Какое из перечисленных свойств относится к функции y x sinx
Тип урока: урок введения нового знания.
Педагогическая технология: проблемное обучение.
Формируемые результаты:
- Предметные: формировать умение строить график функции у = sin x, читать график и применять свойства при решении задач.
- Личностные: умение применять решение, применять независимость суждений.
- Метапредметные: формировать умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.
Планируемые результаты: обучающиеся научатся применять свойства функции у = sin x и читать график.
Основные понятия: синусоида, свойства функции у = sin x.
Оборудование: ПК, проектор, Microsoft PowerPoint, презентация «Функция y = sin x, её свойства и график», таблица «Тригонометр».
Ход урока
1. Организационный момент
2. Целеполагание
– «Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое.», писал Михаил Васильевич Остроградский (1801-1862, российский математик, механик). Как вы понимаете эти слова? (Слайд 1)
– Перед вами 4 графика. (Слайд 2)
– Как можно одним словом объединить эти графики? (функции)
– Опишите свойства графиков, представленных на слайде?
– Какие из предложенных графиков функций вам известны?
– Сформулируйте тему урока.
Тема урока: «Функция y = sin x, её свойства и график» (Слайд 3)
– Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже знаем, и чему должны или можем научиться? (учитель вместе с обучающимися формирует цели, записывает их на доске).
– Познакомимся с историей возникновения слова синус (Слайд 4)
Синус (история имени)
Синус (sin) — название тригонометрической функции, появившееся благодаря удивительной цепочке искажений во время переводов математических трактатов. Древние индийские математики называли функцию «полу-тетивой», а затем просто «тетивой» — «джива», так как при геометрическом построении изображение напоминало лук. Арабские математики при знакомстве с трудами индийских коллег не стали переводить слово «джива» на арабский, а просто записали его по буквам. В процессе адаптации, устного использования и пр. оно превратилось в арабское выражение «джайб», которое можно перевести как пазуха, складка, карман, впадина. Когда, в свою очередь, арабские математические трактаты попали к европейским математикам, те перевели джайб на латинский, благо под рукой как раз было изящное слово, обозначающее складку или пазуху на римской тоге — слово sinus. Родственную функцию назвали complementi sinus, дополнительный синус. Позже утвердилось современное сокращение: sin и cos.
3. Планирование работы
– Составим план работы (перечень свойств, которые будут исследоваться).
Обучающиеся записывают план исследования синуса в тетрадях.
План
- Область определения
- Область значения
- Нули функции
- Промежутки возрастания, убывания функции
- Промежутки знакопостоянства
- Четность функции
- Монотонность функции
- Наименьшее и наибольшее значение функции
– Какую функцию называют периодической?
– Что такое период?
– Какое число является главным периодом функции у = sin x?
4. Восприятие, осмысление, первичное закрепление
– Что происходит с ординатой точки при ее движении по первой четверти? (ордината увеличивается). Что происходит с ординатой точки при ее движении по второй четверти? (ордината постепенно уменьшается). Как это связано с монотонностью функции? (функция у = sin t возрастает на отрезке и убывает на отрезке ).
– Запишем функцию у = sin t в привычном для нас виде у = sin x (строить будем в привычной системе координат хОу) и составим таблицу значений этой функции.
Изучение нового материала (презентация, слайды 5-6).
Построение графика функции у = sin x и запись свойств функции в тетради. (Слайды 7–10)
1) D(y) =
2) E (y) =
3) функция ограничена и сверху, и снизу
4) унаиб = 1, унаим = -1
5) непрерывная функция
6) нечетная функция
7) возрастает на ; убывает на
– Стихотворение (отрывок)
И линия эта волною качается,
И синусом график ее называется,
И через период она повторяется,
В периоде трижды она обнуляется,
Она полпериода вверх поднимается,
Придет в единицу и вниз опускается,
И так вдоль абсциссы все время болтается.
В системе, которую создал Декарт.
5. Применение знаний и способов при решении задач
– Постройте график функции (самостоятельно с проверкой, слайды 11-14):
а) у = sin x + 2
б) у = sin x – 1
в) у = sin
г) у = sin
– Решите графически уравнение sin x = (проверка слайд 15).
6. Первичная систематизация знаний и способов деятельности, их перенос и применение в новых ситуациях
№ 21.5 (1), 21.9 (1)
7. Рефлексия
– Предлагаю оценить факт достижения цели урока: на все ли вопросы найдены ответы?
– Оцените свою работу на уроке. Закончите предложение. (Слайд 17)
Урок –
- заставил задуматься…
- навёл меня на размышления…
- Что нового вы узнали на уроке?
- Что вы считаете нужным запомнить?
- Над чем ещё надо поработать?
Домашняя работа
- п. 21 (учить свойства функции у = sin x)
- учебник № 21.6 (1)
- Построить график функции у = sin (x – )
– Спасибо за урок
Использованные материалы и ресурсы
- Мерзляк А.Г., и др. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) 10 кл. – М.: «Вентана-Граф», 2017.
- Мерзляк А.Г., и др. Дидактические материалы к учебнику Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень) – М.: «Вентана-Граф», 2017.
- https://matematikam.ru/calculate-online/grafik.php
Источник
Теория
| 1. | Свойства функции y = sinx и её график |
Задания
| 1. | Возрастание и убывание функции y = sinx Сложность: | 1 |
| 2. | Определение значений синусов некоторых углов Сложность: | 1 |
| 3. | Преобразование выражения sin t и определение его значения Сложность: | 1 |
| 4. | Сравнение чисел с использованием свойств функции y = sinx Сложность: | 1 |
| 5. | Принадлежность точек графику Сложность: | 1 |
| 6. | Построение графика функции y = sin x Сложность: | 1 |
| 7. | Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = sinx Сложность: | 1 |
| 8. | Область значений функции y = sinx Сложность: | 1 |
| 9. | Определение чётности функции Сложность: | 1 |
| 10. | Решение уравнения графически Сложность: | 1 |
| 11. | Определение наибольшего и наименьшего значений функции Сложность: | 2 |
| 12. | Построение графиков функций y = sin(x + a) + b Сложность: | 4 |
Тесты
| 1. | Тренировка по теме Функция y = sinx Сложность: лёгкое | 3 |
Методические материалы
| 1. | Технологическая карта |
Источник
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №4. Свойства и график функции .
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Глоссарий по теме
Синусоидой называется множество точек плоскости, которое в некоторой системе координат является графиком функции , где a≠0.
Число │a│ называется амплитудой.
Основная литература:
Колягин М.В. Ткачева Ю.М., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. М.: Просвещение, 2010.–336 с.
Дополнительная литература:
Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.
Открытые электронные ресурсы:
Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.fipi.ru/
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На прошлом уроке мы говорили о свойствах графика косинуса:
1) область определения функции – множество R всех действительных чисел;
2) Множество значений функции – отрезок [–1;1];
3) Функция косинуса периодическая, ;
4) Функция чётная;
5) Функция принимает:
;
6) Функция
Давайте сравним их со свойствами графика синуса, а для начала определим следующие моменты:
Свойства функции :
1) D(y) =R;
2) E (y) =[–1;1];
3) Период функции равен ;
4) Функция чётная/нечётная;
5) Функция принимает:
6) Функция
Изменяя амплитуду и значение аргумента функции синуса график ведет себя следующим образом (рис.1)
Рис. 1 – графики синуса
Сдвиг графика влево/вправо вдоль оси абсцисс
Если к аргументу функции добавляется постоянная, то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси Ох.
Правило:
1) чтобы построить график функции , нужно сдвинуть график вдоль оси Ох на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции , нужно график сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Актуализация знаний
1. На следующие утверждения нужно ответить верно/неверно.
1) Тригонометрическая функция определена на всей числовой прямой.
2) График нечетной функции можно построить с помощью преобразования симметрии относительно оси Оу.
3) График тригонометрической функции можно построить, используя одну главную полуволну.
Ответ: верно, неверно, верно.
2. Вспомним, что мы уже знаем о функции , ответив на вопросы:
1) Какие значения может принимать переменная х. Какова область определения этой функции?
2) В каком промежутке заключены значения выражения . Назови наибольшее и наименьшее значения функции .
3) Функция синуса чётная или нечётная?
Ответ:1) ????∈????; 2) [–1;1]; ????????????????=3, ????????????????=–3; 3) чётная;
Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:
Пример 1. Найдем все корни уравнения , принадлежащие отрезку .
Построим графики функций и (рис. 6)
Рис. 7 – графики функций и .
Графики пересекаются в четырёх точках, абсциссы которых являются корнями уравнения . На выбранном отрезке от корни уравнения симметричны: и . Из рисунка видно, что симметричность корней объясняется периодичностью функции: аналогично для
Ответ: ; .
Пример 2.Найти все решения неравенства , принадлежащие отрезку .
Из рисунка 7 видно, что график функции лежит выше графика функции на промежутках и и
Ответ: , ,
Источник
Технологическая карта:
Методические материалы
| Номер | Название | Описание |
|---|---|---|
| 1. | Технологическая карта |
Теория
Задания
| Номер | Название | Вид | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Возрастание и убывание функции y = sinx | 1 вид – рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Выясняется возрастание или убывание функции y = sinx на отрезке. |
| 2. | Определение значений синусов некоторых углов | 1 вид – рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Используя теорию, определяют значения синусов некоторых углов. Требуется прочитать график функции и, зная абсциссу, найти ординату. |
| 3. | Преобразование выражения sin t и определение его значения | 2 вид – интерпретация | лёгкое | 1 Б. | В ходе решения преобразуется выражение sin t так, чтобы t было меньше, чем 2Пи, но больше 0, и затем определяется его значение. |
| 4. | Сравнение чисел с использованием свойств функции y = sinx | 1 вид – рецептивный | среднее | 1 Б. | Для сравнения данных чисел используем свойство возрастания или убывания функции y = sinx. |
| 5. | Принадлежность точек графику | 2 вид – интерпретация | среднее | 1 Б. | Необходимо определить принадлежность точек графику, вычисляя синус некоторых углов и выполняя вычисления. |
| 6. | Построение графика функции y = sin x | 2 вид – интерпретация | среднее | 1 Б. | Построение графиков функций вида y = sinx+ b; y = – sinx + b; y = sin(x + a); y = k sinx. |
| 7. | Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции y = sinx | 3 вид – анализ | среднее | 1 Б. | Находится наибольшее и наименьшее значения функции y = sinx на определённом интервале. Для каждого случая предлагается рисунок. |
| 8. | Область значений функции y = sinx | 2 вид – интерпретация | среднее | 1 Б. | Находится область значений функции y = b + sin ax, находящейся под знаком квадратного корня. |
| 9. | Определение чётности функции | 3 вид – анализ | среднее | 1 Б. | В ходе решения функция исследуется на чётность с использованием определения чётной или нечётной функции. |
| 10. | Решение уравнения графически | 4 вид – творческий | сложное | 1 Б. | Предлагается решить уравнения графически. В одной плоскости нужно построить графики линейной функции и y = sinx. Графики могут пересекаться как в одной или в нескольких точках, так и не пересекаться. |
| 11. | Определение наибольшего и наименьшего значений функции | 4 вид – творческий | сложное | 2 Б. | Предлагается определить наибольшее и наименьшее значения функции, предварительно упростив данное выражение. В ходе решения используются формулы приведения и формулы двойного аргумента, которые можно дать перед решением. Задание можно предложить и в теме «Преобразование тригонометрических выражений». |
| 12. | Построение графиков функций y = sin(x + a) + b | 3 вид – анализ | сложное | 4 Б. | Строятся графики функций вида y = sin(x + a) + b. В ходе построения образуется вспомогательная система, в которой можно построить основной график y = sinx. При построении нужно указать перемещения основного графика вправо или влево по оси х, вверх или вниз по оси y. |
Тесты
| Номер | Название | Рекомендованное время: | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Тренировка по теме Функция y = sinx | 00:10:00 | лёгкое | 3 Б. | В заданиях определяется возрастание или убывание функции y = sinx на отрезке, преобразуются выражения, содержащие синус некоторых углов, и находятся их значения. |
Проверочные тесты (скрыты от учеников)
| Номер | Название | Рекомендованное время: | Сложность | Баллы | Описание |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Домашняя работа по теме Функция y = sinx | 00:15:00 | среднее | 3 Б. | Предлагаются задания, в которых надо определить по рисунку, график какой функции изображён, значение функции при конкретном значении аргумента, наибольшее и наименьшее значения функции. |
| 2. | Проверочная работа по теме Функция y = sinx, её свойства и график | 00:20:00 | среднее | 4 Б. | Предлагаются задания на сравнение синусов некоторых углов, вычисление значения выражения, содержащего синусы некоторых углов, решение уравнений графически, доказательство равенства. |
Источник