Какими свойством обладают точки окружности

Окружностью
называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся от
данной точки на данном расстоянии. Данная точка называется центром окружности,
а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом
окружности.

Часть плоскости, ограниченная окружностью называется кругом.

Круговым сектором или просто сектором называется часть
круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с
центром круга.

Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей
ее хордой.

Основные термины

Касательная

Прямая, имеющая с только одну общую точку, называется касательной
к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой
и окружности.

Свойства касательной

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в
   точку касания.
2. Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны
   и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Хорда

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

Свойства хорд

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые
   ею дуги пополам. Верна и обратная теорема: если диаметр (радиус) делит
   пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.
2. Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
3. Если две хорды окружности, AB и CD пересекаются в точке
   M, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков
   другой хорды: AM•MB = CM•MD.

Свойства окружности

1. Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью
   одну общую точку (касательная); иметь с ней
   две общие точки (секущая).
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность,
   и притом только одну.
3. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Теорема о касательной и секущей

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная
и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению
секущей на ее внешнюю часть: MC2 = MA•MB.

Теорема о секущих

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие,
то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой
секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Углы
в окружности

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной
в ее центре.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту
окружность, называется вписанным углом.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей
называется дугой окружности. Мерой дуги может служить мера соответствующего
ей центрального угла.

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её
концы, является диаметром.

Свойства углов, связанных с окружностью

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального
   угла, либо дополняет половину этого угла до 180°.
2. Углы, вписанные в одну окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу,
   равны.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен
   90°.
4. Угол, образованный касательной к окружности и
   секущей, проведенной через точку касания, равен половине
   дуги, заключенной между его сторонами.

Длины и площади

1. Длина окружности C радиуса R вычисляется
   по формуле:

C = 2 R.

2. Площадь S круга радиуса R вычисляется
   по формуле:

S = R2.

3. Длина дуги окружности L радиуса R с центральным углом
   ,измеренным
   в радианах, вычисляется по формуле:

L = R .

4. Площадь S сектора радиуса R с центральным
   углом в
   радиан вычисляется по формуле:

S = R2
.

Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник

• центр вписанной окружности — точка пересечения
  биссектрис треугольника,
  ее радиус r вычисляется по формуле:

r = ,

где S — площадь треугольника, а —
полупериметр;

• центр описанной окружности — точка пересечения
  серединных перпендикуляров,
  ее радиус Rвычисляется по формуле:

R =
,

R = ;

здесь a, b, c — стороны треугольника,
— угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника;

• центр описанной около прямоугольного
  треугольника окружности лежит на середине гипотенузы;
• центр описанной и вписанной окружностей треугольника совпадают только
  в том случае, когда этот треугольник — правильный.

Окружность и четырехугольники

• около параллелограмма можно
  описать окружность тогда и только тогда, когда он является прямоугольником;
• около трапеции
  можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция
  — равнобедренная; центр
  окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции
  с серединным перпендикуляром
  к боковой стороне;
• в параллелограмм можно вписать
  окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Основные свойства окружности

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.

Формулы длины окружности и площади круга

Уравнение окружности

Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности – прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности – прямая, которая проходит через две точки окружности.

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности – отрезок, который соединяет две точки окружности.

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение. Центральный угол окружности – угол, вершиной которого есть центр окружности.

Определение. Угол вписанный в окружность – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Определение. Дуга окружности (◡) – часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.

Определение. Градусная мера дуги – угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

Определение. Сектор (◔) – часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения

§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Определение

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.

Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).

Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;

2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1

Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Доказательство

По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Прямая теорема

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN.

Обратная теорема

Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX.

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.

Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.

Определение

Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.

Определение

Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.

Решение. Пусть ∠CEO = α.

Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.

Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.

Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.

Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO.

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
5. Что называют окружностью?
6. Что называют радиусом окружности?
7. Что называют хордой окружности?
8. Что называют диаметром окружности?
9. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
10. Что называют кругом?
11. Принадлежит ли окружности её центр?
12. Принадлежит ли кругу его центр?
13. Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
14. Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?

Практические задания

476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;

2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;

3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.

477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?

478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.

Упражнения

480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?

481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.

482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.

483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC =  ∠CDB.

484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.

485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.

486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.

487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.

488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.

489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?

490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.

491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.

493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.

497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.

498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.

499.Отрезок AB — диаметр ?