Какое свойство имеет биссектриса угла
2 июня 2018
Сегодня будет очень лёгкий урок. Мы рассмотрим всего один объект — биссектрису угла — и докажем важнейшее её свойство, которое очень пригодится нам в будущем.
Только не надо расслабляться: иногда ученики, желающие получить высокий балл на том же ОГЭ или ЕГЭ, на первом занятии даже не могут точно сформулировать определение биссектрисы.
И вместо того, чтобы заниматься действительно интересными задачами, мы тратим время на такие простые вещи. Поэтому читайте, смотрите — и берите на вооружение.:)
Для начала немного странный вопрос: что такое угол? Правильно: угол — это просто два луча, выходящих из одной точки. Например:
Примеры углов: острый, тупой и прямой
Как видно из картинки, углы могут быть острыми, тупыми, прямыми — это сейчас неважно. Часто для удобства на каждом луче отмечают дополнительную точку и говорят, мол, перед нами угол $AOB$ (записывается как $angle AOB$).
Капитан очевидность как бы намекает, что помимо лучей $OA$ и $OB$ из точки $O$ всегда можно провести ещё кучу лучей. Но среди них будет один особенный — его-то и называют биссектрисой.
Определение. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины этого угла и делит угол пополам.
Для приведённых выше углов биссектрисы будут выглядеть так:
Примеры биссектрис для острого, тупого и прямого угла
Поскольку на реальных чертежах далеко не всегда очевидно, что некий луч (в нашем случае это луч $OM$) разбивает исходный угол на два равных, в геометрии принято помечать равные углы одинаковым количеством дуг (у нас на чертеже это 1 дуга для острого угла, две — для тупого, три — для прямого).
Хорошо, с определением разобрались. Теперь нужно понять, какие свойства есть у биссектрисы.
Основное свойство биссектрисы угла
На самом деле у биссектрисы куча свойств. И мы обязательно рассмотрим их в следующем уроке. Но есть одна фишка, которую нужно понять прямо сейчас:
Теорема. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых от сторон данного угла.
В переводе с математического на русский это означает сразу два факта:
- Всякая точка, лежащая на биссектрисе некого угла, находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла.
- И наоборот: если точка лежит на одинаковом расстоянии от сторон данного угла, то она гарантированно лежит на биссектрисе этого угла.
Прежде чем доказывать эти утверждения, давайте уточним один момент: а что, собственно, называется расстоянием от точки до стороны угла? Здесь нам поможет старое-доброе определение расстояния от точки до прямой:
Определение. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к этой прямой.
Например, рассмотрим прямую $l$ и точку $A$, не лежащую на этой прямой. Проведём перпендикуляр $AH$, где $Hin l$. Тогда длина этого перпендикуляра и будет расстоянием от точки $A$ до прямой $l$.
Графическое представление расстояния от точки до прямой
Поскольку угол — это просто два луча, а каждый луч — это кусок прямой, легко определить расстояние от точки до сторон угла. Это просто два перпендикуляра:
Определяем расстояние от точки до сторон угла
Вот и всё! Теперь мы знаем, что такое расстояние и что такое биссектриса. Поэтому можно доказывать основное свойство.
Как и обещал, разобьём доказательство на две части:
1. Расстояния от точки на биссектрисе до сторон угла одинаковы
Рассмотрим произвольный угол с вершиной $O$ и биссектрисой $OM$:
Докажем, что эта самая точка $M$ находится на одинаковом расстоянии от сторон угла.
Доказательство. Проведём из точки $M$ перпендикуляры к сторонам угла. Назовём их $M{{H}_{1}}$ и $M{{H}_{2}}$:
Провели перпендикуляры к сторонам угла
Получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные углы:
- $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$ по условию (поскольку $OM$ — биссектриса);
- $angle M{{H}_{1}}O=angle M{{H}_{2}}O=90{}^circ $ по построению;
- $angle OM{{H}_{1}}=angle OM{{H}_{2}}=90{}^circ -angle MO{{H}_{1}}$, поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника всегда равна 90 градусов.
Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (см. признаки равенства треугольников). Поэтому, в частности, $M{{H}_{2}}=M{{H}_{1}}$, т.е. расстояния от точки $O$ до сторон угла действительно равны. Что и требовалось доказать.:)
2. Если расстояния равны, то точка лежит на биссектрисе
Теперь обратная ситуация. Пусть дан угол $O$ и точка $M$, равноудалённая от сторон этого угла:
Докажем, что луч $OM$ — биссектриса, т.е. $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$.
Доказательство. Для начала проведём этот самый луч $OM$, иначе доказывать будет нечего:
Провели луч $OM$ внутри угла
Снова получили два прямоугольных треугольника: $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$. Очевидно, что они равны, поскольку:
- Гипотенуза $OM$ — общая;
- Катеты $M{{H}_{1}}=M{{H}_{2}}$ по условию (ведь точка $M$ равноудалена от сторон угла);
- Оставшиеся катеты тоже равны, т.к. по теореме Пифагора $OH_{1}^{2}=OH_{2}^{2}=O{{M}^{2}}-MH_{1}^{2}$.
Следовательно, треугольники $vartriangle OM{{H}_{1}}$ и $vartriangle OM{{H}_{2}}$ по трём сторонам. В частности, равны их углы: $angle MO{{H}_{1}}=angle MO{{H}_{2}}$. А это как раз и означает, что $OM$ — биссектриса.
В заключение доказательства отметим красными дугами образовавшиеся равные углы:
Биссектриса разбила угол $angle {{H}_{1}}O{{H}_{2}}$ на два равных
Как видите, ничего сложного. Мы доказали, что биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудалённых до сторон этого угла.:)
Теперь, когда мы более-менее определились с терминологией, пора переходить на новый уровень. В следующем уроке мы разберём более сложные свойства биссектрисы и научимся применять их для решения настоящих задач.
Смотрите также:
- Высота в треугольнике
- Основное свойство биссектрисы угла в треугольнике и его применение для решения задач
- Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
- Правила вычисления производных
- Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
- Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
Источник
Мария Полютова
20 февраля 2019 · 15,7 K
Имею естественно научное образование, в юношестве прикипел к литературе, сейчас…
Основные свойства бисскетрисы:
- Делит противовположные стороны на части, которые пропорциональные прилегающим сторонам
- Все биссектрисы пересекаются в точке внутри треугольника, и эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник
- Точки биссектрисы равноудалены от точек ее угла
- Бисскетрисы внешнего и внутреннего уголов прямоугольника являются перпендикулярными
- Бисскетриса является и медианой и высотой только в правильном треугольнике
Биссектриса является медийной и высотой и в равнобедренном треугольнике
Геометрия как быстро выучить что такое треугольник высота медиана биссектриса?
Высота значит точно то же, что и в обычном мире 🙂 То есть расстояние от вершины (она может быть любой) до той линии, на которой треугольник “стоит”.
Медиана соединяет вершину с центром стороны напротив.
Биссектриса делит угол пополам, выходя из вершины “внутрь”.
Высоты – из вершин к плоскости, на которой треугольник может “стоять”. Тоесть под прямым углом сверху-вниз.
Медиана – делит сторону напротив угла пополам
Биссектриса – делит пополам сам угол
Прочитать ещё 2 ответа
Возможен ли не прямоугольный треугольник, в котором сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны?
Я согласен с ответом от Uwe Boll, но постараюсь ответить более детально.
Вообще, если вам даны один угол и длина двух сторон, или два угла и длина одной стороны, или все три стороны, то они определяют остальные три элемента. Однако если вам даны три угла, то они определяют длину сторон с точностью до фактора.
В вашем вопросе, даны длины всех трех сторон с точностью до фактора:
fA, fB, и fC=f sqrt(A^2+B^2). Мы хотим понять почему никакой “гибкости” в этом треугольнике нет.
Обозначим углы напротив каждой из сторон соотвенственно a, b, c .
Мы используем закон косинусов на плоскости:
Косинус угла напротив “длинной” стороны (мы подозреваем, гипотенузы) определен
cos(c) = (A^2 + B^2 – C^2) / (2AB)
(фактор f сокращается). (Заметим, что два других угла тоже определены без всякой гибкости, но нам они не интересны.) Дальже идет алгебра – мы знаем длину C(A,B) и подставляем в правую сторону:
(A^2 + B^2 – C^2) / (2AB) = (A^2 + B^2 – sqrt(A^2+B^2)^2) / (2AB) = (A^2 + B^2 – (A^2+B^2)) / (2AB) = 0.
То есть косинус угла c = ноль. Значит это должен быть прямой угол.
Однако закон косинусов так не работает, если ваш треугольник не на плоскости, а, например, на сфере.
Прочитать ещё 2 ответа
Какие четыре точки называют “замечательными точками” треугольника?
Замечательных точек треугольника много, все не перечесть 🙂
Четыре самые знаменитые, их изучают в школе:
- Центр масс — точка пересечения медиан треугольника
- Центр описанной около треугольника окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров
- Центр вписанной в треугольник окружности — точка пересечения биссектрис
- Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника
Вот еще примеры замечательных точек:
- Точка Жергонна — точка пересечения прямых, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника и противолежащие вершины.
- Точка Нагеля — точка пересечения прямых, проходящих через точки касания вневписанных окружностей со сторонами треугольника и противолежащие вершины
- Точка Лемуана — точка, изогонально сопряжённая точке пересечения медиан, то есть точка пересечения прямых, симметричных медианам относительно соответствующих биссектрис треугольника
Есть еще много других
Прочитать ещё 1 ответ
Чему равно число Пи?
Никто не знает точно, чему равно пи. Если разделить длину окружности на ее диаметр, то результат всегда будет одинаковый, какую окружность ни возьми. Этот результат и обозначили греческой буквой пи. Буква понадобилась потому, что привычными цифрами это число точно записать невозможно. Но мы знаем, чему оно равно приблизительно.
Самое знаменитое приближение – 3,14. Чтобы запомнить больше цифр, можно выучить стишок:
Надо очень постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть
Прочитать ещё 17 ответов
В определении биссектрисы треугольника лежит то, что этот отрезок пересечет противоположную сторону треугольника, но почему? Где доказательство? С мат. точ.зр.
Веб-дизайнер, участник промо-группы, музыкант, фотограф, видеомейкер, предприним…
Не понимаю о чем вы спрашиваете, но биссектриса – это прямая, делящая угол пополам, проведенная от вершины угла до её пересечения с противолежащей стороной. Тут главное что она делит угол, а не то что она прикасается к стороне
Прочитать ещё 1 ответ
Источник
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы поговорим о таком термине, как БИССЕКТРИСА.
Это понятие широко применяется в геометрии. И каждый школьник в России знакомится с ним уже в 5 классе. А после эта величина часто используется для решения различных задач.
Биссектриса — это…
Итак,
Биссектриса – это луч, который выходит из вершины треугольника и делит ее ровно на две части.
Также под биссектрисой принято понимать и длину отрезка (что это?), который начинается в вершине треугольника, а заканчивается на противоположной от этой вершины стороне.
Есть еще понятие «биссектриса угла», которая является лучом и точно так же делит угол (любой, не обязательно треугольника) пополам:
Само понятие БИССЕКТРИСА пришло к нам из латинского языка. И название это весьма говорящее. Оно состоит из двух слов – «bi» означает «двойное, пара», а «sectio» можно дословно перевести, как «разрезать, поделить».
Вот и получается, что само слово БИССЕКТРИСА – это «разрезание пополам», что собственно и отражается в определении термина, который мы только что привели.
А сейчас задачка на закрепление материала. Посмотрите на эти рисунки и скажите, на каком изображена биссектриса. Подумали? Правильно, на втором.
На первом луч, выходящий из угла АОВ, явно не делит его пополам. На втором это соотношение углов более очевидно, а потому можно предположить, что луч ОД является БИССЕКТРИСОЙ. Хотя, конечно, на сто процентов это утверждать сложно.
Для более точного определения используют специальные инструменты. Например, транспортир. Это такой инструмент в виде полусферы из металла или пластмассы. Вот как он выглядит:
Хотя есть еще вот такие варианты:
Наверняка у каждого такие были в школе. И пользоваться ими весьма просто. Надо только ровненько совместить основание транспортира (прямоугольная линейка) с основанием треугольника, а после на полусфере отметить значение, которое соответствует размеру угла.
И точно по такой же схеме можно поступить наоборот – имея транспортир, начертить угол необходимого размера. Чаще всего – от 0 до 180 градусов. Но на втором рисунке у нас транспортир, который помогает начертить градусы от 0 до 360.
Количество биссектрис в треугольнике
Но вернемся к нашей главной теме. И ответим на вопрос – сколько БИССЕКТРИС есть в треугольнике?
Ответ в общем-то логичен, и он заложен в самом названии нашей геометрической фигуры. Треугольник – три угла. А соответственно, и биссектрис в нем будет тоже три – по одной на каждую вершину.
Снова посмотрим на наши рисунки. В данном случае наглядно видно, что у треугольника АВС (именно так в геометрии обозначается эта фигура – по наименованию ее вершин) три БИССЕКТРИСЫ. Это отрезки AD, BE и CF.
На чертежах БИССЕКТРИСЫ обозначатся следующим образом. Видите одинарные выгнутые черточки между отрезками АС /AL1 и АВ/AL1? Так обозначаются углы. А то, что они оба обозначены одинаковыми черточками, говорит о том, что углы равны. А значит, отрезок AL1 является БИССЕКТРИСОЙ.
То же самое относится и к углам между АВ/DL2 и ВС/BL2. Они обозначены одинаковыми двойными черточками. А значит, отрезок BL2 – биссектриса. А углы АС/CL3 и ВС/CL3 обозначены тройными черточками. Соответственно, это показывает, что отрезок CL3 также является биссектрисой.
Пересечение биссектрис треугольника
Как можно было заметить по приведенным выше рисункам, у биссектрис треугольника есть одно важное свойство. А именно:
Биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке, называемой инцентром!
Это правило является аксиомой (что это такое?) и не допускает никаких исключений. Другими словами, вот такого быть не может:
Если вы видите такую картину, то перед вами точно не БИССЕКТРИСЫ. Во всяком случае, минимум один отрезок таковой не является. А может и все три.
А есть еще один интересный факт, связанный с пересечением биссектрис треугольника.
Центр пересечения биссектрис в треугольнике является центром окружности, который списан в эту фигуру.
Это свойство биссектрис на самом деле не только выглядит интересно на чертежах. Оно часто помогает в решение сложных задач.
Свойство основания биссектрисы
У каждой БИССЕКТРИСЫ есть основание. Так называют точку пересечения со стороной треугольника. Например, в нашем случае это будет точка К.
И с этим основанием связана одна весьма интересная теорема. Она гласит, что
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону, то есть точкой основания, на два отрезка. И их отношение равно отношению двух прилежащих сторон.
Звучит несколько тяжеловато, но на деле выглядит весьма просто. Отношение отрезков на основании биссектрисы – это ВК/КС. А отношение прилежащих сторон – это АВ/АС. И получается, что в нашем случае теорема выглядит вот так:
ВК/КС = АВ/АС
Интересно, что для данной теоремы будет справедливо и другое утверждение:
ВК/АВ = КС/АС
Ну, как часто бывает в математике – это правило работает и в обратном направлении. То есть, если вы знаете длины все сторон и их соотношения равны, то можно сделать вывод, что перед нами БИССЕКТРИСА, А соответственно, будет проще рассчитать размер угла треугольника.
Биссектриса равнобедренного треугольника
Для начала напомним, что такое равнобедренный треугольник.
Это такой треугольник, у которого две стороны абсолютно равны (то есть имеет равные «бедра»).
Так вот в таком треугольнике БИССЕКТРИСА имеет весьма интересные свойства.
Она одновременно является еще и медианой (что это?), и высотой.
Эти понятия нам также знакомы по школьному курсу. Но если кто забыл, мы обязательно напомним:
- Высота – линия, которая выходит из вершины треугольника и опускается на противоположную сторону под прямым углом.
- Медиана – линия, которая выходит из вершины треугольника, и делит противоположную сторону на две ровные части.
А в равностороннем треугольнике или как его еще называют правильном (у которого все стороны и все углы равны) все три биссектрисы являются высотами и медианами. И плюс ко всему, их длины равны.
Вот и все, что нужно знать о таком понятии, как БИССЕКТРИСА. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Использую для заработка
- ВоркЗилла – удаленная работа для всех
- Анкетка – платят за прохождение тестов
- Etxt – платят за написание текстов
- Кьюкоммент – биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек – выгодный обмен криптовалют
- Бинанс – надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет – заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)
Источник
Биссектриса треугольника – это уникальный отрезок; он один из самых сложных по восприятию и пониманию. Легко понять и осознать, что такое высота, можно разобраться с определением и назначением медианы, но биссектрисы – это сложно. Просто потому, что основой для понимания биссектрисы служит понимание угла, а это не так легко усвоить, как величину отрезка.
Определения
Какие определения нам понадобятся в процессе работы? Во-первых, это определение биссектрисы.
Биссектриса – это луч, имеющий начало в вершине угла и делящий угол пополам.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы, которой начинается в вершине треугольника и заканчивается на стороне, противолежащей этой вершине.
Вписанная окружность – это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Треугольник в этом случае называется описанным.
Теперь обозначим основные свойства биссектрисы и приведем для них доказательства.
Первое, что нужно обозначить, это различие понятий биссектрисы и биссектрисы треугольника. Это похожие вещи, но свойства биссектрис углов треугольников не будут действовать на все биссектрисы. Это нужно запомнить.
Свойства биссектрисы треугольника
- Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Проведем в треугольнике АВС биссектрису ВК. После этого проведем прямую СМ, параллельную этой биссектрисе так, что точка М будет являться точкой пересечения продолжения стороны АВ.
Тогда два параллельных отрезка ВК и МС отсекут от сторон угла ВАС пропорциональные отрезки. То есть: АВ:АК=ВМ:КС. Докажем, что ВМ=ВС. Для этого посмотрим на треугольник ВМС. Угол АВК равен углу ВМС, как соответственные углы параллельных прямых при секущей АМ. С другой стороны угол КВС равен углу ВСМ, как накрест лежащие при параллельных прямых и секущей ВС. Но при этом угол АВК равен углу КВС, так как ВК – это биссектриса. Запишем все в виде равенств для большего понимания.
$$АВК = ВМС$$
$$КВС = ВСМ$$
$АВК = КВС$, значит углы ВМС и МСВ равны, а треугольник МВС – равнобедренный. Тогда $ВМ=ВС$ и $АВ:АК=ВС:СК$. Что и требовалось доказать.
Рис. 1. Первое свойство
- Биссектриса равноудалена от сторон угла, в котором она проведена.
Это свойство не биссектрисы треугольника, а любой биссектрисы, поэтому ее доказательство проще рассматривать на рисунке угла.
Нарисуем угол АВС и проведем в нем биссектрису ВМ. Расстояние от биссектрисы до стороны в любой точке это перпендикуляр. Поэтому выберем произвольную точку на биссектрисе. Назовем ее D и опустим перпендикуляр на сторону АВ в точку Р и на сторону ВС в точку N. Тогда мы получим два прямоугольных треугольника: DРВ и DNB, равные между собой по гипотенузе ВD, которая будет общей стороной треугольников, и острому углу, так как угол PBD равен углу DBN, так как ВМ – биссектриса. Значит, и стороны PD=DN – как соответственные элементы. Доказательство простое, но изящное. Знание этого свойство поможет в доказательстве следующей теоремы.
Рис. 2. Второе свойство
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка служит центром вписанной окружности. Это доказывается очень просто, необходимо из точки пересечения опустить перпендикуляры к каждой стороне.
Рис. 3. Третье свойство
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое биссектриса треугольника и чем она отличается от обычной биссектрисы. Выделили три свойства биссектрисы треугольника, которые пригодятся при решении задач и доказательстве теорем.
Тест по теме
Оценка статьи
Средняя оценка: 3.9. Всего получено оценок: 191.
Источник