Какими свойствами обладают все величины

Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

Система счисления(СС) – это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.CС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС.
Позиционная система счисления – если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.
Примеры: шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления.
Непозиционная система счисления – каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.
Пример: Римская система счисления: I – 1, V – 5, Х – 10 , L – 50 , C – 100, D – 500, M – 1000.

3.Что называется десятичной записью числа?
Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде:
Коротко:
Пример: 3745 = 3*103 + 7*102 + 4*101 + 5
Если, то числа 1, 10, 102 …., 10n называются разрядными единицами (первого, второго , … разряда), причем 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего (высшего) разряда.
Три первых разряда – I класс – единиц (единицы, десятки, сотни);
Три следующих разряда – II класс – тысяч (единицы, десятки, сотни);
III класс – миллионов (единицы, десятки, сотни);
Системой счисления называется язык для записи, наименования и выполнения действий над числами. Позиционная система счисления — система, в которой значение каждого знака зависит от его позиции в записи числа. П: 8665- 5 в 1разряде обозначает 5 единиц, 6 во 2 разряде-число 60, цифра 6 в 3 разряде- 600, 8 в 4 разряде-8000,т.е. 8665=8000+600+60+5. Таким образом, одна и та же цифра может обозначать разные числа в зависимости от занимаемой позиции в записи числа. Позиционные системы хар-ся основаниемсистемы счисления,т.е.числом единиц, образующих одну единицу старшего разряда. Основанием системы может быть любое число р 2. Если р=2- двоичная, используют две цифры:0 и 1. П: 101112= 1 24+1∙22+1∙2+1. Если р=8- восьмеричная, числа от 0 до 7, 543528. Первой системой была шестидесятиричной. Непозиционной системой счисления называется система, в которой значение знака (цифры) не зависит от позиции этого знака в записи числа (древнеримская- I(1), V(5), X(10), L(50), C(100), D(500), M(1000). При чтении чисел в этой системе пользуются правилами: если знак меньшего числа записан после знака большего числа, то, чтобы прочитать число, достаточно сложить значения символов- CCLIII- 100+100+50+1+1+1=253. Если же знак меньшего числа записан перед знаком большего числа,то, чтобы прочитать число, достаточно от большего числа вычесть значение меньшего числа- CDLIV- 454=(500-100)+ 50+ (5-1); древнегреческая.) В десятичной системе для записи используют 10 цифр: 0,1,2,3,…, 8,9. Число х можно записать в позиционной форме: х=апап-1…а2а1а0. Любое нат.число х можно представить в виде: х=ап∙10п+ап-1∙10п-1+ …+а2 ∙102+а1∙101+а0, где коэффициенты ап, ап-1, …, а2, а1,а0 принимают значения 0,1,2,3, 4,5,6, 7,8,9 и ап 0. Представление числа в виде суммы степеней основания системы счисления называют систематической записью числа. П: 2545= 2∙103+5∙102+4∙10+5. Записью числа х в системе счисления с основанием р называется представление его в виде: х=ап∙рп+ап-1∙рп-1+…+а2 ∙р2+ а1 ∙р1+а0, где ап, ап-1, …, а2, а1, ао. принимают значения 0, 1, 2, …, р-1, причём ап 0. При чтении чисел в позиционных системах, отличных от десятичной, называют каждую цифру числа слева направо. П: 254226=2∙64+5∙63+ 4∙62+2∙6+2. Число 254226 читают так: два, пять,четыре, два, два в шестеричной системе счисления. Переход от записи числа х в системе с основанием р к десятичной записи числа: нужно записать данное число х в виде суммы степеней основания системы счисления, а затем выполнить все указанные действия (возведение в степень, умножение и сложение) по правилам, принятым в десятичной системе счисления. П: перевести 321015 в десятичную систему счисления: 321015=3∙54+2 ∙53+1∙52+0∙5+1= 3∙625+2∙125+ 25+1=2151. Переход от десятичной записи числа х к записи числа в системе с основанием р: нужно число х разделить с остатком на число р. Остаток от деления даст последнюю цифру р-ичной записи числа х. Полученное частное снова разделить на р. Новый остаток даст предпоследнюю цифру искомого числа. Второе частное разделить на р и т.д., пока не получим частное, равное 0. Последовательные остатки, начиная с последнего, будут разрядными цифрами искомого числа. П: 2151 в пятеричную систему. 2151:5=430 (ост.1); 430:5=86 (ост.0); 86:5=17 (ост.1); 17:5=3 (ост.2); 3:5=0(ост.3). 2151=321015.
 
Тема : Величины и их измерение
Величины представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.
Изучение в курсе математики величин и их измерений имеет большое значение. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами являются основой для дальнейшего изучения математики.
Цель:
Дать понятие величины, ее измерения. Познакомить с историей развития системы единиц величин. Обобщить знания о величинах
План:
1. Понятие величины, их свойства.
2. Понятие измерения величины.
3. Из истории развития системы единиц величин.
4. Международная система единиц.
5. Величины, с которыми знакомятся дошкольники, и их характеристики. (Рязанова Л, Ткачева Н)
6. За эталоны в системе СИ взяты следующие величины
7. Энциклопедии чудес, загадок и тайн
8. Это интересно

Понятие величины, их свойства

Величина – одно из основных математических понятий, возникшее в древности и подвергшееся в процессе длительного развития ряду обобщений.

Первоначальное представление о величине связано с созданием чувственной основы, формированием представлений о размерах предметов: показать и назвать длину, ширину, высоту.

Величины, характеризующиеся только числовым значением, называют скалярными(длина, масса, время, объем, площадь и др.). Кроме скалярных величин в математике рассматривают еще векторные величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением (сила, ускорение, напряженность электрического поля и др.).

Скалярные величины могут быть однороднымиили разнородными.Однородные величины выражают одно и то же свойство объектов некоторого множества. Разнородные величины выражают различные свойства объектов (длина и площадь)

Свойства скалярных величин:

1. Любые две величины одного рода сравнимы либо они равны, либо одна из них меньше (больше) другой: 4т 5ц = 4т 500кг ; 4т 500кг > 4т 50кг, т. к. 500кг > 50кг, значит4т 5ц > 4т 50кг;

2. Величины одного рода можно складывать, в результате получится величина того же рода:

2км 921м+17км 387м ; 2км 921м = 2921м, 17км 387м = 17387м, 17387м + 2921м = 20308м; значит 2км 921м + 17км 387м = 20км 308м

3. Величину можно умножать на действительное число, в результате получится величина того же рода:

12м 24см × 9; 12м 24м=1224см, 1224см×9=110м16см, значит 12м 24см × 9=110м 16см;

4. Величины одного рода можно вычитать, в результате получится величина того же рода:

4кг 283г – 2кг 605г ; 4кг 283 г= 4283г, 2кг 605г = 2605г , 4283г – 2605г = 1678г, значит4кг 283г – 2кг605г = 1кг 678г;

5.Величины одного рода можно делить, в результате получится действительное число:8ч 25мин :5, 8ч 25мин = 8×60 мин + 25мин = 480мин + 25мин = 505мин, 505 мин :5 = 101мин, 101мин = 1ч 41мин, значит 8ч2 5мин :5 = 1ч 41мин.

Величина является свойством предмета, воспринимаемым разными анализаторами: зрительным, тактильным и двигательным. При этом чаще всего величина воспринимается одновременно несколькими анализаторами: зрительно-двигательным, тактильно-двигательным и т. д.

Восприятие величины зависит от: расстояния, с которого предмет воспринимается; величины предмета, с которым он сравнивается; расположения его в пространстве

Основные свойства величины:

Сравнимость – определение величины возможно только на основе сравнения (непосредственно или сопоставляя с неким образом).

Относительность – характеристика величины относительна и зависит от выбранных для сравнения объектов один и тот же предмет может быть определен нами как больший или меньший в зависимости от того, с каким по размерам предметом он сравнивается. Например, зайчик меньше медведя, но больше мышки.

Изменчивость – изменчивость величин характеризуется тем, что их можно складывать, вычитать, умножать на число.

Измеряемость – измерение дает возможность характеризовать величину к сравнению чисел.

Понятие измерения величины

Потребность в измерении всякого рода величин, так же как потребность в счете предметов, возникла в практической деятельности человека на заре человеческой цивилизации. Так же как для определения численности множеств, люди сравнивали различные множества, различные однородные величины, определяя прежде всего, какая из сравниваемых величин больше, как меньше. Эти сравнения еще не были измерениями. В дальнейшем процедура сравнения величин была усовершенствована. Одна какая-нибудь величина принималась за эталон, а другие величины того же рода сравнивались с эталоном. Когда же люди овладели знаниями о числах и их свойствах, величине – эталону приписывалось число 1 и этот эталон стал называться единицей измерения. Цель измерения стала более определенной – оценить. Сколько единиц содержится в измеряемой величине. результат измерения стал выражаться числом.

Сущность измерения состоит в количественном дроблении измеряемых объектов и установлении величины данного объекта по отношению к принятой мере. Посредством операции измерения устанавливается численное отношение объекта между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения, масштабом или эталоном.

Измерение включает в себя две логические операции:

первая – это процесс разделения, который позволяет понять, что целое можно раздробить на части;

вторая – это операция замещения, состоящая в соединения отдельных частей (представленных числом мерок).

Деятельность измерения довольно сложна. Она требует определенных знаний, специфических умений, знания общепринятой системы мер, применения измерительных приборов.

· измерение дает точную количественную характеристику величине;

· для измерения необходимо выбирать адекватную мерку;

· число мерок зависит от измеряемой величины (чем больше величина, тем больше ее численное значение и наоборот);

· результат измерения зависит от выбранной мерки (чем больше мерка, тем меньше численное значение и наоборот);

· для сравнения величин необходимо их измерять одинаковыми мерками.