Какими свойствами обладают случайные погрешности измерений
Собрание уникальных книг, учебных материалов и пособий, курсов лекций и отчетов по геодезии, литологии, картированию, строительству, бурению, вулканологии и т.д.
Библиотека собрана и рассчитана на инженеров, студентов высших учебных заведений по соответствующим специальностям. Все материалы собраны из открытых источников.
Теоретические исследования и опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:
– при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;
– малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.
– положительные погрешности встречаются так же часто, как и отрицательные;
– среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.
![[image]](https://injzashita.com/images/inj_geo_all/inj_geo_1-40.jpg "inj_geo_1-40.jpg"){kind=small}
, (5.2)
где [ ] – обозначение суммы.
Формула (5.2) выражает свойство компенсации случайных погрешностей. Этим свойством обладает и сумма попарных произведений случайных погрешностей
![[image]](https://injzashita.com/images/inj_geo_all/inj_geo_1-41.jpg "inj_geo_1-41.jpg"){kind=small}
, (i, j = 1, 2, 3 … n; i ¹ j). (5.3)
5.3 Характеристики точности измерений
Каждая погрешность в отдельности не может характеризовать точность измерений, поскольку она случайна. Нужна такая оценка, которая характеризует точность в среднем.
Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность
![[image]](https://injzashita.com/images/inj_geo_all/inj_geo_1-42.jpg "inj_geo_1-42.jpg"){kind=small}
, (5.4)
где Δ1, Δ2,…, Δn – случайные погрешности измерений. Достоинством этой характеристики является ее устойчивость, независимость от знаков отдельных погрешностей и усиленное влияние больших погрешностей.
Теоретически строгим значением средней квадратической погрешности считают оценку, получаемую по формуле (5.4) при бесконечно большом числе измерений, то есть при n®¥. Такую строгое значение средней квадратической погрешности часто именуют термином стандарт.
На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений, отчего оценки, вычисленные по формуле (5.4) вследствие случайного характера погрешностей Δiотличаются от строгой оценки – стандарта. Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (5.4) приближенно равна ![[image]](https://injzashita.com/images/inj_geo_all/inj_geo_1-43.jpg "inj_geo_1-43.jpg"){kind=small}
.
Формула (5.4) находит применение при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины. Но обычно значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда вместо формулы Гаусса пользуются формулой Бесселя (см. раздел 5.5), определяющей среднюю квадратическую погрешность по отклонениям результатов измерений от среднего.
В большинстве случаев погрешности измерений распределены по нормальному закону, установленному Гауссом. Это означает, что в интервал от –m до + m попадает 68,27% результатов повторных измерений одной и той же величины. В интервал от –2 m до +2 m попадает 95,45%, а в интервал от –3 m до +3 m попадает 99,73%.
Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность превышает 2 m, равна 4,5%, а что она превышает 3 m – лишь 0,27%. Поэтому погрешности, большие 2 m, считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов.
Величину 2 m называют предельной погрешностью и используют как допуск при отбраковке некачественных результатов измерений.
Dпред = 2 m.
В ряде случаев за предельно допустимую погрешность принимают величину 3 m.
Величины D, m, Dпред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями.
Наряду с абсолютными применяются также и относительные погрешности, представляющие собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе, например
![[image]](https://injzashita.com/images/inj_geo_all/inj_geo_1-44.jpg "inj_geo_1-44.jpg"){kind=small}
,
где l – значение измеряемой величины, а N – знаменатель дроби.
Относительные погрешности используют, например, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.
Закрепленные
Понравившиеся
Источник
Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.
Не надо иронизировать в отношении такого названия – «нормальный закон распределения». Мол, если есть «нормальный закон», то должен быть и «ненормальный закон». Последних нет. Есть множество законов распределения, которые отличаются своими параметрами от нормального закона. Просто исследованиями установлено, что отклонения результатов измерений от истинного значения подчиняются в своей группе нормальному закону распределения Гаусса. И не только отклонения результатов измерений подчиняются этому закону, но и распределение самих результатов также, как говорят, нормальное.
Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения хi одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:
. (3.3)
На основании теоретических иследований и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей, подчиняющихся нормальному закону распределения, являющемуся симметричным.
Свойство 1. При многократном (бесконечно большом числе измерений) выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.
То есть, если была получена погрешность «- 0,085 м», то следует ожидать с той же вероятностью и погрешности «+ 0,085 м». Пусть даже это и произойдёт не тут же, но обязательно произойдёт в какое-то время.
Свойство 2. При большом числе измерений малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.
То есть, более всего ожидается результат измерений, близкий к истинному его значению.
Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:
. (3.4)
То есть, совокупность действия различных факторов, если условия измерений неизменны, не приведет к значительному уклонению результата измерений от его истинного значения.
С математической точки зрения это не совсем правильно, потому что нормальный закон распределения имеет бесконечные пределы в ту и другую стороны. То есть математики могут ожидать появление случайной погрешности, равной весьма большому числу, даже почти бесконечности. Пусть и вероятность этого почти равна нулю, но, всё же, не нулю. А с практической точки зрения целесообразно ввести ограничение на предельное значение случайной погрешности.
Если же это случится, т.е. появится результат, погрешность которого будет больше предельной, то следует считать это измерение содержащим грубую погрешность, исключить его из ряда измерений и заменить это измерение новым измерением.
Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т.е.
(при n → ∞ ). (3.5)
Здесь и в дальнейшем квадратные скобки […] являются символом суммы (символ введен Гауссом).
При большом числе измерений это вытекает из свойства 1 в силу симметрии нормального закона распределения (свойство компенсации).
Среднее арифметическое
В теории измерений и в практике обработки результатов измерений используются различные средние. Об одной из таких средних, средней арифметической, уже неоднократно упоминалось раньше. Часто используют в исследованиях среднее квадратическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Нас, в данном случае, будет интересовать только среднее арифметическое.
Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения хi и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3).
Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) на плоскости является эталоном, известной величиной.
В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно её определить?
Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n ® ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.
Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим
. (3.6)
В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [D]/n стремится к нулю при n ® ∞ . Отношение [х]/n = хо называется средним арифметическим из результатов измерений.
С учетом сказанного можно записать, что
( ® Х) n ® ∞ , (3.7)
т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при большом числе измерений стремится к истинному значению измеряемой величины. Это очень важное свойство многократных измерений, ряд которых подчиняется нормальному закону распределения.
Как просто! Чтобы получить истинное значение надо только выполнить большое число измерений, лучше всего – бесконечное их число. Но такой возможности, к сожалению, нет, поскольку большое число измерений (избыточных) приводит к большим затратам времени и большим экономическим затратам.
Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надёжности, зависящей от числа измерений, можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического:
vi = хi – xо . (3.8)
В теории погрешностей измерений доказано, что если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и ряд уклонений vi от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.
Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 1511 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org – Контакты – Последнее добавление
Источник
5. Равноточные измерения. Свойства случайных погрешностей измерений Если измеряют одну и ту же величину несколько раз или измеряют однородные величины при неизменном основном комплексе условий, т. е. одинаковыми по точности приборами, лицами одинаковой квалификации, одним и тем же методом и при одинаковых внешних условиях, то результаты измерений называют равноточными. Проведение геодезических измерений показывает, что случайные погрешности результатов равноточных измерений обладают следующими статистическими свойствами, проявляющимися в больших рядах измерений: 1) по абсолютной величине погрешности не превышают некоторого предела; 2) положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряду примерно одинаково часто; 3) чем больше погрешность по абсолютной величине, тем она реже встречается в ряду; 4) чем больше ряд измерений, тем меньше по абсолютной величине среднее арифметическое значение из погрешностей и при достаточно большом числе п измерений
Случайные погрешности В соответствии с приведенными выше статистическими свойствами случайных погрешностей можно подобрать наиболее подходящую вероятностную модель их распределения — закон распределения случайной величины Плотность нормального распределения случайной погрешности
где График (рис. 1, а) функции (21) называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса. Эта кривая симметрична относительно оси ординат. Вероятность
Рис. 1. Графики нормального (а) и равномерного (б) распределения случайной погрешности На основании определения математического ожидания (12)
Так как f(х) — функция четная, то подынтегральная функция х(fх) — нечетная, а потому нетрудно заключить, что значение интеграла в формуле (22) равно нулю, т. е. математическое ожидание случайной погрешности равно нулю Это свойство случайной погрешности По закону больших чисел для случайных величин
т. е. при достаточно большом п можно считать, что
Нормальное распределение, достаточно хорошо отражая действительное распределение погрешностей измерений, имеет явное отличие от него: действительные погрешности по абсолютному значению не превышают определенного предела, а при нормальном распределении значение случайной величины может быть сколь угодно большим. Для практических целей это обстоятельство не имеет существенного значения, так как при нормальном распределении большие по абсолютному значению погрешности имеют очень малую вероятность. Учитывая это, обычно считают, что случайные погрешности измерений имеют нормальное распределение или приближенно нормальное. Говоря о близости распределения погрешностей измерений к нормальному, имеют в виду распределение суммарных погрешностей результатов измерений. Эти погрешности являются суммами элементарных погрешностей, происходящих от отдельных факторов (причин). Законы распределения элементарных погрешностей могут сильно отличаться от нормального. Так, погрешность отсчета по шкале измерительного прибора имеет равномерное распределение. Плотность равномерного распределения выражается равенствами:
где а — наибольшее значение погрешности (рис. 1, б). Из формулы (25) и графика (см. рис. 1, б) видно, что вероятность появления значения погрешности, подчиняющейся равномерному закону распределения, во всем интервале (–а; +а) одинакова. Это означает, что погрешности, подчиняющиеся равномерному распределению, в больших рядах измерений в интервале (–а; +а) встречаются примерно одинаково часто независимо от их размера и знака. Три остальных свойства суммарных погрешностей измерений остаются верными и для погрешностей с равномерным распределением. Случайными величинами являются и односторонне действующие погрешности. Характерное их отличие от погрешностей с нормальным распределением заключается в том, что математическое ожидание любой односторонне действующей погрешности не равно нулю При рассмотрении свойств какой-либо погрешности необходимо определить основной комплекс условий, при котором она получена. Одна и та же погрешность, входящая в результаты измерения, может быть отнесена к различным видам погрешностей в зависимости от рассматриваемого основного комплекса условий. Например, погрешность в измеренной длине линии из-за погрешности в длине ленты будет постоянной (систематической) или случайной в зависимости от того, как измеряли или будут измерять линию: одной и той же лентой или разными. Раньше было отмечено, что необходимо различать вероятностно зависимые и независимые случайные величины. Случайные погрешности, а следовательно, и измерения, их содержание, являются случайными величинами. Соответственно этому и измерения могут быть вероятностно независимыми или зависимы между собой. Зависимость между двумя измерениями может быть вызвана следующими причинами: погрешности измерений имеют некоторые общие источники; на погрешность результатов измерений наложены ограничительные условия (например, в виде допусков для невязок). В дальнейшем будем считать, что измерения попарно независимы. Равноточные измерения – 3.7 out of |
(20)
равноточных измерений можно рассматривать как значения одной и той же случайной величины Д, которую также будем называть случайной погрешностью.
(21)
— среднее квадратическое отклонение случайной погрешности 
.
появления погрешности в интервале (х, х + dх) может быть выражена приближенным равенством 
На графике (см. рис. 1, а) наглядно видны вероятностные свойства случайной погрешности 
(22)
(23)
(24)
(25)
Источник
Любые измерения сопровождаются неизбежными погрешностями. Результаты геодезических измерений могут иметь погрешности трех видов: грубые, систематические и случайные.
Грубые погрешности получаются в результате просчетов и промахов при измерениях. Например, вместо правильного результата по мерной ленте 11 м при измерении остатка ошибочно можно отсчитать расстояние 9 м, если лента уложена в обратном направлении. Грубые погрешности обнаруживаются повторными измерениями. Поэтому контрольные измерения являются необходимыми для исключения грубых погрешностей.
Систематические погрешности имеют объективный характер и при измерениях их можно учесть путем введения поправок в результаты измерений. Источником систематических погрешностей являются неисправности в применяемых геодезических приборах и инструментах, их неточная установка при измерениях, влияние внешних факторов и т. д. Например, если при номинальной длине ленты в 20 м из результатов компарирования оказалось, что ее длина равна 20,03 м. Тогда при измерении этой лентой расстояния в 100 м мы допустим погрешность в 0,03 × 5 = 0,15 м. Поэтому в результат измерения необходимо ввести поправку за компарирование ленты.
Случайными погрешностями называют такие погрешности, размер и характер влияния которых на каждый отдельный результат измерения остается неизвестным. Величину и знак случайных погрешностей заранее установить нельзя. Они неизбежны и сопровождают каждое измерение, так как измерение мы проводим только с такой точностью, которую можно достичь применяемыми при этом приборами. Избавить результаты измерений от случайных погрешностей полностью нельзя. Но на основании изучения их свойств можно вывести правила, как из ряда измерений получить наиболее надежные результаты и оценивать их точность. Этими вопросами занимается теория погрешностей измерений.
В теории погрешностей различают равноточные и неравноточные измерения. Равноточными называют измерения, выполненные в одинаковых условиях, приборами одинаковой точности, одинаковое число раз, наблюдателями одинаковой квалификации. Если одно из этих условий не соблюдается, то такие измерения будут неравноточными.
Свойства случайных погрешностей. Случайные погрешности можно определить как разность между измеренными и истинными значениями одной и той же величины. На основании теоретического и практического изучения многих рядов случайных погрешностей выведены их общие свойства:
1 При данных условиях случайные погрешности не могут превышать определенного предела.
2 Одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные погрешности равновозможны.
3 Меньшие по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.
4 Среднее арифметическое из случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины имеет тенденцию стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Принцип арифметической середины
Пусть произведены равноточные измерения l1, l2, … , ln одной и той же величины, истинное значение которой Х. Тогда можно вычислить n значений случайных погрешностей:
Δ1 = l1 – X;
Δ2 = l2 – X; (4.1)
………….
Δn = ln – X.
Складывая левые и правые части этих равенств, получим
Δ1 + Δ2 +…+ Δn = l1 + l2 +…+ ln – nX. (4.2)
В теории погрешности принято обозначать сумму величин через квадратные скобки, например:
Δ1 + Δ2 + … + Δn = [Δ]; l1 + l2 + … + ln = [l] и т. д.
При этих обозначениях равенство (4.2) примет вид
[Δ] = [l] – nX , откуда X = [l] / n – [Δ] / n. (4.3)
Согласно четвертому свойству случайных погрешностей величина [Δ] / n в равенстве (4.3) при неограниченном возрастании числа измерений стремится к нулю. Следовательно, величина [l] / n при этих условиях будет приближаться к истинному значению Х. На основании этого арифметическую середину (среднее арифметическое из результатов измерений) принято считать наиболее надежным или вероятнейшим результатом из равноточных измерений одной и той же величины при любом числе измерений.
L = [l] / n = (l1 + l2 + l3 + … + ln) / n. (4.4)
Средняя квадратическая погрешность одного измерения.
Формулы Гаусса и Бесселя
В теории погрешностей точность измерений характеризуется средней квадратической погрешностью, которая была введена знаменитым немецким математиком и геодезистом К. Ф. Гауссом (1777–1855 гг.) и обозначается через m:
______________________ ______
m = ± √ (Δ12 + Δ22 + .. + Δn2) / n = ± √ [Δ2] / n, (4.5)
где Δ1, Δ2, …, Δn – случайные погрешности;
n – число измерений.
Средняя квадратическая погрешность является надежным критерием для оценки точности измерений. Она даже при небольшом числе измерений достаточно устойчива и хорошо отражает наличие крупных случайных ошибок, которые по существу и определяют качество измерений.
Формула (4.5) применена для вычисления средней квадратической погрешности, когда известно истинное значение измеряемой величины. Эти случаи в практике весьма редки. Как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно, но из измерений можно получить наиболее надежный результат – арифметическую середину. Получим формулу для вычисления средней квадратической погрешности при помощи уклонения отдельных результатов от арифметической середины по так называемым вероятнейшим погрешностям V.
Пусть l1, l2, …, ln – результаты равноточных измерений одной и той же величины, истинное значение которой Х, а арифметическая середина – L. Тогда можно вычислить n случайных или истинных погрешностей
Δi = li – X (4.6)
и n вероятнейших погрешностей
Vi = li – L. (4.7)
Сумма n равенству (4.7)
[V] = [l] – nL. (4.8)
Но, согласно равенству (4.4) nL = [l], поэтому
[V] = 0, (4.9)
т. е. сумма вероятнейших погрешностей всегда должна быть равна нулю.
Вычитая из равенства (4.6) равенство (4.7), получим
Δi – Vi = L – X. (4.10)
В правой части равенству (4.10) мы имеем случайную погрешность арифметической середины. Обозначим ее через ε. Тогда
Δi = Vi + ε. (4.11)
Возведем в квадрат равенство (4.11), возьмем их сумму и разделим ее на n:
[Δ2] / n = [V2] / n + nε2 / n + 2ε[V] / n. (4.12)
Левая часть этого равенства есть не что иное как m2. Последнее слагаемое правой части ввиду равенства (4.9) равно нулю.
m2 = [V2] / n + ε2. (4.13)
Случайную погрешность ε заменим ее средним значением, т. е. средней квадратической погрешностью арифметической середины. Ниже будет доказано, что средняя квадратическая погрешность арифметической середины
М 2 = ε 2 = m 2/ n. (4.14)
Тогда
m 2 – m2 / n = [V 2] / n или m 2(n – 1) / n = [V 2] / n,
откуда ___________
m 2 = [V 2] / (n – 1), или m = √ [V 2] / (n – 1). (4.15)
Формула (4.15) называется формулой Бесселя и имеет большое практическое значение. Она позволяет вычислять среднюю квадратическую погрешность по вероятнейшим уклонениям результатов измерений от арифметической средины.
Кроме средней квадратической погрешности различают еще среднюю, вероятную и относительную погрешности.
Средней погрешностью (Θ) называют среднее арифметическое из абсолютных значений случайных погрешностей т. е.
Θ = (|Δ1| + |Δ2| + … + |Δn| ) / n = [|Δ|] / n. (4.16)
В теории погрешности доказывается, что при n → ∞ Θ = 0,8 m, или m = 1,25Θ.
Иногда в прикладных вопросах пользуются вероятной погрешностью r. Вероятной погрешностью называют такое значение случайной погрешности в одном ряду равноточных измерений, по отношению к которой одинаково возможна погрешность как больше, так и меньше этого значения, по абсолютной величине. Для нахождения r все погрешности данного ряда располагают в порядке возрастания по абсолютной величине и выбирают то значение, которое занимает среднее положение, т. е. погрешностей меньше его столько же, сколько и больше. Вероятная погрешность связана со средней квадратической погрешностью соотношением r = 2/3 m = 0,67 m или m = 1,5 r.
Как видно, m > Θ и m > r, что показывает, что средняя квадратическая погрешность лучше характеризует точность измерений, чем средняя и вероятная погрешности.
Оценку точности таких измеренных величин, как линии, площади и объемы часто производят с помощью относительной погрешности. Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности к значению измеренной величины. Относительная погрешность записывается в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – число, показывающее какую долю измеряемой величины должна составлять допустимая погрешность. Например, длина стороны D = 150 м измерена с абсолютной погрешностью md = 0,05 м. Тогда относительная погрешность результата измерения составит md / D = 0,05 м / 150 м = 1 / 3000.
Величина 1 / 3000 означает, что на 3000 м расстояния может быть допущена погрешность в 1 м. Чем больше знаменатель относительной погрешности, тем выше точность измерений. Точность всех линейных измерений в геодезии всегда задается относительной погрешностью, которая приводится в соответствующих инструкциях и наставлениях по производству данного вида геодезических работ.
Источник