Какими свойствами обладают случайные погрешности

Собрание уникальных книг, учебных материалов и пособий, курсов лекций и отчетов по геодезии, литологии, картированию, строительству, бурению, вулканологии и т.д.
Библиотека собрана и рассчитана на инженеров, студентов высших учебных заведений по соответствующим специальностям. Все материалы собраны из открытых источников.

Теоретические исследования и опыт измерений показывают, что случайные погрешности обладают следующими основными свойствами:

– при определенных условиях измерений, случайные погрешности по абсолютной величине не могут превышать известного предела;

– малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще, чем большие.

– положительные погрешности встречаются так же часто, как и отрицательные;

– среднее арифметическое из всех случайных погрешностей равноточных измерений одной и той же величины при неограниченном возрастании числа измерений n стремится к нулю, т.е.

, (5.2)

где [ ] – обозначение суммы.

Формула (5.2) выражает свойство компенсации случайных погрешностей. Этим свойством обладает и сумма попарных произведений случайных погрешностей

, (i, j = 1, 2, 3 … n; i ¹ j). (5.3)

5.3 Характеристики точности измерений

Каждая погрешность в отдельности не может характеризовать точность измерений, поскольку она случайна. Нужна такая оценка, которая характеризует точность в среднем.

Общепринятой характеристикой точности является предложенная К.Ф. Гауссом средняя квадратическая погрешность

, (5.4)

где Δ1, Δ2,…, Δn – случайные погрешности измерений. Достоинством этой характеристики является ее устойчивость, независимость от знаков отдельных погрешностей и усиленное влияние больших погрешностей.

Теоретически строгим значением средней квадратической погрешности считают оценку, получаемую по формуле (5.4) при бесконечно большом числе измерений, то есть при n®¥. Такую строгое значение средней квадратической погрешности часто именуют термином стандарт.

На практике приходится пользоваться ограниченным числом измерений, отчего оценки, вычисленные по формуле (5.4) вследствие случайного характера погрешностей Δiотличаются от строгой оценки – стандарта. Средняя квадратическая погрешность определения m по формуле (5.4) приближенно равна .

Формула (5.4) находит применение при исследовании точности геодезических приборов и методов измерений, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины. Но обычно значение измеряемой величины заранее неизвестно. Тогда вместо формулы Гаусса пользуются формулой Бесселя (см. раздел 5.5), определяющей среднюю квадратическую погрешность по отклонениям результатов измерений от среднего.

В большинстве случаев погрешности измерений распределены по нормальному закону, установленному Гауссом. Это означает, что в интервал от –m до + m попадает 68,27% результатов повторных измерений одной и той же величины. В интервал от –2 m до +2 m попадает 95,45%, а в интервал от –3 m до +3 m попадает 99,73%.

Таким образом, вероятность того, что случайная погрешность превышает 2 m, равна 4,5%, а что она превышает 3 m – лишь 0,27%. Поэтому погрешности, большие 2 m, считают практически невероятными и относят к числу грубых погрешностей, промахов.

Величину 2 m называют предельной погрешностью и используют как допуск при отбраковке некачественных результатов измерений.

Dпред = 2 m.

В ряде случаев за предельно допустимую погрешность принимают величину 3 m.

Величины D, m, Dпред, выражаемые в единицах измеряемой величины, называются абсолютными погрешностями.

Наряду с абсолютными применяются также и относительные погрешности, представляющие собой отношение абсолютной погрешности к измеряемой величине. Относительную погрешность принято выражать в виде простой дроби с единицей в числителе, например

где l – значение измеряемой величины, а N – знаменатель дроби.

Относительные погрешности используют, например, когда точность результата измерения зависит от измеряемой величины. Так при одинаковой абсолютной погрешности двух измеренных линий точнее измерена та, длина которой больше.

Закрепленные

Понравившиеся

Источник

Группа случайных погрешностей измерения одной и той же величины подчиняется нормальному закону распределения Гаусса.

Не надо иронизировать в отношении такого названия – «нормальный закон распределения». Мол, если есть «нормальный закон», то должен быть и «ненормальный закон». Последних нет. Есть множество законов распределения, которые отличаются своими параметрами от нормального закона. Просто исследованиями установлено, что отклонения результатов измерений от истинного значения подчиняются в своей группе нормальному закону распределения Гаусса. И не только отклонения результатов измерений подчиняются этому закону, но и распределение самих результатов также, как говорят, нормальное.

Рассмотрим ряд случайных погрешностей, определяемых как отклонение результата измерения хi одной и той же величины, свободного от грубых и систематических погрешностей, от истинного значения Х:

. (3.3)

На основании теоретических иследований и опытных данных установлены следующие свойства ряда случайных погрешностей, подчиняющихся нормальному закону распределения, являющемуся симметричным.

Свойство 1. При многократном (бесконечно большом числе измерений) выполнении измерений одной величины равновероятно появление случайных погрешностей, равных по величине, но противоположных по знаку.

То есть, если была получена погрешность «- 0,085 м», то следует ожидать с той же вероятностью и погрешности «+ 0,085 м». Пусть даже это и произойдёт не тут же, но обязательно произойдёт в какое-то время.

Свойство 2. При большом числе измерений малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

То есть, более всего ожидается результат измерений, близкий к истинному его значению.

Свойство 3. При неизменных условиях измерений случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине известного предела:

. (3.4)

То есть, совокупность действия различных факторов, если условия измерений неизменны, не приведет к значительному уклонению результата измерений от его истинного значения.

С математической точки зрения это не совсем правильно, потому что нормальный закон распределения имеет бесконечные пределы в ту и другую стороны. То есть математики могут ожидать появление случайной погрешности, равной весьма большому числу, даже почти бесконечности. Пусть и вероятность этого почти равна нулю, но, всё же, не нулю. А с практической точки зрения целесообразно ввести ограничение на предельное значение случайной погрешности.

Если же это случится, т.е. появится результат, погрешность которого будет больше предельной, то следует считать это измерение содержащим грубую погрешность, исключить его из ряда измерений и заменить это измерение новым измерением.

Свойство 4. При большом числе измерений среднее арифметическое из случайных погрешностей стремится к нулю, т.е.

(при n → ∞ ). (3.5)

Здесь и в дальнейшем квадратные скобки […] являются символом суммы (символ введен Гауссом).

При большом числе измерений это вытекает из свойства 1 в силу симметрии нормального закона распределения (свойство компенсации).

Среднее арифметическое

В теории измерений и в практике обработки результатов измерений используются различные средние. Об одной из таких средних, средней арифметической, уже неоднократно упоминалось раньше. Часто используют в исследованиях среднее квадратическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и др. Нас, в данном случае, будет интересовать только среднее арифметическое.

Как уже говорилось выше, погрешность измерения представляет собой разность между самим результатом измерения хi и его истинным значением Х, определяемую по формуле (3.3).

Если результат измерения заранее известен, то, казалось бы, зачем производить измерения? Однако такие действия часто приходится выполнять. Например, при проверке правильности работы или показаний прибора по эталону. Да и при самих непосредственных измерениях, например, углов в треугольнике, сумма углов треугольника (или многоугольника) на плоскости является эталоном, известной величиной.

В основном результаты измерений заранее неизвестны. Что же представляет собой погрешность измерений в этом случае, и каким образом можно её определить?

Рассмотрим ряд измерений одной и той же величины Х для случая, когда число измерений весьма большое (n ® ∞). Составим ряд истинных погрешностей измерений, полагая, что измеряемая величина нам известна.

Сложим все разности в правых и левых частях формул (3.3) и разделим полученные результаты на n, получим

. (3.6)

В соответствии со свойствами случайных погрешностей отношение [D]/n стремится к нулю при n ® ∞ . Отношение [х]/n = хо называется средним арифметическим из результатов измерений.

С учетом сказанного можно записать, что

( ® Х) n ® ∞ , (3.7)

т.е. среднее арифметическое из результатов измерений при большом числе измерений стремится к истинному значению измеряемой величины. Это очень важное свойство многократных измерений, ряд которых подчиняется нормальному закону распределения.

Как просто! Чтобы получить истинное значение надо только выполнить большое число измерений, лучше всего – бесконечное их число. Но такой возможности, к сожалению, нет, поскольку большое число измерений (избыточных) приводит к большим затратам времени и большим экономическим затратам.

Таким образом, при определении погрешностей измерений с какой-то долей надёжности, зависящей от числа измерений, можно использовать величину среднего арифметического вместо истинного значения измеряемой величины. В этом случае истинные погрешности будут являться уклонениями результатов измерений от среднего арифметического:

vi = хi – xо . (3.8)

В теории погрешностей измерений доказано, что если результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, то и ряд уклонений vi от арифметического среднего также подчиняется нормальному закону распределения и обладает всеми свойствами случайных погрешностей.

Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 1599 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

6. Критерии оценки точности.

Все
измерения, как бы тщательно они не были
выполнены, сопровождаются погрешностями.
В этом легко убедиться, измерив одну и
ту же величину несколько раз и сравнив
полученные результаты. В общем случае
они будут отличаться друг от друга.

Все
погрешности измерений можно подразделить
на три группы:

1.
Грубые погрешности или промахи,
резко отклоняют результаты измерений
от истинного значения. Всегда они
возникают только по вине исполнителя.
Наиболее действенными методами
обнаружения грубых погрешностей является
производство избыточных измерений. Вот
почему в геодезии каждую величину
измеряют, как правило, не менее двух
раз.

2.
Систематические элементарные
погрешностипорождаются существенными
связями между факторами измерений и
возникают всякий раз при одних и тех же
условиях. Систематическиепогрешности
подчинены какой-то в той или иной степени
определенной закономерности.

Закономерности
эти поддаются изучению. И при определенных
условиях систематические погрешности
могут быть исключены из отдельного
результата измерений.

3.
Случайные элементарные погрешностипорождаются не существенными, а
второстепенными случайными связями
между факторами измерений, при данных
условиях измерений они могут быть, а
могут и не появиться, могут быть большими
или меньшими, положительными или
отрицательными.Величина
и знак этих погрешностей носит случайный
характер.

Суммарное
влияние элементарных систематических
погрешностей образует систематическую
погрешностьθ результата
измерения, а суммарное влияние элементарных
случайных погрешностей—
случайную погрешностьΔ
результата измерений.

Таким
образом, погрешность измерения ε можно
представить как сумму двух составляющих:
ε= θ +Δ.

7. Методы построения геодезических сетей.

Конечной
целью построения ГС является определение
координат геодезических пунктов.
Существуют следующие методы построения
ГС:

1)
Триангуляция
–
метод построения на местности ГС в виде
треугольников, у которых измерены все
углы и базисные выходные стороны
(рис.14.1). Длины остальных сторон вычисляют
по тригонометрическим формулам, затем
находят дирекционные углы сторон и
определяют координаты.

2)
Трилатерация
–
метод построения ГС в виде треугольников,
у которых измерены длины сторон
(расстояния между геодезическими
пунктами), а углы между сторонами
вычисляют. Например, на рис.14 имеем
cosA=(b2+c2-a2) / 2bc.

Какими свойствами обладают случайные погрешности

Рис.14.1.
Схема геодезической сети в виде
триангуляции
3)
Полигонометрия
–
метод построения ГС на местности в виде
ломаных линий, называемых ходами
(рис.14.2), вершины которых закреплены
геодезическими пунктами. Измеряются
длины сторон хода и горизонтальные углы
между ними.

Какими свойствами обладают случайные погрешности

Рис.14.2.Схема
полигонометрического хода Полигонометрические
ходы опираются на пункты триагуляции,
относительно которых вычисляются
плановые координаты пунктов хода, а их
высотные координаты определяются
нивелированием.

4)
Линейно-угловые построения, в которых
сочетаются линейные и угловые измерения.
Форма сети может быть различная, например
четырехугольник, у которого измеряют
все горизонтальные углы и две смежные
стороны, а две другие стороны вычисляют.

5)
Методы с использованием спутниковых
технологий, в которых координаты пунктов
определяются с помощью спутниковых
систем – российской Глонасс и американской
GPS.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Погрешность окончательного результата измерения – это, как правило, итог совместного влияния (действия) нескольких различных факторов (погрешностей).

По источникам происхождения погрешности могут быть:

– личные (наблюдателя);
– приборные (измерительного прибора);
– методические (методики измерения);
– средовые (внешней среды).

Погрешности, обусловленные изменчивостью (непостоянством) самого объекта измерений обычно в расчет не принимаются. Хотя в отдельных случаях приходится учитывать и их.

По характеру действия погрешности принято подразделять на:

– грубые;
– систематические;
– случайные.

Грубые погрешности возникают вследствие грубых промахов наблюдателя (померещилось, просчитался, перепутал и т.п.), неисправности измерительного прибора, использования неадекватной (неуместной, непродуманной, необоснованной) методики измерений и резких изменений во внешней среде. Никакой системы (закономерности) в их появлении нет. И от них никто не застрахован.

Основной способ борьбы с грубыми погрешностями – контроль путем выполнения избыточных измерений (т.е. сверх минимально необходимых). В частности, измерение любой величины, где это только возможно, должно производиться многократно – как минимум, дважды – и максимально независимо одно от другого.

Например, измерение расстояния между двумя точками местности рулеткой следует выполнять два раза: один раз в прямом направлении (от условно начальной точки до конечной) и второй раз – в обратном (от условно конечной точки назад, до начальной).

Еще один способ обнаружения и исключения грубых погрешностей – организация измерений таким образом (опять же через избыточные измерения), чтобы было заранее известно абсолютно точное значение некоторой функции от измеряемых величин.

К примеру, если измерить все три угла в плоском треугольнике (где, в принципе, достаточно измерить только два угла, третий – вычисляется), то вследствие неизбежных погрешностей измерений истинные точные значения углов останутся неизвестными. Однако будет абсолютно точно известно, что сумма этих трех углов должна равняться 180° . В данном конкретном случае отклонение суммы всех трех измеренных углов в треугольнике от 180° будет представлять собой алгебраическую сумму трех неизвестных погрешностей измерения каждого из углов (т.е., своего рода, суммарную погрешность функции измеренных величин). И это дает возможность оценить, хоть и в неявном виде, примерную величину допущенных при измерении углов погрешностей, в том числе и судить о наличии грубых погрешностей, если такая суммарная погрешность по каким-то определенным критериям аномально велика. Характерно, что если измерить только два угла в треугольнике, а третий – вычислить (т.е. не сделать избыточного измерения), то мы не получим вообще никакой информации о фактических погрешностях наших измерений

Приведенный выше пример – это пример очень простой функции измеренных величин: всего лишь суммы трех углов в треугольнике. На самом деле функциональные зависимости между несколькими измеряемыми величинами могут быть значительно сложнее.

Систематические погрешности являются результатом действия какого-либо одного или сразу нескольких вполне конкретных факторов и могут быть выражены в виде однозначной функциональной зависимости от этих факторов. Иначе говоря, в появлении таких погрешностей имеет место четкая система: есть фактор (или факторы), и есть обусловленная им (ими) погрешность.

Основной способ борьбы с систематическими погрешностями – выявление имеющихся функциональных связей между различными факторами и порождаемыми ими погрешностями, вычисление таких погрешностей и исправление результатов измерений поправками за влияние соответствующих факторов.

Выражение «поправка за влияние какого-то фактора» или «поправка за фактор» – это такой терминологический «профессионализм», принятый во многих измерительных дисциплинах, в том числе, в геодезии.

Примером учета систематической погрешности путем введения поправки в результат измерения может служить исправление результата измерения какого-то отрезка жезлом, номинальной длиной один метр (на нем так прямо и написано – 1 м). Если жезл уложился в отрезке 10 раз, то мы считаем, что отрезок имеет длину 10 м (1 м на 10 уложений жезла). Однако, если мы затем сравним длину нашего жезла с эталонным метром и выясним, что он длиннее эталона на 1 см, то нам придется ввести поправку в измеренный результат, равную +10 см (1 см на 10 уложений жезла), и окончательно длина измеренного отрезка должна быть оценена как 10,1 м. Такая поправка называется поправкой за компарирование (сравнение рабочей меры с эталоном).

Еще одним способом учета систематических погрешностей в результатах измерений является организация методики измерений таким образом, чтобы та или иная систематическая погрешность автоматически исключалась из окончательного результата измерения (была одинаковой по величине, но противоположной по знаку на двух последовательных этапах измерения).

Примером такого способа учета систематических погрешностей может служить геометрическое нивелирование на станции при «равных плечах» (одинаковых расстояниях от нивелира до нивелируемых точек). Соответствующая методика (с «равными плечами») позволяет исключить из результатов нивелирования на станции сразу две систематические погрешности: за наклон визирной оси зрительной трубы нивелира и за кривизну Земли.

Случайные погрешности обусловлены спонтанно возникающими при каждом конкретном измерении комбинациями всевозможных плохо учитываемых факторов, и зависят, в основном, от точности прибора, квалификации оператора и неучтенного влияния внешней среды. Исключить случайные погрешности из результатов измерений нельзя, также как и нельзя определить или предсказать значение случайной погрешности в каждом отдельном измерении (в отдельных измерениях они могут быть как малыми, так и большими, как положительными, так и отрицательными). Закономерности случайных погрешностей проявляются только в массе и носят вероятностный, статистический характер. И потому можно говорить лишь о вероятности появления той или иной случайной погрешности.

Случайные погрешности ведут себя как случайные величины, подчиняющиеся закону нормального распределения вероятности: со своими математическим ожиданием (равным нулю), дисперсией (разбросом или рассеиванием вокруг математического ожидания) и стандартом (среднеквадратическим отклонением случайной величины от ее математического ожидания).

Свойства случайных погрешностей (на основании закона нормального распределения вероятности):

1. Положительные и отрицательные случайные погрешности равновозможны (свойство симметрии).
2. Малые по абсолютной величине случайные погрешности возникают чаще, чем большие (свойство неодинаковой плотности вероятности).
3. Алгебраическая сумма случайных погрешностей при неограниченном возрастании числа испытаний (измерений одной и той же величины) стремиться к нулю (свойство компенсации).
4. С заданной (доверительной) вероятностью случайные погрешности не превосходят по абсолютной величине некоторого предела (свойство ограниченности).

Принимая во внимание свойства случайных погрешностей можно утверждать, что хотя исключить случайные погрешности из результатов измерений нельзя, но их влияние можно статистически учесть (оценить) и несколько ослабить (уменьшить) путем повышения качества и количества измерений, а также за счет выполнения надлежащей математической обработки этих измерений.

Источник