Какое это свойство переместительное
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a – b) = m · a – m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a – b) · m = a · m – b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a – b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a – m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a – m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a – b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Источник
Математика, 2 класс
Урок № 52. Переместительное свойство умножения
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Что такое переместительное свойство умножения?
- Когда используется переместительное свойство умножения?
Глоссарий по теме:
Умножение – это сложение одинаковых слагаемых. Знак умножения – *, х.
Компоненты умножения: первый множитель, второй множитель.
Результат умножения – произведение.
Переместительное свойство умножения – от перестановки мест множителей произведение не изменяется. В общем виде переместительное свойство умножения записывают так: a • b = b • a.
Обязательная литература и дополнительная литература:
- Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с.56
- Математика. 2 класс: Тесты по математике в 2 ч. Ч.2/ В.Н. Рудницкая. – М. Экзамен, 2016. – с. 20-24
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрите выражения. Выполните вычисления устно, используя таблицу умножения.
3 • 2
6 • 4
3 • 5
Проверьте, 3 • 2= 6, 6 • 4 = 24, 3 • 5 = 15
А теперь в каждом произведении поменяйте множители местами и найдите значение получившихся произведений, заменив их суммой одинаковых слагаемых.
2 • 3 = 2 + 2 + 2 = 6
4 • 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24
5 • 3 = 5 + 5 + 5 = 15
Сравните равенства.
Множители поменяли местами. Произведения не изменились, они равны в каждой паре равенств.
Это переместительное свойство умножения. Если множители поменять местами, произведение не изменится. Оно записывается так: a + b = b + a.
Составим равенства по рисунку и найдем их значение.
6 • 3 = 18. Так как в каждом ряду 6 яблок одного цвета и таких рядов 3.
3 • 6 = 18. Так как 3 столбца яблок разного цвета и таких столбцов 6.
Получили равные произведения, хотя множители поменяли местами.
Составим равенства к следующему рисунку и найдем значение выражений.
5 • 2 = 10. Так как 2 ряда по 5 треугольников.
2 • 5 = 10. Так как 5 столбцов по 2 треугольника в каждом. Множители поменяли местами. Сравним произведения. Они одинаковые.
Составим равенства к этому рисунку.
На рисунке 2 ряда вазочек, по 3 вазочки в каждом. Получаем равенство.
3 • 2 = 6.
А можем рассуждать по-другому. 3 столбца вазочек, по 2 вазочки в столбце. Составляем равенство. 2 • 3 = 6. Множители поменяли местами. Произведения не изменились.
Решим задачу. В школьном саду 3 ряда кустов малины, по 6 кустов в каждом ряду. Сколько всего кустов малины в школьном саду?
Для решения выбираем действие умножение, так как неизвестно общее число кустов.
Решение задачи:
6 • 3 = 18 (к.)
Ответ: 18 кустов.
Сравним с решением другой задачи.
В школьной столовой 6 рядов столов, по 3 стола в каждом ряду. Сколько всего столов в школьной столовой?
Решение задачи:
3 • 6 = 18 (с.)
Ответ: 18 столов.
Для решения задач выбрали действие умножение. Множители поменяли местами. Произведения одинаковые.
Но в первой задаче большее число умножали на меньшее. А во второй задаче, наоборот, меньшее на большее. В математике удобнее большее число умножать на меньшее. Для этого используют переместительное свойство умножения.
Переместительное свойство умножения – полезное правило, не сложное для запоминания. Свойство позволяет выбирать более удобный способ умножения чисел.
Вывод:
Ответим на вопрос, поставленный в начале урока.
От перестановки множителей произведение не меняется. Это переместительное свойство умножения. В общем виде оно записывается так:
a • b = b • a.
Переместительное свойство умножения используется для удобства вычислений.
Выполним несколько тренировочных заданий.
1. Используя переместительное свойство умножения, найдите значение второго выражения в каждой паре, зная значение первого.
В каждой паре значения выражений будут одинаковыми, так как множители поменяли местами.
2. Подчеркните неверные равенства:
Неверными будут три равенства:
6 • 5 = 4 • 6;
7 • 2 = 2 + 7;
5 • 3 = 5 + 5.
Источник
Для операции умножения натуральных чисел ℕ характерен ряд результатов, которые справедливы для любых умножаемых натуральных чисел. Эти результаты называются свойствами. В данной статье мы сформулируем свойства умножения натуральных чисел, приведем их буквенные определения и примеры.
Переместительное свойство умножения натуральных чисел
Переместительное свойство часто называют также переместительным законом умножения. По аналогии с переместительным свойством для сложения чисел, оно формулируется так:
Переместительный закон умножения
От перемены мест множителей произведение не меняется.
В буквенном виде переместительное свойство записывается так: a·b=b·a
a и b – любые натуральные числа.
Возьмем любые два натурльных числа и наглядно покажем, что данное свойство справедливо. Вычислим произведение 2·6. По определению произведения, нужно число 2 повторить 6 раз. Получаем: 2·6=2+2+2+2+2+2=12. Теперь поменяем множители местами. 6·2=6+6=12. Очевидно, переместительный закон выполняется.
На рисунке ниже проиллюститруем переместительное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел
Второе название для сочетательного свойства умножения – ассоциативный закон, или ассоциативное свойство. Вот его формулировка.
Сочетательный закон умножения
Умножение числа a на произведение чисел b и c равносильно умножению произведения чисел a и b на число c.
Приведем формулировку в буквенном виде:
a·b·c=a·b·c
a, b, c – любые натуральные числа. Сочетательный закон работает для трех и более натуральных чисел.
Для наглядности приведем пример. Сначала вычислим значение 4·3·2.
4·3·2=4·6=4+4+4+4+4+4=24
Теперь переставим скобки и вычислим значение 4·3·2.
4·3·2=12·2=12+12=24
4·3·2=4·3·2
Как видим, теория совпадает с практикой, и свойство справедливо.
Сочетательное свойство умножения также можно проиллюстрировать с помощью рисунка.
Распределительное свойство относительно умножения
Без распределительного свойста не обойтись, когда в математическом выражении одновременно присутствуют операции умножения и сложения. Это свойство определяет связь между умножением и сложением натуральных чисел.
Распределительное свойство умножения относительно сложения
Умножения суммы чисел b и c на число a равносильно сумме произведений чисел a и b и a и c.
Запишем в форме буквенного выражения:
a·b+c=a·b+a·c
a, b, c – любые натуральные числа.
Теперь на наглядном примере покажем, как работает это свойство. Вычислим значение выражения 4·3+2.
4·3+2=4·3+4·2=12+8=20
С другой стороны 4·3+2=4·5=20. Справедливость распределительного свойства умножения относительно сложения показана наглядно.
Для лучшего понимания приведем рисунок, иллюстрирующий суть умножения числа на сумму чисел.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Распределительное свойство умножения относительно вычитания формулируется аналогично данному свойству относительно сложения, следует лишь учитывать знак операции.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания
Умножения разности чисел b и c на число a равносильно разности произведений чисел a и b и a и c.
Запишем в форме буквенного выражения:
a·b-c=a·b-a·c
a, b, c – любые натуральные числа.
В предыдущем примере заменим “плюс” на “минус” и запишем:
4·3-2=4·3-4·2=12-8=4
С другой стороны 4·3-2=4·1=4. Таким образом, справедливость свойства умножения натуральных чисел относительно вычитания показана наглядно.
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на натуральное число
Умножение единицы на любое натуральное число в результате дает данное число.
1·a=a
По определению операции умножения, произведение чисел 1 и a равно сумме, в котором слагаемое 1 повторяется a раз.
1·a=∑i=1a1
Умножение натурального числа a на единицу представляет собой сумму, состоящую из одого слагаемого a. Таким образом, переместительное свойство умножения остается справедливым:
1·a=a·1=a
Умножение нуля на натуральное число
Число 0 не входит в множество натуральных чисел. Тем не менее, есть смысл рассмотреть свойство умножения нуля на натуральное число. Данное свойство часто используется при умножении натуральных чисел столбиком.
Умножение нуля на натуральное число
Произведение числа 0 и любого натурального числа a равно числу 0.
0·a=0.
По определению, произведение 0·a равно сумме, в которой слагаемое 0 повторяется a раз. По свойствам сложения, такая сумма равна нулю.
В результате умножения единицы на нуль получается нуль. Произведение нуля на сколь угодно большое натуральное число также дает в результате нуль.
Напимер: 0·498=0; 0·9638854785885=0
Справедливо и обратное. Произведение числа на нуль также дает в результате нуль: a·0=0.
Источник
Одно из важных правил, которые изучаются в 6 классе, — переместительное свойство умножения. В начальной школе на уроках математики ученикам объясняют, что от перестановки слагаемых сумма не изменится.
Переместительный закон умножения
Действительно, неважно: если у на столе лежат 3 красных карандаша, а к ним добавят еще 2, на столе окажется 5 карандашей. Если бы на столе лежало 2 карандаша, и к ним положили еще 3, итог оказался бы тем же:
3 + 2 = 5;
2 + 3 = 5.
Это переместительное свойство сложения. Запомнить его не составляет труда.
Умножение – более сложное действие, однако вычисления можно упростить, если использовать переместительное свойство умножения:
Переместительное свойство умножения — от перестановки множителей произведение не изменится: 2 · 3 = 3 · 2.
Программа изучения математики в 5 классе рассматривает переместительный закон умножения в буквенном обозначении:
a · b = b · a.
Правило можно применить по отношению к любым числам и к любому количеству чисел:
a · b · c = b · a · c
Применение переместительного закона умножения на практике
Переместительное свойство умножения поможет выбирать для вычисления более удобный способ.
6 · 251 = ?
Записав пример столбиком, получим:
Такое вычисление делать долго, да и запись имеет некрасивый вид.
Если записать пример иначе: 6 · 251 = 251 · 6 – решать будет проще:
Быстро и просто. Любые примеры с большими числами записывать и решать их, используя переместительное свойство умножения, удобнее.
Объяснить закон можно просто: любой пример на умножение можно записать в виде сложения:
2 · 3 = 2 + 2 + 2
3 · 2 = 3 + 3.
Следовательно, переместительный закон сложения можно применить и на умножение, сделав и запись, и вычисление гораздо проще: вместо того, чтобы число 6 сложить друг с другом 251 раз, можно число 251 сложить с себе подобным 6 раз: 251 + 251 + 251 + 251 + 251 + 251 = 1506. Как не изменится в этом случае сумма, так неизменным будет и произведение: 6 · 251 = 251 · 6.
Сочетательный закон
Если число нужно умножить на произведение чисел, произвести вычисление можно различными способами:
- получить произведение в скобках, затем умножить оставшееся число на итог;
- раскрыть скобки, перемножить первые два числа, затем итог умножить на оставшееся.
Это сочетательный закон умножения:
a · (b · c) = (a · b) · c.
Пользоваться этим правилом удобно, если видно, что для простоты вычисления можно воспользоваться переместительным свойством умножения. На практике любое количество чисел можно переставлять, менять как угодно местами, чтобы считать было легче.
Важно! Применять переместительное и сочетательное свойства умножения можно для облегчения сложных вычислений.
Распределительный закон
На уроках математики в 6 классе изучают еще два правила, которые облегчают решение сложных примеров. Если необходимо умножить число на сумму чисел, необходимо раскрыть скобки:
a · (b + c) = a · b + a · c
Это – распределительный закон умножения относительно сложения.
Для задач на вычитание действует свой закон:
a · (b – c) = a · b – a · c
Распределительное свойство умножения относительно сложения или вычитания применять удобно как в случае наличия одинаковых множителей, который можно вынести за скобки, так и для упрощения выражения, если в задаче присутствуют 2 неизвестных:
2 · (3х + 4у) = 2 · 3х + 2 · 4у = 6х + 8у
5 · (2х – 3у) = 5 · 2х – 5 · 3у = 10х – 15у.
Распечатать памятку «Свойства умножения»
Все вышеперечисленные законы, позволяющие упростить вычисления, действуют для любого количества чисел и облегчают решение задач любой сложности. Их можно использовать как для целых, так и для дробных чисел. В этом случае распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания позволяет намного быстрее получить итог произведения натурального числа на смешанную дробь. Для этого нужно:
- целую часть умножить на натуральное число;
- дробную часть умножить на него же;
- сложить получившиеся числа и записать результат.
Правила умножения и деления
Изучение распределительного закона умножения, применение переместительного и сочетательного свойств в 6 классе позволит позднее, при изучении алгебры проводить более сложные вычисления. Основы, заложенные сейчас, и умение выносить за скобки общий множитель или перераспределять множители, позволит упрощать выражения, быстро решать сложные задачи с натуральными числами и дробями – как простыми, так и смешанными.
Источник
Переместительное свойство умножения очень похоже по своей сути на такое же свойство умножения. Тем не менее, часто ученики 5 класса, которые полностью овладели свойствами сложения, допускают ошибку в таких же по сложности законах умножения. Чтобы избежать этого разберемся подробнее в теме вопроса.
Что такое умножение?
Умножение это сокращенное сложение, базовые элементы которого принято знать наизусть. Под базовыми элементами понимается таблица умножения. Под упрощенным сложением имеется в виду то, что первый множитель показывает число, а второй сколько раз это число было сложено с самим собой.
В математике 3 ступени подобных упрощений. На первой стоит сложение, на второй умножение, а третьей возведение в степень. Возведение в степень это умножение числа на себя самого какое-то количество раз. Сколько раз нужно повторить умножение отражает показатель степени.
Закон или свойство?
Для того, чтобы не путаться, нужно разобраться, как правильно называть законы умножения. Законами или все же свойствами?
Проблема в том, что закон это непреложное правило, а свойство это некоторая особенность действия. И то, и другое верно для свойств умножения. Поэтому никакой разницы в названиях нет. Но принято говорить свойства сложения и законы умножения. Однако ошибкой не будет назвать свойства сложения законами сложения и наоборот.
Свойства умножения
- Распределительное. Распределительное свойство применяется только относительно сложения. Распределительное свойство гласит: если число умножается на сумму, то можно каждое из слагаемых умножить на это число, а результаты сложить.
- Сочетательное. Сочетательное свойство говорит о том, что при перемножении трех и более чисел, можно перемножить два первых числа, а результат использовать дальше в качестве множителя. То есть 3*4*5=12*5=60
- Переместительное. Переместительное свойство гласит, от перемены мест множителей произведение не меняется.
Распределительное свойство может применяться и относительно вычитания или деления. С помощью этого свойства раскрывают скобки в примерах при необходимости.
Переместительное свойство
Правильное использование определения переместительного свойства умножения может увеличить скорость счета. К сожалению, специальных правил группировки нет. Нужно полагаться только на собственный опыт и логику. Рассмотрим небольшой пример, чтобы показать применение свойства на практике:
((15*25*7*3:125)-3):12 – в этом примере упростить можно только правильно сгруппировав произведение в скобках для ускорения деления. Для этого представим число 15 в виде произведения 3*5
((15*25*7*3:125)-3):12=((5*3*25*7*3:125)-3):12 теперь перемножим 5 и 25, выполним деление произведения на число. Для этого можно только один из множителей разделить на это число, а потом результат использовать, как один из множителей.
(((5*25)*3*7*3:125)-3):12=((125*3*7*3:125)-3):12=(3*3*7-3):12=(9*7-3):12=(63-3):12=60:12=5
Без переместительного свойства не удалось бы правильно сгруппировать множители, а значит пришлось бы считать пример полностью, что отняло бы большое количество времени.
Что мы узнали?
Мы поговорили о том, что такое умножение. Решили, что понятия свойств и законов умножения одинаковы. Выделили свойства умножения и рассмотрели примеры переместительного свойства умножения. Сказали об особенностях этого свойства и его практическом значении.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.6. Всего получено оценок: 283.
Источник