Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 6

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятие смежных и вертикальных углов
Свойства смежных и вертикальных углов
Отличие аксиомы от теоремы

Тезаурус

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Свойства смежных углов:

Сумма смежных углов равна 1800.
Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

Основная литература:

Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180о.

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180о.

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180о. Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 900, называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 1800 и ∠3+ ∠2= 1800. Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Ответ: ∠ВОК=____0

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 1800. По условию задачи ∠АОК= 110, то ∠ВОК+ ∠АОК= 1800

∠ВОК+ 110= 1800

∠ВОК= 1800– 110= 1690.

Ответ: ∠ВОК= 1690

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Варианты ответов:

1120
640
1160
680

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 320+ 320= 640. ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 1800–∠COD= 1800– 640=1160.

Ответ: 1160

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 1250, ∠BMC= 1150.

∠BМD=____0.

Выделите верный ответ из списка:

600; 300; 750; 900

Какими свойством обладают вертикальные углы в геометрии 7 класс

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 1800. Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 1800–∠AMD= 1800-–1250= 550. Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

∠BMD= ∠BMC–∠DMC= 1150– 550= 600.

Верный ответ: 600

Источник

Образовательная: формирование знаний о
вертикальных углах, умения самостоятельно
определять вертикальные углы в комбинациях
геометрических фигур, умения применять знания
при решении геометрических задач и способов
деятельности;

Развивающая: формирование умений
анализировать, устанавливать
причинно-следственные связи, развитие умения
сравнивать и находить различий и сходства у
смежных и вертикальных углов, развитие умение
обобщать и синтезировать знания о смежных и
вертикальных углах, развитие умения выдвигать
гипотезы и предположения, развитие
ассоциативного мышления, воображения;

Воспитательная: воспитание личностных
качеств, обеспечивающих успешность
исполнительской деятельности, воспитание
активности, увлеченности, целеустремленности,
наблюдательности, интуиции, сообразительности,
самостоятельности.

Приемы и методы ведения урока:
проблемная ситуация, диалоговое общение,
объяснение, эвристическая беседа, презентация.

Этап урок

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Планируемый результат

1.Организационный этап

Цель:
вовлечение учащихся в учебный процесс

Организует положительный настрой на
урок, вспоминает с учащимися способы
деятельности

Добрый день. Начинаем наш урок. С
каким настроением вы приступаете к работе?

– Прежде чем выяснить, чего мы не знаем, что
необходимо сделать?

Воспринимают информацию, реагируют на
вопросы учителя.

Учащиеся дают ответ с
помощью сигнальных карточек-смайликов

-Надо выяснить, чего мы не знаем и
самостоятельно найти выход из затруднения.

-Выяснить, что нам известно.

Включение учащихся в учебную
деятельность, формирование познавательных УУД

2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация
учебной деятельности учащихся

Цель:
активизация мотивационной деятельности

Информирует о новых знаниях, мотивирует
учебную деятельность:

– В какой большой теме мы с
вами сейчас работаем?

– Вспомните план, по которому идет изучение
любой темы?

– Что из перечисленного мы уже изучили?

Сформулируйте свойство смежных углов.

Воспринимают информацию,
обнаруживают первичное понимание:

– Углы

1. Определение

2. Свойства,

3. Сравнение

4. Действия.

Определение угла, смежные углы, дают
определения, вспоминают свойство смежных углов.

Развитие коммуникативных компетенций,
коммуникативных УУД

3.Актуализация знаний

Цель: подготовка
к усвоению новых знаний

Слайд 1

Слайд 2

Ребята, а что можно сказать об углах 4 и 2, 1 и 3, 5 и
7?

Учащиеся на основании определения
смежных углов находят пары смежных углов

Учащиеся предполагают, что они равны, что
стороны одного являются дополнительными
полупрямыми к сторонам другого, возможно среди
предполагаемых названий пар возникнет название
“вертикальные”

Осознание потребности к построению
нового способа действий.

4.Первичное усвоение новых знаний

Цель:
восприятие учащимися и первичное осознание
нового учебного материала

Организует первичное усвоение знаний
учащимися

Как они выглядят, какое название им
можно дать?

Тема сегодняшнего урока:

Слайд 3

Цель нашего урока: познакомиться с понятием
вертикальных углов, их свойством и научиться
решать задачи с применением этих свойств.

Два угла называются вертикальными, если
стороны одного являются дополнительными
полупрямыми сторон другого

Слайд 4

Что можно сказать о вертикальных углах, каким
свойством они обладают?

Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема:
Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Пусть 1 и 2 – данные вертикальные углы, СОD и
DOA. Отсюда, по теореме о сумме смежных углов
заключаем, что каждый из углов DOC и AOB дополняет
угол AOD до 180 градусов, т.е. 1 = 2. Что и
требовалось доказать.

Давайте найдем, где в учебнике рассказано о
вертикальных углах и их свойствах, откройте стр.
22 учебника, п.15. Найдите определение вертикальных
углов. Прочитайте. Найдите Теорему о
вертикальных углах, прочитайте.

Осмысливают, углубляют понимание
нового материала

Вертикальные углы

Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь

Учащиеся переносят рисунок в тетрадь, наносят
обозначения

Учащиеся выдвигают гипотезу, что вертикальные
углы равны

Учащиеся записывают краткую запись теоремы:
если 1 и 2 вертикальные, то 1 = 2

Учащиеся записывают доказательство.

Учащиеся работают с учебником, читают вслух
определение вертикальных углов и теорему о
вертикальных углах.

Усвоение нового понятия “вертикальные
углы”, и новых способов деятельности, развитие
регулятивной компетенции

5. Первичная проверка понимания

Цель:
становление правильности и осознанности
усвоения нового учебного материала; выявление
пробелов и неверных представлений и их коррекция

Организует проверку понимания на
примере нестандартной ситуации

А теперь,
ребята, найдем вертикальные углы в нестандартных
ситуациях, внимание на интерактивную доску:

Слайд 6

На основании чего можно сделать такой вывод?

Демонстрируют первичное понимание
полученных знаний:

Учащиеся определяют пары
вертикальных углов: 6 и 4,

3 и 5 и объясняют почему они
вертикальные.

DFM и BFA, DFB и MFA,

Усвоение понятия вертикальных углов и
их свойств, формирование критического мышления

6.Первичное закрепление

Цель:
выявление пробелов, неверных представлений и их
коррекция

Организует решением задач

А теперь
рассмотрим следующую задачу:

– Какие углы изображены на чертеже?

– Сколько пар вертикальных углов вы видите?

– Чтобы найти углы 1 и 2 какие свойства нужно
применить?

Приступим к решению:

DOA и AOB являются смежными, т.к. АО – общая, а DO и
OB – дополнительные полупрямые. Значит, по
свойству смежных углов:

DOA + AOB=1800, следовательно, ? AOB=1800- DOA;

AOB= 1800- 1200

AOB = 600. Мы
нашли величину угла 1. 1 и 2 – вертикальные, т.к.
стороны угла 1 ОС и OD являются дополнительными
полупрямыми к сторонам угла 2 АО и ОВ. По свойству
вертикальных углов ? = 2 = 600.

Ответ: 600; 600

Решим ещё одну задачу. Откройте учебник,
стр.26, задача №7.

Что дано в задаче?

Учитель делает чертеж на доске:

Какие углы при этом образуются?

Повторим свойства смежных и вертикальных
углов.

Решение задачи:

AOB= СOD, как вертикальные, значит, СOD=300.
AOB и ВОС – смежные углы.
Сумма смежных углов равна 180о, значит, ВОС= 180 – AOB. ВОС = 150о. ВОС и АОD – вертикальные, значит они равны. АОD = 150о.

Ответ: 300; 150о; 150о.

Закрепляют полученные знания:

Учащиеся
записывают условие задачи, делают чертёж,
наносят обозначения.

Учащиеся отвечают:

– вертикальные;

– 2 пары;

– свойства смежных углов, свойства вертикальных
углов, формулируют эти свойства;

К доске выходит 1 ученик и решает задачу
совместно с классом под руководством учителя.
Учащиеся записывают решение в тетрадь.

Учащиеся работают с учебником. Читают задачу
вслух: Один из углов, которые получаются при
пересечении двух прямых, равен 30 градусов. Чему
равны остальные углы?

Две пересекающиеся прямые.

Острые, тупые, вертикальные, смежные.

Учащиеся озвучивают свойства смежных и
вертикальных углов. Один из учащихся идет к доске
для решения задачи.

Применение свойств вертикальных углов
при решении задач, формирование способности к
обобщению, развитие умения работать с текстом

7.Информация о домашнем задании,
инструктаж по его выполнению

Цель: обеспечение
понимания цели, содержания и способов выполнения
домашнего задания

Закройте тетради, откройте дневники,
запишите домашнее задание:

Слайд 8

Откройте учебники, найдите номера домашнего
задания.

№9. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли сумма смежных углов быть равна 50о?
Каким свойством нужно воспользоваться в задаче?

№10. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в 4
раза больше другого? Каким свойством нужно
воспользоваться в задаче?

№11. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в на 50
градусов меньше другого?

Каким свойством нужно воспользоваться в
задаче?

Учащиеся закрывают тетради.

Открывают
дневники, записывают д/з.

Открывают учебники, стр.27

Учащиеся читают вслух условие: Сумма двух
углов, которые получаются при пересечении двух
прямых, равна 50о. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов,
образованных при пересечении двух прямых, в
четыре раза больше другого. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов,
образованных при пересечении двух прямых, на 50
градусов меньше другого. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Осмысление приемов и способов
деятельности

8.Рефлексия

Цель: выявление уровня
осознания содержания пройденного

– Выполнили вы сегодня условия учебной
деятельности?

– Какую цель ставили перед собой
на уроке?

– Смогли ли ее достичь?

– Выполнили ли основную задачу урока?

– Что более всего понравилось на уроке?

– Оцените свою деятельность на уроке с помощью
карточки самооценки .

Напиши, над чем тебе надо еще поработать дома и
на следующем уроке.

– Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке. (Оценка
происходит с помощью карточек–смайликов )

– Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на
уроке. Урок окончен.

Ученики отвечают на вопросы
фронтально.

Оценивают свою деятельность с
помощью карточки самооценки.

Пишут в тетради.

Учащиеся вывешивают карточки на доску

Получение учащимися информации о
реальных результатах.

Оценка собственной
деятельности, соотнесение цели и результатов
деятельности

Источник

Урок геометрии в 7-м классе по теме “Смежные и вертикальные углы”

Тип урока: Изучение нового материала.

Цель урока: Познакомить учащихся с понятиями смежных и вертикальных углов, рассмотреть их свойства.

Задачи:

обучающие: Формирование знаний о вертикальных и смежных углах, навыков построения этих углов и умения решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов.
развивающие: Развитие логического мышления, речи, памяти, внимания, умений анализировать, делать выводы.
воспитательные: Воспитание осознанного, заинтересованного отношения учащихся к предмету.

Формы работы учащихся: Фронтальная работа с классом, дифференцированная, самостоятельная работа, работа в парах.

Оборудование: проектор, экран, компьютер, компьютер для индивидуальной работы.

Этапы урока.

I. Организация деятельности.

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, сообщает тему, формулирует цели урока, создает эмоциональный настрой и включает всех в деятельность.

Ученики подготавливаются к уроку, настраиваются на урок.

II. Актуализация знаний.

Учитель демонстрирует текст самостоятельной работы на слайде №2 и даёт консультацию по её выполнению. Подготавливает учеников к восприятию нового.

Ученики выполняют самостоятельную работу в тетрадях, а два человека на откидных досках, затем взаимопроверка работ.

II.Изучение нового.

Учитель осуществляет показ презентации в режиме диалога(слайды № 3-9), обсуждая с классом, дополняет по ходу, объясняет новую тему:

понятие и построение смежных углов;
свойство смежных углов;
понятие вертикальных углов;
построение вертикальных углов;
доказательство свойства вертикальных углов.

Ученики слушают объяснения учителя, вступают с ним в диалог, активно следят за презентацией, конспектируя самое основное по теме в тетрадь.

III. Закрепление изученного материала

Учитель организует дифференцированную работу учащихся, следит за работой групп, даёт необходимую консультацию.

Участвует в работе остальных учащихся класса.

Две группы по два учащихся решают задачи по готовым чертежам.

Остальные учащиеся класса работают под руководством учителя:

а) устно-№59, 60 (по учебнику);

б) разбор решённой задачи (слайд 10)

в) решают задачу № 2 (слайд №11) самостоятельно, затем проверяют решение (самопроверка )

Задача №2

Условие

Один из двух смежных углов на 30o больше другого. Найдите эти углы.

Подсказка

Сумма смежных углов равна 180o.

Решение

Обозначим через x один из этих углов. Тогда

x + (x + 30o) = 180o.

Из этого уравнения находим, что x = 75o. Значит, второй угол равен

x + 30o = 105o.

Ответ

105o, 75o.

Учитель проверяет работу первых групп, демонстрирует задачи на готовых чертежах (слайды 12-13) и оценивает этих учащихся.

Учащиеся из первой группы рассказывают классу решения своих задач по готовым чертежам.

IV. Задание на дом

11, вопросы 17, 18, № 61 (б), 64 (б), 65 (б).

Дополнительная задача:

Найдите углы, образованные биссектрисами двух смежных углов и биссектрисами двух вертикальных углов.

V. Подведение итогов и выставление оценок

Ученикам предлагается ответить на вопросы:

Что нового вы узнали на данном уроке?
Сформулируйте определения и свойства смежных и вертикальных углов.
Приведите примеры смежных и вертикальных углов из окружающей обстановки.

Учитель выставляет оценки учащимся.

Использованные ресурсы:

https://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/03327670-b253-462c-af0f-b4a53789972d/%5BG79_01-05%5D_%5BTQ_S-01%5D.html
https://cor.edu.27.ru/catalog/res/081e5c80-35a1-7270-c2b0-3beb549a1616/?from=8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66&
https://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/7383a62a-0dac-11dc-8314-0800200c9a66/index.htm
https://cor.edu.27.ru/catalog/res/d56d2920-02d3-b095-e0c7-5c07ea6e4128/?from=8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66&
https://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/3a2a988e-b834-11db-a998-c6a2869daf17/problem_54762.html

Источник