Какими свойствами обладают высоты
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 14 апреля 2020;
проверки требуют 32 правки.
Высота в треугольниках различного типа
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону).
В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.
Свойства[править | править код]
Свойства ортоцентра[править | править код]
- Все 3 высоты треугольника пересекаются в 1 точке, называемой ортоцентром. Доказательства ниже.
- Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
- Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
- Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
- Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
- Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
- Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
- Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
- Если О — центр описанной окружности ΔABC, то ,
- Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
- Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
- Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
- Следствия теоремы Гамильтона:
- Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
- Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
- В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.
Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]
- Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
- Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
- У равностороннего треугольника все три высоты равны.
Свойства оснований высот треугольника[править | править код]
- Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
- Описанная около ортотреугольника окружность – окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
- Другая формулировка последнего свойства:
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
- Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
- Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.
Свойства середин высот треугольника[править | править код]
- Теорема Шлёмильха. В 1860 году Шлёмильх доказал теорему: три прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами его соответствующих высот, пересекаются в одной точке. В 1937 году советский математик С. И. Зетель показал, что эта теорема верна не только для высот, но и для любых других чевиан.
- Еще одна очевидная теорема. Середина высоты треугольника всегда лежит на пересекающей ее средней линии треугольника.
- Теорема Ригби. Если к любой стороне остроугольного треугольника провести высоту и касающуюся ее с другой стороны вневписанную окружность, то точка касания последней с этой стороной, середина упомянутой высоты, а также инцентр лежат на одной прямой.[1].
- Из теоремы Ригби следует, что 3 отрезка, соединяющих середину каждой из 3 высот треугольника с точкой касания вневписанной окружности, проведенной к той же стороне, что и высота, пересекаются в инцентре.
- Середины X и Y двух высот треугольника ABC, а также середина K стороны BC, из концов которой эти две высоты выходят, а также ортоцентр H лежат на одной окружности, на которой также лежит и пятая точка D – основание третьей высоты AD[2].
Другие свойства[править | править код]
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его внутренняя биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между внутренними медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Высота треугольника изогонально сопряжена диаметру (радиусу) описанной окружности, проведенному из той же самой вершины.
- В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
- В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.
Свойства минимальной из высот[править | править код]
Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
- Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
- Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
- При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
- Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.
Соотношения[править | править код]
где — основание, — боковая сторона.
Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]
Если высота в прямоугольном треугольнике длиной , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной на отрезки и , соответствующие катетам и , то верны следующие равенства:
Теорема о проекциях[править | править код]
См. с. 51, ф. (1.11-4)[3].
Теорема о проекциях: . Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины , делит противоположную ей сторону на две части и , считая от вершины к .
Мнемоническое стихотворение[править | править код]
Высота похожа на кота,
Который выгнул спину
И под прямым углом
Соединил вершину
И сторону хвостом.[4]
История[править | править код]
- Утверждение: «Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке», называемой теперь ортоцентром, в «Началах» Евклида отсутствует. Часть историков приписывает это утверждение Архимеду и называют его теоремой Архимеда[5]. Ортоцентр впервые в греческой математике использован в «Книге лемм» Архимеда, хотя явного доказательства существования ортоцентра Архимед не привёл.
- В косвенной форме и в явном виде это утверждение («Все 3 высоты треугольника пересекаются в одной точке») встречается у Прокла (410-485) – комментатора Евклида[6].
- Тем не менее до середины девятнадцатого века, ортоцентр нередко называли архимедовой точкой[7].
- Другие историки математики считают автором первого доказательства Уильяма Чеппла (William Chapple (surveyor) (англ.)русск.) (Miscellanea Curiosa Mathematica, 1749 год)[8].
- Сам термин ортоцентр впервые был использован У. Х. Безантом (W. H. Besant (англ.)русск.) в работе “Конические сечения, исследованные геометрически (1869)” ([9]) [10].
Вариации по теме. Высоты в четырёхугольнике[править | править код]
Теорема[11]. Пусть — вписанный четырёхугольник, — основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.
Это утверждение — следствие леммы о шестой окружности.
Две составные части высоты: предвысота и поствысота [12][править | править код]
Три чевианы, проходящие через общую точку
- На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 высоты: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 высот разбивает каждую высоту на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем довысотой или предвысотой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем поствысотой.
- Эти 2 термина введены по аналогии с операторами цикла с учетом их изображения на блок-схемах в информатике. Там есть понятия цикла соответственно с пред- и пост-условием в зависимости от того, стоит ли это условие перед или после тела цикла. У нас в роли тела цикла выступает точка O пересечения высот, а в роли условия – первый или второй конец отрезка, вводимого, как понятие для одной из двух частей высоты.
- С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии.
Например, в любом треугольнике (в остро-, прямо-, и в тупоугольном) 3 произведения пред- и поствысоты совпадают [13]. Для остро-и прямоугольного треугольников это утверждение легко доказываемое. Оно верно и для любого тупоугольного треугольника, что удивительно, поскольку в таком треугольнике 2 из 3 высот даже не лежат внутри самого треугольника.
- Замечание. На этом рис. справа в треугольнике ABC чевианы не являются высотами. На следующем рис. справа в треугольнике ABC три высоты:
Высоты в треугольнике ABC
Примечания[править | править код]
- ↑ Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 30, Figure 34, §3. An Unlikely Collinearity.
- ↑ Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390. p. 33, figure 40, §Exercise 3.2
- ↑ Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
- ↑ Сафронова Вера Николаевна,. Урок геометрии в 7-м классе по теме: “Медиана, биссектриса, высота”. Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Дата обращения 19 июля 2017.
- ↑ Ефремов Д. Новая геометрия треугольника. Одесса, 1902. С. 9, п. 16. Высоты треугольника. Теорема Архимеда.
- ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §175.
- ↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometry: The Line and the Circle. Дата обращения 10 апреля 2020.
- ↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes, <https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml>. Проверено 17 ноября 2019.
- ↑ Conic Sections Treated Geometrically, 1869. Ссылка: 1895: Conic sections treated geometrically from Cornell University Historical Math Monographs.
- ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 298, §176
- ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5.
- ↑ Стариков В.Н. 10-е исследование по геометрии (§ До- (пред-)- и пост-чевианы). Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ “Наука и образование”. 2020. № 1. 7 с.// https://opusmgau.ru/index.php/see/article/view/1604
- ↑ Nathan Altshiller-Court. “College Geometry. An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle”. Second Edition. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. P. 94, §177. Theorem.
Ссылки[править | править код]
- Справочник: Треугольники
См. также[править | править код]
- Ортоцентр
Источник
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .
Рассмотрим треугольник .
,
, тогда
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: .
2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .
Тогда
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
Ответ: .
3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .
Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .
В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :
.
Ответ: .
4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .
Рассмотрим треугольник .
, тогда .
Из треугольника получим, что .
Тогда .
Ответ: .
5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Найдем угол . Он равен .
Тогда .
Из треугольника найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник .
, . Значит
Ответ: .
6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».
Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.
Правильный ответ: .
Источник
Высота треугольника. Свойство высоты прямоугольного треугольника
Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).
Рис.1
На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.
Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, является средним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).
Рис.2
Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям
В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Следовательно,
Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.
Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Расположение высот у треугольников различных типов
| Остроугольный треугольник |
Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника. |
| Прямоугольный треугольник |
Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника |
| Тупоугольный треугольник |
Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника |
Ортоцентр треугольника
Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).
Рис.3
Обозначим точки пересечения этих прямых символами A1, B1 и C1, как показано на рисунке 3.
В силу параллельности прямых AC и C1A1, а также BC и C1B1 четырёхугольники AC1BC и ABA1C – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства
C1B = AC = BA1.
Следовательно, точка B является серединой стороны C1A1.
В силу параллельности прямых BC и C1B1, а также AB и B1A1 четырёхугольники AC1BC и ABCB1 – параллелограммы,параллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства
C1A = BC = A1B1.
Следовательно, точка A является серединой стороны C1B1.
В силу параллельности прямых AB и B1A1, а также AC и C1A1 четырёхугольники ABA1C и ABCB1 – параллелограммыпараллелограммы, откуда вытекают равенствавытекают равенствавытекают равенства
A1C = AB = B1C.
Следовательно, точка C является серединой стороны B1A1.
Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника A1B1C1 (рис. 4),
Рис.4
и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.
Теорема 1 доказана.
Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.
У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.
Расположение ортоцентров у треугольников различных типов
| Фигура | Рисунок | Описание |
| Остроугольный треугольник |  | Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. |
| Прямоугольный треугольник |  | Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла |
| Тупоугольный треугольник |
| Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. |
Ортоцентрический треугольник
Решим следующую задачу.
Задача. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE (рис.5). Доказать, что треугольник DCE подобен треугольнику ABC.
Рис.5
Решение. Рассмотрим треугольники ADC и BEC. Эти треугольники подобны в силу признака подобия прямоугольных треугольников с равными острыми углами (угол C общий). Следовательно, справедливо равенство
Это равенство, а также наличие общего угла C позволяют на основании признака подобия треугольников заключить, что и треугольники DCE и ABC подобны. Решение задачи завершено.
Из подобия треугольников ABC и EDC (рис.5) вытекает важное следствие.
Следствие 1.
Определение 3. Ортоцентрическим треугольником (ортотреугольником) называют треугольник, вершинами которого служат основания высот исходного треугольника (рис 6).
Рис.6
Из определения 3 и следствия 1 вытекает следствие 2.
Следствие 2. Пусть FDE – ортоцентрический треугольник с вершинами в основаниях высот остроугольного треугольника ABC (рис 7).
Рис.7
Тогда справедливы равенства
Из следствия 2 вытекает теорема 2.
Теорема 2. Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортоцентрического треугольника (рис.7).
Доказательство. Воспользовавшись следствием 2, получаем:
что и требовалось доказать.
Задача Фаньяно
Задача Фаньяно. Рассматриваются всевозможные треугольники DEF, вершины D, E и F которых лежат на сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC соответственно. Доказать, что из всех треугольников DEF наименьшим периметром обладает ортоцентрический треугольник треугольника ABC.
Решение. Пусть DEF – один из рассматриваемых треугольников. Обозначим символом D1 точку, симметричную точке D относительно прямой AC, и обозначим символом D2 точку, симметричную точке D относительно прямой AB (рис.8).
Рис.8
Поскольку отрезок прямой – кратчайшее расстояние между двумя точками, то периметр треугольника DEF оказывается не меньшим, чем длина отрезка D1D2. Отсюда вытекает, что при фиксированной точке D наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, вершины F и E которого являются точками пересечения прямой D1D2 с прямыми AB и AC соответственно. Периметр этого треугольника равен длине отрезка D1D2 (рис.9).
Рис.9
Заметим также, что выполнено равенство
AD = AD1 = AD2.
Кроме того, выполнено равенство
Поэтому
Отсюда вытекает, что длина отрезка D1D2 будет наименьшей тогда, когда длина отрезка AD будет наименьшей, т.е. в том случае, когда отрезок AD является высотой треугольника ABC. Другими словами, наименьшим периметром обладает такой треугольник DEF, у которого вершина D является основанием высоты треугольника ABC, проведённой из вершины A, а вершины E и F построены по описанной выше схеме. Таким образом, среди всевозможных треугольников DEF треугольник с наименьшим периметром является единственным.
Если обозначить длину высоты, проведённой из вершины A, длину стороны AB и радиус описанной около треугольника ABC окружности буквами h, c и R соответственно, то, воспользовавшись теоремой синусов, получим:
Следовательно, наименьший периметр рассматриваемых треугольников DEF равен
Теперь докажем, что ортоцентрический треугольник и является треугольником с наименьшим периметром. Для этого воспользуемся следующей леммой.
Лемма. Пусть DEF – ортоцентрический треугольник треугольника ABC (рис.10).
Рис.10
В этом случае отрезок D1D2 проходит через точки F и E.
Доказательство. Заметим, что в силу следствия 2 выполняются равенства:
Кроме того, в силу равенства
треугольников DFK и KFD2, а также в силу равенства треугольников DEL и LED1 выполняются равенства:
Следовательно,
откуда вытекает, что углы AEF и D1EL , а также AFE и D2FK являются вертикальными углами. Это означает, что точки D1, F, E, D2 лежат на одной прямой. Лемма доказана.
Доказательство леммы и завершает решение задачи Фаньяно.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник