Какими свойствами обладают точки окружности
Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Определение. Единичная окружность – окружность, радиус которой равна единице.
Определение. Круг – часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R – расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Определение. Диаметр окружности D – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
D = 2r
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через диаметр:
L = πD
2. Формула длины окружности через радиус:
L = 2πr
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
S = πr2
2. Формула площади круга через диаметр:
S = πD24
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
r2 = x2 + y2
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности – прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
AB = AC
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
∠ОAС = ∠OAB
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности – прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
AQ ∙ BQ = CQ2
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности – отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2r sin α2
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
AB = 2r sin α
Основные свойства хорд
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
дуги ◡ AB = ◡ CD
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
◡ AD = ◡ BC
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
если OD ┴ AB, то
AC = BC
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
ON = OK
6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.
если CD > AB, то
ON < OK
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности – угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу – равны.
2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
β = α2
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
α + β = 180°
Определение. Дуга окружности (◡) – часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги – угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
l = πr180°∙ α
Определение. Полуокружность – дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг (◓) – часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор (◔) – часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = πr2360°∙ α
Определение. Сегмент – часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.
Определение. Концентрические окружности – окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Определение. Кольцо – часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.
Источник
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения
В этой главе вы познакомитесь со свойствами окружности. Вы узнаете, как, отказавшись от привычных инструментов — угольника и транспортира, используя лишь циркуль и линейку без делений, выполнить многие построения.
§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг
Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.
Определение
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.
Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.
Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.
Рис. 273 | Рис. 274 | Рис. 275 |
|
|
|
Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).
Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:
1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Теорема 19.1
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Доказательство
По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру. 
Теорема 19.2
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.
Прямая теорема
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рис. 276 |
|
Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN. 
Обратная теорема
Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX. 
Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.
Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.
Определение
Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.
Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.
Рис. 277 | Рис. 278 |
|
|
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.
Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.
Определение
Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.
Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.
Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.
Решение. Пусть ∠CEO = α.
Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.
Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.
Рис. 279 | Рис. 280 |
|
|
Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.
Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO. 
- Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
- Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
- Что называют окружностью?
- Что называют радиусом окружности?
- Что называют хордой окружности?
- Что называют диаметром окружности?
- Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
- Что называют кругом?
- Принадлежит ли окружности её центр?
- Принадлежит ли кругу его центр?
- Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
- Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
Практические задания
476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:
1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;
2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;
3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.
477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?
478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?
479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.
Упражнения
480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?
481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.
482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.
483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.
484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.
485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.
486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.
Рис. 281 | Рис. 282 | Рис. 283 | Рис. 284 |
|
|
|
|
487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.
488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.
489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?
490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.
491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.
Рис. 285 | Рис. 286 |
|
|
493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.
494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.
496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.
497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.
498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.
499.Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.
500.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > BX.
501.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > AB.
Упражнения для повторения
502.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.
503.Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.
504.На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK ‖ BC.
505.В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
506.На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.
Источник
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности (d=2R).
OA – радиус, DE – хорда, BC – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны (AC=BC).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда AB стягивает две дуги: ∪AMB и ∪ALB.
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если AB=CD, то ∪AB=∪CD
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠AOB – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪AB=∠AOB=α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360°.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ACB – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ACB=∪AB2=α2∪AB=2⋅∠ACB=α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠MAN=∠MBN=∠MCN=∪MN2=α2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90°.
MN – диаметр.
∠MAN=∠MBN=∪MN2=180°2=90°
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α.
Градусная мера дуги ∪AB равна градусной мере дуги ∪CD и равна α.
∪AB=∪CD=α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l=2πR
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
lα=πR180∘⋅α
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S=πR2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: Sα=πR2360°⋅α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S=πR2360°⋅α−12R2sinα
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Источник