:
$$textbf{x}=textbf{3}cdottextbf{a}=textbf{3}cdottextbf{3}=textbf{9}$$
Получаем девять в числителе второй дроби:
$$frac{textbf{3}}{textbf{4}}=frac{textbf{9}}{textbf{12}}$$
Здесь видим подтверждение того факта, что равные дроби являются различными записями одного и того же числа.
Пример:
На тетрадном листе начертите луч длиной 10 клеток. Отметьте на нем точки с координатами:
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}} ; frac{textbf{4}}{textbf{5}} ; frac{textbf{3}}{textbf{10}}$$
Решение
Начертим луч и отметим нужные нам координаты, используя основное свойство дроби, где это требуется.
$$frac{textbf{1}}{textbf{2}}=frac{textbf{1}cdottextbf{5}}{textbf{2}cdottextbf{5}}=frac{textbf{5}}{textbf{10}}$$
$$frac{textbf{4}}{textbf{5}}=frac{textbf{4}cdottextbf{2}}{textbf{5}cdottextbf{2}}=frac{textbf{8}}{textbf{10}}$$
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке. Оно происходит от глагола «дробить» – разбивать, ломать на части.
Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии, затем его стали использовать и арабы.
В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:
1/2 – половина, полтина | 1/3 – треть |
1/4 – четь | 1/6 – полтреть |
1/8 – полчеть | 1/12 – полполтреть |
1/16 – полполчеть | 1/24 – полполполтреть (малая треть) |
1/32 – полполполчеть (малая четь) | 1/5 – пятина |
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления, она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.
Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая – получетверть, которая называлась осьмина.
Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли. Но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др.
Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее:
«В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.
При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7– седмина, 1/5– пятина, 1/10– десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13– пять тринадцатых жеребьёв.
Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников: числитель назывался «верхним числом», знаменатель «исподним».
Пройти тест
Источник
Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 1. Рациональные дроби. § 1. Рациональные дроби и их свойства (5 ч). Уроки 3-5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
Уроки 3-5. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей
Цели: рассмотреть основное свойство дроби и отработать навыки сокращения дробей и приведения дробей к заданному знаменателю.
Планируемые результаты: вспомнить основное свойство дроби, отработать навыки сокращения дробей.
Тип уроков: уроки изучения нового материала, урок-практикум.
ХОД УРОКОВ
I. Сообщение темы и целей уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
- Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
- Контроль усвоения материала (письменный опрос + тест).
III. Работа по теме уроков
План уроков
- Основное свойство дроби.
- Тождество.
- Приведение дроби к заданному знаменателю.
- Сокращение дробей.
- Способы разложения многочленов на множители.
1. Основное свойство дроби
Свойства рациональных дробей и операции с ними очень похожи на свойства числовых дробей и действия с ними. Напомним известное вам основное свойство обыкновенной дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь, т. е. равенство a/b = ac/bc верно при любых натуральных значениях а, b и с.
Это равенство справедливо не только при натуральных, но и при любых других значениях переменных а, b и с, при которых знаменатель не равен нулю, т. е. при b ≠ 0 и с ≠ 0. Докажем это утверждение.
Пусть дробь a/b = m. Тогда по определению частного имеем а = bm. Умножим обе части этого равенства на число с и получим ас = (bm) • с. На основании переместительного и сочетательного свойств умножения запишем: ас = (bс) • m. Так как b ≠ 0 и с ≠ 0 (т. е. bс ≠ 0), то выразим из этого равенства величину m = ac/bc. Кроме этого равенства, есть равенство m = a/b. Приравняем правые части этих выражении и получим требуемое равенство a/b = ac/bc.
Заметим, что основное свойство дроби выполняется и в том случае, когда с — любое ненулевое выражение.
2. Тождество
Уточним некоторые понятия, изученные в 7 классе. Ранее тождеством называлось равенство, которое выполнялось при любых значениях переменных. Тождествами, например, назывались все формулы сокращенного умножения и т. д. Равенство a/b = ac/bc верно при всех значениях переменных, при которых его левая и правая части имеют смысл, т. е. при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства также называют тождествами. Очевидно, что ранее данное понятие тождества является частным случаем более общего определения.
В общем случае тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными. Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.
Было доказано, что равенство a/b = ac/bc верно при всех допустимых значениях переменных. Поэтому по определению это равенство является тождеством. Такое тождество называют основным свойством дроби.
3. Приведение дроби к заданному знаменателю
Основное свойство дроби используют для ее приведения к заданному знаменателю.
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Заметим, что приведение дробей к заданному знаменателю используется при сложении и вычитании дробей.
4. Сокращение дробей
Поменяем в равенстве a/b = ac/bc левую и правую части местами и получим тождество ac/bc = a/c. Это равенство позволяет заменить дробь вида ac/bc более простой тождественно равной дробью a/c, т. е. сократить дробь ac/bc на общий множитель с числителя и знаменателя.
Пример 4
Заметим, что при сокращении дроби надо выделять наибольший общий множитель числителя и знаменателя. В рассмотренном примере множитель 7а2b2 были наибольшим. Для выражений 35а2b2 и 7а2b3 число 7 является наибольшим общим делителем чисел 35 и 7, а2 — множитель а в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель, b2 — множитель b также в наименьшей степени, с которой он входит в числитель и знаменатель. Поэтому множитель 7а2b2 — наибольший общий множитель числителя и знаменателя.
Если общий множитель числителя и знаменателя будет не наибольшим, то после сокращения на него дроби дробь может быть сокращена еще.
5. Способы разложения многочленов на множители
Пример 5
Разумеется, при сокращении дробей используют и другие способы разложения многочленов, стоящих в числителе и знаменателе дроби, на множители. В частности, широко используется способ группировки и вынесения общего множителя за скобки.
Пример 6
Так как и далее мы будем использовать разложение числителя и знаменателя дроби на множители, вспомним основные способы разложения многочленов на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- группировка членов многочлена;
- использование формул сокращенного умножения.
Напомним также формулы сокращенного умножения:
1) а2 — b2 = (а — b)(а + b) (разность квадратов двух чисел равна произведению разности и суммы этих чисел);
2) (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 (квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);
3) (а — b)2 = а2 — 2ab + b2 (квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа);
4) а3 — b3 = (а — b)(а2 + ab + b2) (разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы).
Заметим, что неполным квадратом суммы чисел а и b называется выражение а2 + ab + b2 (по аналогии с квадратом (или полным квадратом) суммы чисел а и b: (а + b)2 = а2 + 2ab + b2);
5) а3 + b3 = (а + b)(а2 — ab + b2) (сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности).
Отметим, что неполным квадратом разности чисел а и b называется выражение а2 — ab + b2 (сравните с полным квадратом разности чисел а и b: (а — b)2 = а2 — 2ab + b2):
6) (а + b)3 — а3 + 3а2b + 3аb2 + b3 (куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа);
7) (а — b)3 = а3 — 3а2b + 3ab2 — b3(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).
IV. Задания на уроках
№ 23 (б, д); 25 (д); 27 (а); 28 (б, г); 29 (а, г); 30 (в); 31 (б); 32 (а); 33 (б); 35 (б); 42 (б); 44 (в); 45; 47; 49 (а, в).
V. Контрольные вопросы
- Докажите основное свойство дроби.
- Какое равенство называется тождеством? Приведите примеры.
- Основные способы разложения многочленов на множители.
- Формулы сокращенного умножения (рекомендуется опросить нескольких учащихся).
- Подведение итогов уроков
Домашнее задание: № 23 (а, г, е); 24 (в, е); 25 (а); 27 (б); 28 (а, в); 29 (д, е); 30 (д); 31 (а); 32 (б); 33 (а, г); 35 (а, г); 38 (а, д); 39; 41 (а); 46; 48; 49 (б, г).
Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 1. Рациональные дроби. § 1. Рациональные дроби и их свойства (5 ч). Уроки 3-5. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.
Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.
Источник