Какими свойствами обладают точки
Глава 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства
В этой главе рассматриваются знакомые вам из курса математики геометрические фигуры: точки, прямые, отрезки, лучи и углы.
Вы узнаете больше о свойствах этих фигур. Некоторые из этих свойств научитесь доказывать. Слова определение, теорема, аксиома станут для вас привычными, понятными и часто употребляемыми.
§ 1. Точки и прямые
Точка — самая простая геометрическая фигура. Это единственная фигура, которую нельзя разбить на части. Например, каждая из фигур, изображённых на рисунке 11, разбита на части. И даже о фигуре, изображённой на рисунке 12, состоящей из двух точек, можно сказать, что она состоит из двух частей: точки A и точки B.
На рисунке 13 изображены прямая a и две точки A и B. Говорят, что точка A принадлежит прямой a, или точка A лежит на прямой a, или прямая a проходит через точку A и, соответственно, точка B не принадлежит прямой a, или точка B не лежит на прямой a, или прямая a не проходит через точку B.
Прямая — это геометрическая фигура, обладающая определёнными свойствами.
Основное свойство прямой
Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Это утверждение называют аксиомой (что такое аксиома, вы узнаете в § 6).
Рис. 14 |
|
Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две прямые» и т. д., будем иметь в виду, что это разные точки и разные прямые. Случай их совпадения будем оговаривать особо.
Почему это свойство прямой — основное?
Через точки A и B можно провести много различных линий (рис. 14). Прямая же задаётся этими точками однозначно. В этом и состоит суть основного свойства прямой.
Это свойство позволяет обозначать прямую, называя две любые её точки. Так, прямую, проведённую через точки M и N, называют «прямая MN» (или «прямая NM»).
Если хотят разъяснить смысл какого-либо слова (термина), то используют определения. Например:
1)часами называют прибор для измерения времени;
2)геометрия — это раздел математики, изучающий свойства фигур.
Определения есть и в геометрии.
Определение
Две прямые, имеющие общую точку, называют пересекающимися.
Рис. 15 |
|
На рисунке 15 изображены прямые a и b, пересекающиеся в точке O.
Часто справедливость (истинность) какого-либо факта приходится устанавливать с помощью логических рассуждений.
Рассмотрим такую задачу. Известно, что все жители Геометрической улицы — математики. Женя живёт по адресу: ул. Геометрическая, 5. Является ли Женя математиком?
Из условия задачи следует, что Женя живёт на Геометрической улице. А поскольку все жители этой улицы математики, то Женя — математик.
Приведённые логические рассуждения называют доказательством того факта, что Женя — математик.
В математике утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства, называют теоремой.
Теорема 1.1
Любые две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку.
Рис. 16 |
|
Доказательство
Пусть пересекающиеся прямые a и b, помимо общей точки A, имеют ещё одну общую точку B (рис. 16). Тогда через две точки A и B проходят две прямые. А это противоречит основному свойству прямой. Следовательно, наше предположение о существовании второй точки пересечения прямых a и b неверно.
- Какую фигуру нельзя разбить на части?
- Сформулируйте основное свойство прямой.
- Какое свойство прямой позволяет обозначать её, называя любые две точки прямой?
- Для чего используют определения?
- Какие две прямые называют пересекающимися?
- Как называют утверждение, истинность которого устанавливают с помощью доказательства?
- Сформулируйте теорему о двух пересекающихся прямых.
Практические задания
1.Проведите прямую, обозначьте её буквой m. Отметьте точки A и B, лежащие на этой прямой, и точки C, D, E, не лежащие на ней.
2.Отметьте точки M и K и проведите через них прямую. Отметьте на этой прямой точку E. Запишите все возможные обозначения полученной прямой.
3.Проведите прямые a и b так, чтобы они пересекались. Обозначьте точку их пересечения буквой C. Принадлежит ли точка C прямой a? Прямой b?
4.Отметьте три точки так, чтобы они не лежали на одной прямой, и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько образовалось прямых?
5.Отметьте четыре точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
6.Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Отметьте точки пересечения этих прямых. Сколько можно получить точек пересечения?
7.Отметьте четыре точки так, чтобы при проведении прямой через каждые две из них на рисунке образовалось: 1) одна прямая; 2) четыре прямых; 3) шесть прямых. Проведите эти прямые.
Упражнения
8.Пользуясь рисунком 17:
1)определите, пересекаются ли прямые a и MK.
2)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a; прямой MK;
3)укажите все отмеченные точки, не принадлежащие прямой a; прямой MK;
4)укажите все отмеченные точки, принадлежащие прямой a, но не принадлежащие прямой MK;
9.Пользуясь рисунком 18, укажите:
1)какие из отмеченных точек принадлежат прямой p, а какие не принадлежат ей;
2)каким прямым принадлежит каждая из точек A, B, C, D и E;
3)какие прямые проходят через каждую из точек C, B и A;
4)в какой точке пересекаются прямые k и p, m и k;
5)в какой точке пересекаются три из четырёх изображённых на рисунке прямых.
Рис. 17 | Рис. 18 |
|
|
10.Точка C принадлежит прямой AB. Являются ли различными прямые AB и AC ? Ответ обоснуйте.
11.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются, причём через каждую точку пересечения проходят только две прямые. Сколько точек пересечения при этом образовалось?
12.Как надо расположить шесть точек, чтобы они определяли шесть прямых?
13.Данную прямую пересекают четыре прямые. Сколько может образоваться точек пересечения этих прямых с данной?
14.Провели четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения может образоваться?
15.Провели пять прямых, каждые две из которых пересекаются. Каково наименьшее возможное количество точек пересечения этих прямых? Какое наибольшее количество точек пересечения может образоваться?
16.Можно ли провести шесть прямых и отметить на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки?
17.На плоскости проведены три прямые. На первой прямой отметили пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Каким может быть наименьшее количество отмеченных точек?
18.Можно ли отметить несколько точек и провести несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три из проведённых прямых?
Рис. 19 |
|
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
19.Из фигурок, имеющих вид уголка (рис. 19), сложите квадрат.
Источник
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 ноября 2020; проверки требует 1 правка.
Материа́льная то́чка (материа́льная части́ца) — обладающее массой тело, размерами, формой, вращением и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях исследуемой задачи. Является простейшей физической моделью в механике. Положение материальной точки в пространстве определяется как положение геометрической точки[1][2] и задаётся радиус-вектором .
В классической механике масса материальной точки полагается постоянной во времени и не зависящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами[3][4][5][6].
При аксиоматическом подходе к построению классической механики в качестве одной из аксиом принимается следующее[7]:
Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлен в соответствие скаляр, называемый массой: , — вектор в евклидовом пространстве, отнесённом к какой-либо декартовой системе координат. Масса полагается постоянной, не зависящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени.
Если тело участвует только в прямолинейном движении, то для определения его положения достаточно одной координатной оси.
Особенности[править | править код]
Применимость модели материальной точки к конкретному телу зависит не столько от размеров самого тела, сколько от условий его движения и характера решаемой задачи. Скажем, при описании движения Земли вокруг Солнца она вполне может рассматриваться как материальная точка, а при анализе суточного вращения Земли использование такой модели недопустимо.
В соответствии с теоремой о движении центра масс системы, при поступательном движении любое твёрдое тело можно считать материальной точкой, положение которой совпадает с центром масс тела.
Масса, положение, скорость и некоторые другие физические свойства[8] материальной точки в каждый конкретный момент времени полностью определяют её поведение.
Следствия[править | править код]
Механическая энергия может быть запасена материальной точкой лишь в виде кинетической энергии её движения в пространстве и
(или) потенциальной энергии взаимодействия с полем. Это автоматически означает неспособность материальной точки к деформациям (материальной точкой может быть названо лишь абсолютно твёрдое тело) и вращению вокруг собственной оси и изменениям направления этой оси в пространстве. Вместе с этим модель, описывающая движение тела как движение материальной точки, при котором изменяются её расстояние от некоторого мгновенного центра поворота и два угла Эйлера (задающие направление линии «центр — точка»), чрезвычайно широко используется во многих разделах механики.
Свободные и несвободные материальные точки[править | править код]
Материальная точка, движение которой в пространстве не ограничено какими-либо механическими связями, называется свободной. Примерами свободных материальных точек являются искусственный спутник Земли на околоземной орбите и летящий самолет (если пренебречь их вращениями).
Материальная точка, свобода перемещения которой ограничена наложенными связями, называется несвободной. Примером несвободной материальной точки является движущийся по рельсам трамвай (если пренебречь его формой и размерами).
Ограничения[править | править код]
Ограниченность сферы применения понятия о материальной точке видна из такого примера: в разреженном газе при высокой температуре размер каждой молекулы очень мал по сравнению с типичным расстоянием между молекулами. Казалось бы, им можно пренебречь и считать молекулу материальной точкой. Однако это не всегда так: колебания и вращения молекулы — важный резервуар «внутренней энергии» молекулы, «ёмкость» которого определяется размерами молекулы, её структурой и химическими свойствами. В хорошем приближении как материальную точку можно иногда рассматривать одноатомную молекулу (инертные газы, пары́ металлов и др.), но даже у таких молекул при достаточно высокой температуре наблюдается возбуждение электронных оболочек за счёт соударений молекул, с последующим высвечиванием.
Примечания[править | править код]
- ↑ Материальная точка — Статья в Физической энциклопедии.
- ↑ Курс физики. Трофимова Т. И. М.: Высш. шк., 2001, изд. 7-е.
- ↑ «Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m — масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. … В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.» с. 137 Седов Л. И., Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
- ↑ Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 87. — 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
- ↑ Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М.: МГУ, 2000. — С. 160. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1. «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
- ↑ Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 287. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9. «В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной».
- ↑ Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2008. — С. 9. — 304 с. — ISBN 978-5-9221-0907-9.
- ↑ Материальная точка также может иметь заряд (подробнее см. Электродинамика).
Источник
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения
В этой главе вы познакомитесь со свойствами окружности. Вы узнаете, как, отказавшись от привычных инструментов — угольника и транспортира, используя лишь циркуль и линейку без делений, выполнить многие построения.
§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг
Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.
Определение
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.
Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.
Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.
Рис. 273 | Рис. 274 | Рис. 275 |
|
|
Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).
Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:
1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Теорема 19.1
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Доказательство
По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.
Теорема 19.2
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.
Прямая теорема
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рис. 276 |
|
Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN.
Обратная теорема
Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX.
Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.
Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.
Определение
Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.
Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.
Рис. 277 | Рис. 278 |
|
|
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.
Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.
Определение
Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.
Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.
Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.
Решение. Пусть ∠CEO = α.
Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.
Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.
Рис. 279 | Рис. 280 |
|
|
Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.
Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO.
- Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
- Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
- Что называют окружностью?
- Что называют радиусом окружности?
- Что называют хордой окружности?
- Что называют диаметром окружности?
- Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
- Что называют кругом?
- Принадлежит ли окружности её центр?
- Принадлежит ли кругу его центр?
- Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
- Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
Практические задания
476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:
1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;
2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;
3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.
477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?
478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?
479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.
Упражнения
480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?
481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.
482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.
483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.
484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.
485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.
486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.
Рис. 281 | Рис. 282 | Рис. 283 | Рис. 284 |
|
|
|
|
487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.
488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.
489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?
490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.
491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.
Рис. 285 | Рис. 286 |
|
|
493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.
494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.
496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.
497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.
498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.
499.Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.
500.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > BX.
501.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > AB.
Упражнения для повторения
502.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.
503.Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.
504.На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK ‖ BC.
505.В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
506.На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.
Источник