Какое основное свойство алгебраической дроби

При изучении обыкновенных дробей, сталкиваемся с понятиями основного свойства дроби. Формулировка упрощенного вида необходима для решения примеров с обыкновенными дробями. Данная статья предполагает рассматривание алгебраических дробей и применение к ним основного свойства, которое будет сформулировано с приведением примеров области его применения.

Формулировка и обоснование

Основное свойство дроби имеет формулировку вида:

Определение 1

При одновременном умножении или делении числителя и знаменателя на одно и то же число, значение дроби остается неизменным.

То есть, получаем, что a·mb·m=ab и a:mb:m=ab равнозначны, где ab=a·mb·m и ab=a:mb:m считаются справедливыми. Значения a, b, m являются некоторыми натуральными числами.

Деление числителя и знаменателя на число можно изобразить в виде a·mb·m=ab. Это аналогично решению примера 812=8:412:4=23. При делении используется равенство вида a:mb:m=ab, тогда 812=2·42·4=23. Его же можно представить в виде a·mb·m=ab , то есть812=2·43·4=23.

То есть, основное свойство дроби a·mb·m=ab и ab=a·mb·m будем рассматривать подробно в отличие от a:mb:m=ab и ab=a:mb:m.

Если в числителе и знаменателе имеются действительные числа, тогда свойство применимо. Предварительно следует доказать справедливость записанного неравенства для всех чисел. То есть, доказать существование a·mb·m=ab для всех действительных a, b, m, где b и m являются отличными от нуля значениями во избежание деления на ноль.

Доказательство 1

Пусть дробь вида ab считается частью записи z, иначе говоря, ab=z, тогда необходимо доказать, что a·mb·m отвечает z, то есть доказать a·mb·m=z. Тогда это позволит доказать существование равенства a·mb·m=ab.

Черта дроби означает знак деления. Применив связь с умножением и делением, получим, что из ab=z после преобразования получаем a=b·z. По свойствам числовых неравенств следует произвести умножение обеих частей неравенства на число, отличное от нуля. Тогда произведем умножение на число m, получаем, что a·m=(b·z)·m. По свойству имеем право записать выражение в виде a·m=(b·m)·z. Значит, из определения следует, что ab=z. Вот и все доказательство выражения a·mb·m=ab.

Равенства вида a·mb·m=ab и ab=a·mb·m имеют смысл, когда вместо a, b, m будут многочлены, причем вместо b и m – ненулевые.

Основное свойство алгебраической дроби: когда одновременно умножить числитель и знаменатель на одно и то же число, получим тождественно равное исходному выражение.

Свойство считается справедливым, так как действия с многочленами соответствуют действиям с числами.

Пример 1

Рассмотрим на примере дроби 3·xx2-xy+4·y3. Возможно преобразование к виду 3·x·(x2+2·x·y)(x2-xy+4·y3)·(x2+2·x·y).

Было произведено умножение на многочлен x2+2·x·y. Таким же образом основное свойство помогает избавиться от x2, имеющегося в заданной по условию дроби вида 5·x2·(x+1)x2·(x3+3) к виду 5·x+5×3+3. Это называется упрощением.

Основное свойство можно записать в виде выражений a·mb·m=ab и ab=a·mb·m, когда a, b, m являются многочленами или обычными переменными, причем b и m должны являться ненулевыми.

Сферы применения основного свойства алгебраической дроби

Применение основного свойства актуально для приведения к новому знаменателю или при сокращении дроби.

Определение 2

Приведение к общему знаменателю – это умножение числителя и знаменателя на аналогичный многочлен для получения нового. Полученная дробь равна исходной.

То есть дробь вида x+y·x2+1(x+1)·x2+1 при умножении на x2+1 и приведении к общему знаменателю (x+1)·(x2+1) получит вид x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.

После проведения действий с многочленами получаем, что алгебраическая дробь преобразуется в x3+x+x2·y+yx3+x+x2+1.

Приведение к общему знаменателю выполняется также при сложении или вычитании дробей. Если даны дробные коэффициенты, то предварительно необходимо произвести упрощение, что позволит упростить вид и само нахождение общего знаменателя. Например, 25·x·y-2x+12=10·25·x·y-210·x+12=4·x·y-2010·x+5.

Применение свойства при сокращении дробей выполняется в 2 этапа: разложение числителя и знаменателя на множители для поиска общего m, после чего осуществить переход к виду дроби ab, основываясь на равенстве вида a·mb·m=ab.

Если дробь вида 4·x3-x·y16·x4-y2 после разложения преобразуется на x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y, очевидно, что общим множителем будет многочлен 4·x2−y. Тогда возможно будет произвести сокращение дроби по основному его свойству. Получим, что

x·(4·x2-y)4·x2-y·4·x2+y=x4·x2+y. Дробь упрощается, тогда при подстановке значений необходимо будет выполнять намного меньше действий, чем при подстановке в исходную.

Источник

Теория

1.	Основное свойство алгебраической дроби
2.	Перемена знаков в числителе и знаменателе дроби
3.	Сокращение алгебраических дробей

Задания

1.	Перемена знаков числителя и знаменателя дроби Сложность: лёгкое	1
2.	Сокращение алгебраической дроби, вынесение общего множителя за скобки Сложность: лёгкое	2
3.	Расширение алгебраической дроби (неизвестный числитель) Сложность: лёгкое	1,5
4.	Расширение дроби Сложность: среднее	2
5.	Общий знаменатель (противоположные знаменатели) Сложность: среднее	4
6.	Дроби с одинаковыми знаменателями Сложность: среднее	3
7.	Дроби с общим знаменателем (две дроби) Сложность: среднее	4
8.	Дроби с общим знаменателем (разность квадратов) Сложность: среднее	6
9.	Дроби с общим знаменателем (три дроби, разность квадратов) Сложность: среднее	4
10.	Сокращение алгебраической дроби, разложение на множители способом группировки Сложность: среднее	3
11.	Дроби с одинаковыми знаменателями (общий множитель, способ группировки) Сложность: сложное	7

Тесты

Тренировка по теме Основное свойство алгебраической дроби

Сложность: лёгкое

Методические материалы

1.	Технологическая карта

Источник

Технологическая карта:

Методические материалы

Номер	Название	Описание
1.	Технологическая карта

Теория

Задания

Номер	Название	Вид	Сложность	Баллы	Описание
1.	Перемена знаков числителя и знаменателя дроби	1 вид – рецептивный	лёгкое	1 Б.	Перемена знаков числителя и знаменателя дроби, равные дроби.
2.	Сокращение алгебраической дроби, вынесение общего множителя за скобки	2 вид – интерпретация	лёгкое	2 Б.	Сокращение алгебраической дроби, вынесение общего множителя за скобки.
3.	Расширение алгебраической дроби (неизвестный числитель)	1 вид – рецептивный	лёгкое	1,5 Б.	Замена звёздочки алгебраическим выражением.
4.	Расширение дроби	1 вид – рецептивный	среднее	2 Б.	Приведение дроби к данному знаменателю.
5.	Общий знаменатель (противоположные знаменатели)	2 вид – интерпретация	среднее	4 Б.	Приведение дробей к общему знаменателю.
6.	Дроби с одинаковыми знаменателями	2 вид – интерпретация	среднее	3 Б.	Преобразование двух дробей, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями.
7.	Дроби с общим знаменателем (две дроби)	2 вид – интерпретация	среднее	4 Б.	Приведение двух дробей к общему знаменателю.
8.	Дроби с общим знаменателем (разность квадратов)	2 вид – интерпретация	среднее	6 Б.	Приведение двух дробей к общему знаменателю.
9.	Дроби с общим знаменателем (три дроби, разность квадратов)	2 вид – интерпретация	среднее	4 Б.	Приведение трёх дробей к общему знаменателю, формула сокращённого умножения (произведение суммы и разности).
10.	Сокращение алгебраической дроби, разложение на множители способом группировки	2 вид – интерпретация	среднее	3 Б.	Сокращение алгебраической дроби с использованием способа группировки.
11.	Дроби с одинаковыми знаменателями (общий множитель, способ группировки)	2 вид – интерпретация	сложное	7 Б.	Приведение трёх дробей к общему знаменателю, формула сокращённого умножения (произведение суммы и разности).

Тесты

Номер	Название	Рекомендованное время:	Сложность	Баллы	Описание
1.	Тренировка по теме Основное свойство алгебраической дроби	00:03:00	лёгкое	4 Б.	Задания на перемену знаков числителя и знаменателя дроби, равные дроби; преобразование двух дробей, чтобы получились дроби с одинаковыми знаменателями.

Проверочные тесты (скрыты от учеников)

Номер	Название	Рекомендованное время:	Сложность	Баллы	Описание
1.	Домашняя работа по теме Основное свойство алгебраической дроби	00:10:00	среднее	15,5 Б.	Задания на сокращение алгебраической дроби, вынесение общего множителя за скобки; замену звёздочки алгебраическим выражением (неизвестный числитель); приведение дробей к общему знаменателю (противоположные знаменатели); приведение двух дробей к общему знаменателю (разность квадратов); сокращение дроби (степень бинома).
2.	Проверочная работа по теме Основное свойство алгебраической дроби	00:20:00	среднее	26 Б.	Задания на приведение дробей к общему знаменателю, противоположные знаменатели с одинаковыми знаками; разложение числителя и знаменателя на множители, сокращение алгебраической дроби; приведение дроби к данному знаменателю; выбор дробей, равных данной дроби; приведение двух дробей к общему знаменателю (две дроби); приведение дробей к общему знаменателю (три дроби — степень, бином); приведение трёх дробей к общему знаменателю, формула сокращённого умножения (произведение суммы и разности).

Источник

Дробь – есть число вида ab, где a – целое число, и b – натуральное число. Также и алгебраическая дробь – число вида PQ, где P и Q – многочлены, и P является знаменателем, а Q – числителем дроби. Является частным случаем рационального выражения.
Пример алгебраической дроби:
y2-1y-1

Смотреть также деление многочленов.

Основное свойство дроби

Пожалуй, самым важным свойством дроби является записанное ниже. Именно оно позволяет проделывать практически любые известные операции и преобразования над дробями.

Свойство: если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (отличное от 0), то значение дроби не изменится.

Иначе говоря:
ab=a×nb×n∀n≠0
.

То же, очевидно, применимо и к алгебраическим дробям, т.к. ясно, что умножение числителя и знаменателя на одно и то же число эквивалентно умножению числа на число, а потом делению на то же число, что является взаимно-обратными действиями ∴ взаимно уничтожают друг друга. Конечно, применение этого свойства к алгебраическим дробям является их тождественным преобразованием, что важно ∴ этим свойством всегда можно спокойно пользоваться.

Сокращение дробей

Важным вытекающим из основного свойства алгебраической дроби свойством является возможность её сокращения, т.е. деление числителя и знаменателя на число.

Пример:
x2-xx2=x2-x/xx2/x=x-1x

Приведение дробей к общему знаменателю

Алгебраические дроби (как и обычные) можно привести к общему знаменателю, используя основное свойство.

Сложение и вычитание алгебраических дробей

Приведённые к общему знаменателю дроби можно складывать и вычитать.
ac+bc=a+bc

Это достаточно легко доказывается, если потребуется: обозначим две складывающиеся дроби l и m, тогда по определению частного: a=cl; b=cm и a+b = cl+cm=c(l+m). Подводя итог, имеем выражение a+b = c(l+m), тогда получается: (a+b)/c=l+m, Q.E.D.

Умножение дробей

Умножать дроби очень легко, перемножая числитель с числителем и знаменатель с знаменателем.
ab×cn=a⁢cb⁢n

Опять же для быстрого исчерпывающего доказательства без каких-либо неинтуитивных понятий можно воспользоваться тем же трюком, что и для сложения дробей: обозначить дроби k и l. По определению частного: a=bk и c=nl. Теперь можно, перемножив левые и правые части данных равенств и применив переместительное и сочетательное свойства умножения, получить: ac = (bk)×(nl) = (nb)(kl) ∴ исходное перемножение дробей kl = ac⁄bn Q.E.D.

Возведение дроби в степень

Последовательное умножение дроби саму на себя – возведение в степень. Оно также возможно. Как именно возводить дробь в n-ую степень, легко понять, пользуясь правилом умножения дробей (возведение в степень есть последовательное умножение числа, переменной, многочлена самого на себя – см. свойства степени с целым показателем).
abn=anbn

Деление дробей

Делить дроби тоже можно. Деление на дробь эквивалентно умножению на ту же дробь, где числитель и знаменатель поменяли местами. Деление на дробь – это умножение на дробь ей обратную.
ac&div;bd=ac×db

Для быстрого доказательства этого тождества (для всех чисел кроме 0 в знаменателе, конечно) можно уже даже обойтись без трюка, использованного выше (а просто воспользоваться остальными доказанными тождествами). adcb×bd=adbcbd=ac (значит, по определению частного изначальное выражение является тождеством).

Также одно очевидное свойство: если у дроби изменить знак числителя (или знаменателя) и знак перед дробью, то получится дробь ей тождественно равная. Однако этим иногда удобно пользоваться при различного рода преобразованиях, поэтому об этом не следует забывать.

При работе с рациональными дробями не обязательно обращаться к математическим выражениям другого рода, так как результаты всех перечисленных выше действий можно представить в виде рациональной дроби (что выше и показано).

Источник