Какое из перечисленных свойств относится к функции y xcosx

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №3. Свойства и график функции y=cos x

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Глоссарий по теме

Амплиту́да — максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и ,  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точку х0  называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают ymax.

Точку х0  называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают ymin.

Основная литература:

Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Напомним, что все тригонометрические функции являются периодическими функциями. Функции и повторяются через каждые 360° (или 2π радиан), поэтому 360° называется периодом этих функций (рис.1).

Рис. 1 – графики функций и .

Функции и повторяются через каждые 180° (или π радиан), поэтому 180° — это период для данных функций (рис. 2).

Рис. 2 – графики функций и .

В общем случае если и (где — константа), то период функции равен (или радиан). Следовательно, если , то период этой функции равен , если , то период этой функции равен .

Амплитудой называется максимальное значение синусоиды. Каждый из графиков 1-4 имеет амплитуду +1 (т.е. они колеблются между +1 и -1).

Рис. 3 – изображение амплитуды графиков и .

Однако, если , каждая из величин умножается на 4, таким образом, максимальная величина амплитуды — 4. Аналогично для амплитуда равна 5, а период — .

Рис. 4 – график функции .

Свойства функции :

1. Область определения – множество R всех действительных чисел.
2. Множество значений – отрезок [−1;1].
3. Функция  периодическая, Т=2π. 
4. Функция  – чётная
5. Функция  принимает:

1. Функция 

Интересно, что графиками тригонометрических функций –косинус и синус описываются многие процессы в нашей жизни. Например, работа сердца. Сделанная электрокардиограмма (ЭКГ) представляет собой график синусоиды, отражающую биоэлектрическую активность сердца. Или еще пример, электромагнитные волны к ним относятся: мобильные телефоны, беспроводная связь, радио, СВЧ-печи тоже распространяются по закону синуса или косинуса. Их существование было предсказано  английским физиком Дж.Максвеллом в 1864 году.

Актуализация знаний

Напомним, что множество значений функции y=cosx принадлежит отрезку [–1;1], определена данная функция на всей числовой прямой и, следовательно, функция ограничена и график её расположен в полосе между прямыми y=–1 и y=1.

Так как функция периодическая с периодом , то достаточно построить её график на каком-нибудь промежутке длиной , например на отрезке Тогда на промежутках, полученных сдвигами выбранного отрезка на , график будет таким же.

Функция является чётной. Поэтому её график симметричен относительно оси Оу. Для построения графика на отрезке достаточно построить для а затем симметрично отразить его относительно оси Оу (рис. 5)

Рис. 5 – график функции .

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .

Построим графики функций и (рис. 6)

Рис. 6 – графики функций и .

Графики пересекаются в трёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На отрезке от корнем уравнения является число . Из рисунка видно, что точки х1 и х2 симметричны относительно оси Оу, следовательно . А .

Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .

Из рисунка 6 видно, что график функции лежит ниже графика функции на промежутках и

Ответ: , .

Теория

Задания

Тесты

Методические материалы

Комментарии преподавателя

Функ­ция y=cost, её свой­ства, гра­фик и ти­по­вые за­да­чи

 1. Тема урока, введение

На про­шлом уроке мы по­стро­и­ли гра­фик функ­ции, осу­ще­ствив сдвиг кри­вой на влево, и рас­смот­ре­ли свой­ства функ­ции  Сей­час мы де­та­ли­зи­ру­ем эти свой­ства и при­ме­ним их к ре­ше­нию важ­ней­ших ти­по­вых задач.

 2. Поведение и особенности функции y=cost на промежутке [0; π]

Рас­смот­рим по­ве­де­ние функ­ции  и от­ме­тим важ­ней­шие точки на про­ме­жут­ке 

В ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти (рис. 1).

На чис­ло­вой окруж­но­сти (рис. 2).

Сфор­му­ли­ру­ем ос­нов­ные осо­бен­но­сти функ­ции  при 

1. Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет от  до 

2. Функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из от­рез­ка 

3. Каж­дое свое зна­че­ние функ­ция при­ни­ма­ет при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та (сле­ду­ет из мо­но­тон­но­сти функ­ции).

 3. Решение задач

За­да­ча 1. Найти пре­де­лы из­ме­не­ния функ­ции  на дан­ном от­рез­ке.

1) 

Рис. 3.

На за­дан­ном от­рез­ке функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет, зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние при­ни­ма­ет на пра­вом конце.

Ответ:

2) 

Рис. 4.

Функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет.

Ответ: 

3) 

Рис. 5.

На дан­ном про­ме­жут­ке функ­ция немо­но­тон­на.

Ответ: 

Мо­но­тон­ность функ­ции озна­ча­ет, что не толь­ко каж­до­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет един­ствен­ное зна­че­ние функ­ции, но и об­рат­ное – каж­дое зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при един­ствен­ном зна­че­нии ар­гу­мен­та.

На­при­мер:

Если  един­ствен­ное ре­ше­ние на про­ме­жут­ке   

Если 

Сколь­ко ре­ше­ний имеет урав­не­ние  на про­ме­жут­ке   Одно, также в силу мо­но­тон­но­сти.

За­да­ча 2. Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра  при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет хотя бы одно ре­ше­ние:

1) 

2) 

Ре­ше­ние:

1) По­стро­им гра­фик функ­ции  (рис. 6).

Урав­не­ние  имеет хотя бы одно ре­ше­ние при 

В дан­ном слу­чае мно­же­ство зна­че­ний па­ра­мет­ра сов­па­да­ет со мно­же­ством зна­че­ний функ­ции.

Ответ: 

2) Решим дру­гим спо­со­бом, ис­поль­зуя об­ласть зна­че­ний функ­ции 

Ответ: 

За­да­ча 3. Ре­шить урав­не­ние 

Ре­ше­ние:

По­стро­им в одних ко­ор­ди­нат­ных осях гра­фи­ки функ­ций  (рис. 7).

Гра­фи­ки имеют толь­ко одну общую точку 

Решим урав­не­ние еще одним спо­со­бом.

Ответ: 

За­да­ча 4. Найти число кор­ней урав­не­ния 

Ре­ше­ние (рис. 8).

На про­ме­жут­ке  функ­ция  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, функ­ция  мо­но­тон­но убы­ва­ет. Это зна­чит, что на дан­ном про­ме­жут­ке гра­фи­ки имеют толь­ко одну общую точку.

На про­ме­жут­ке  функ­ция  убы­ва­ет, функ­ция воз­рас­та­ет, зна­чит, и на этом про­ме­жут­ке гра­фи­ки также имеют толь­ко одну общую точку.

Ответ: Два корня.

 4. Вывод, заключение

Мы рас­смот­ре­ли и де­та­ли­зи­ро­ва­ли свой­ства функ­ции  и ис­поль­зо­ва­ли их при ре­ше­нии задач. В даль­ней­шем рас­смот­рен­ные свой­ства будут неод­но­крат­но ис­поль­зо­вать­ся.

ИСТОЧНИК

https://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funkcii/funktsiya-y-cos-t-eyo-svoystva-grafik-i-tipovye-zadachi

https://www.youtube.com/watch?v=RAib0ZZBTEg

https://www.youtube.com/watch?v=BTcC6Gw3T1U

https://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

https://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-2-trigonometricheskie-funktsii/11-funktsiya-ucos-x-ee-svojstva-i-grafik/13

https://www.yaklass.ru/p/algebra/10-klass/trigonometricheskie-funktcii-10781/svoistva-funktcii-y-cosx-i-ee-grafik-10783/re-25f9a2dd-12ec-4034-b283-f0a0973c4f52

https://rpp.nashaucheba.ru/pars_docs/refs/47/46657/img7.jpg

Презентация на тему: Функция y=cos x

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

№ слайда 2

№ слайда 3

№ слайда 4

№ слайда 5

№ слайда 6

№ слайда 7

№ слайда 8

№ слайда 9