Какими свойствами обладают параллельные плоскости

В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

Параллельные плоскости: основные сведения

Определение 1

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: ∥. Если заданы две плоскости: α и β, являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α ‖ β.

На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

Параллельные плоскости: основные сведения

В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α.

Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

Теорема 1

Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10-11 класс.

В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

Теорема 2

Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

Теорема 3

Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение A1x+B1y+C1z+D1=0, а также задана плоскость β, которую определяет общее уравнение вида A2x+B2y+C2z+D2=0 .

Теорема 4

Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 не имела решения (являлась несовместной).

Доказательство

Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

Пример 1

Заданы две плоскости: 2x+3y+z-1=0 и 23x+y+13z+4=0. Необходимо определить, являются ли они параллельными.

Решение

Запишем систему уравнений из заданных условий:

2x+3y+z-1=023x+y+13z+4=0

Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

Ранг матрицы 23123113 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 231123113-4 равен двум, поскольку минор 2123-4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2x+3y+z-1=023x+y+13z+4=0не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2x+3y+z-1=0 и 23x+y+13z+4=0 являются параллельными.

Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

Ответ: заданные плоскости параллельны.

Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

Теорема 5

Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

Допустим, что n1→=(A1, B1, C1) и n2→=(A2, B2, C2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

n1→=t·n2⇀⇔A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2, где t – некое действительное число.

Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t, для которого верно равенство:

n1→=t·n2⇀⇔A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2

Пример 2

В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β. Плоскость α проходит через точки: A(0, 1, 0), B(-3, 1, 1), C(-2, 2, -2). Плоскость β описывается уравнением x12+y32+z4=1Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

Решение

Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β.

Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n1→и n2→, соответствующие плоскостям α и β. Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

Вектор n1→ можно задать, взяв векторное произведение векторов AB→ и AC→. Их координаты соответственно: (-3, 0, 1) и (-2, 2, -2). Тогда:

n1→=AB→×AC→=i→j→k→-301-21-2=-i→-8j→-3k→⇔n1→=(-1, -8, -3)

Для получения координат нормального вектора плоскости x12+y32+z4=1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

x12+y32+z4=1⇔112x+23y+14z-1=0

Таким образом: n2→=112, 23, 14.

Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n1→=(-1, -8, -3) и n2→=112, 23, 14

Так как -1=t·112-8=t·23-3=t·14⇔t=-12, то векторы n1→ и n2→ связаны равенством n1→=-12·n2→ , т.е. являются коллинеарными.

Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

Источник

Параллельность плоскостей.

Параллельные плоскости.

С параллельными плоскостями мы встречаемся в жизни каждый день. Наиболее наглядный пример – это плоскости потолка и пола (если не брать в расчёт дизайнерские фантазии); это полки в шкафу; это плоскости ступеней (на которые мы наступаем), ну и т.д., и т.п.

Определение. Две плоскости в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они не имеют общих точек.

На чертежах параллельные плоскости изображаются в виде одинаковых параллелограммов, которые смещены друг относительно друга, причём, если они расположены близко друг к другу, то не забывайте о невидимых линиях!

Определение. Две прямые в трёхмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство. Предположим, что . Тогда одна из двух пересекающихся прямых или , лежащие в плоскости , пересекает прямую , которая также лежит в плоскости . Но, прямая , в то же время, лежит в плоскости , значит, одна из двух прямых или пересекает плоскость . Однако, по условию теоремы, , значит, (по признаку параллельности прямой и плоскости). Аналогично, , значит, . Мы пришли к противоречию с признаком параллельности прямой и плоскости вследствие того, что сделали изначально неверное предположение. Значит, , ч.т.д.

Свойства параллельных плоскостей.

ТЕОРЕМА 1 (о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то прямые пересечения плоскостей параллельны.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Поскольку , тогда прямые и либо пересекаются, либо параллельны. Но, кроме того, они лежат в параллельных плоскостях, т.е. не могут иметь общих точек. Значит, , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 2 (о существовании и единственности плоскости, параллельной данной).

Через точку, расположенную вне данной плоскости, можно провести единственную плоскость, параллельную данной.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

1. В данной плоскости проведём две пересекающиеся прямые (рисунок слева). Через данную точку проведём прямые и (это возможно сделать по аксиоме планиметрии: «через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и, притом, только одну»). Через две пересекающиеся прямые и проведём плоскость . По признаку параллельности плоскостей, .

2. Докажем единственность существования такой плоскости. Предположим, что через точку проходит ещё одна плоскость , параллельная плоскости (рисунок справа). В плоскости проведём произвольную прямую через точку , а в плоскости отметим произвольную точку . Через прямую и, не лежащую на ней точку , можно провести плоскость , и, притом, только одну. Тогда . Так как (по построению) и (по предположению), то прямые и не пересекают прямую , т.е. и . Мы получили, что через точку в плоскости проходят две прямые и , параллельные одной и той же прямой . Это противоречит аксиоме планиметрии о параллельных прямых. Противоречие возникло вследствие неверного предположения. Значит, через точку вне плоскости можно провести только одну плоскость, параллельную данной, ч.т.д.

ТЕОРЕМА 3 (об отрезках параллельных прямых между параллельными плоскостями).

Отрезки параллельных прямых, отсекаемые параллельными плоскостями, равны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Так как прямые и параллельны, то через них можно провести плоскость . Тогда . Согласно теореме 1, . Значит, – параллелограмм. Т.к. у параллелограмма противоположные стороны равны, то , ч.т.д.

ТЕОРЕМА 4 (о транзитивности отношения параллельности плоскостей).

Если две различные плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой.

Дано:

Доказать:

Доказательство.

Предположим, что . Тогда , т.е. эти плоскости имеют общую точку. Значит, через одну точку проходят две плоскости и , параллельные одной и той же плоскости . А это противоречит теореме 2 о существовании и единственности плоскости, параллельной данной. Противоречие возникло вследствие неверного предположения, значит, , ч.т.д.

Через вершины и параллелограмма проведены параллельные прямые и , не лежащие в плоскости параллелограмма. Докажите:

Параллельные прямые и пересекают одну из двух параллельных плоскостей в точках и , а другую – точках и соответственно.

Докажите:

Найдите:

, если ;
, если

Основания трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что боковые стороны трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

Боковые стороны трапеции параллельны некоторой плоскости. Верно ли, что основания трапеции также параллельны этой плоскости? Ответ объясните.

Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

Параллелограммы и не лежат в одной плоскости. Докажите параллельность плоскостей и .

Точки и лежат в плоскости , а точки и – в плоскости , причём, отрезки и пересекаются, .

Докажите:

Найдите углы четырёхугольника , если один из этих углов равен .

Точка не лежит в плоскости . Докажите, что все прямые, проходящие через точку и параллельные плоскости , лежат в одной плоскости.

Плоскости и параллельны. Прямая лежит в плоскости . Через точку, не лежащую в плоскости , проведена прямая , параллельная . Докажите, что прямая лежит в плоскости .

Каждая из двух прямых параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что ? Ответ объясните.

Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости . Прямая параллельна плоскостям и . При каком взаимном расположении этих прямых можно гарантированно утверждать, что? Ответ объясните.

Концы двух равных пересекающихся отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – прямоугольник?
Докажите, что если не является прямоугольником, то – равнобедренная трапеция.

Концы двух равных перпендикулярных отрезков и лежат на двух параллельных плоскостях.

При каком дополнительном условии пересечения отрезков, – ромб?
Докажите, что если не является ромбом, то – трапеция, в которой высота равна средней линии.

Две скрещивающиеся прямые пересекают три параллельные плоскости в точках и .

Найдите и , если
Найдите и , если

На рисунке . Докажите параллельность плоскостей и .

На рисунке и – параллелограммы. Докажите параллельность плоскостей и .

Дан куб . – диагонали граней соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

– пространственный четырёхугольник. – середины сторон соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

Точка лежат вне плоскости параллелограмма . Точки и – середины сторон и соответственно. Докажите параллельность плоскостей и .

На рисунке – пространственный четырёхугольник. Точки лежат на сторонах и соответственно так, что . Докажите параллельность плоскостей и .

Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

Параллельные прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что .

Параллельные прямые и пересекают плоскость в точках и . Параллельные прямые и пересекают эту же плоскость в точках и . Причём, прямые и пересекаются в точке , а прямые и – в точке . Доказать, что прямые и параллельны.

Скрещивающиеся прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что прямые и скрещивающиеся.

Прямые и пересекаются в точке и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найдите и , если .

Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Найти и , если и .

Пересекающиеся в точке прямые и пересекают параллельные плоскости и в точках и соответственно. Доказать, что треугольник подобен треугольнику .

Точки и лежат в плоскости и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки и расположены по одну сторону от плоскости . Докажите, что плоскости и параллельны.

Точка не лежит в плоскости треугольника , точки и – середины отрезков и соответственно.

Докажите, что плоскости и параллельны.
Найдите площадь , если площадь равна см2.

Три отрезка и , не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости и параллельны.

Прямая пересекает параллельные плоскости и соответственно в точках и , причём, . Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и , причём, . Найдите длину отрезка .

Плоскости и попарно параллельны, прямые и скрещиваются. Прямая пересекает плоскости и соответственно в точках и ; прямая – соответственно в точках и . Докажите, что .

Скрещивающиеся прямые и параллельны плоскости . Через произвольную точку плоскости проведена прямая , пересекающая прямые и соответственно в точках и . Докажите, что отношение не зависит от выбора точки в плоскости .

Параллельные плоскости и пересекают сторону угла соответственно в точках и , а сторону этого угла – в точках и . Найдите:

и , если
и , если .

Плоскости и пересекаются по прямой . Через точки и , расположенные вне этих плоскостей, проводятся параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и , а также параллельно плоскости и параллельные между собой прямые и . Докажите, что:

плоскости и параллельны;
плоскости и пересекают плоскости и по параллельным прямым.

На трёх попарно параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости, выбраны три равных отрезка и так, что точки и оказались по одну сторону от плоскости . Докажите, что:

плоскость параллельна плоскости ;
;
прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;
прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , параллельна прямым и .

На трёх лучах, исходящих из точки , и, не лежащих в одной плоскости, взяты отрезки и такие, что . Докажите, что:

плоскость параллельна плоскости ;
;
прямая пересечения плоскостей и параллельна плоскостям и ;
прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольников и , содержит точку .

В кубе точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – середина ребра , точка – точка пересечения диагоналей квадрата . Определить взаимное расположение плоскостей (параллельны, пересекаются, совпадают, невозможно определить):

и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и
и .

Через точку , расположенную между параллельными плоскостями и , проведены две прямые, которые пересекают плоскости в точках и и .

Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.
Вычислить длину отрезка , если .

Два луча, с началом в точке пересекают одну из параллельных плоскостей в точках , а другую – в точках .

Определить, как расположены прямые и . Ответ объяснить.
Вычислить , если .

Плоскости и параллельны. Через точки и плоскости проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках и .

Определить вид четырёхугольника .
Вычислить периметр четырёхугольника , если .

Через точки и стороны равностороннего треугольника проведены плоскости и , параллельные прямой .

Определить, на какие фигуры делится треугольник плоскостями и .
Вычислить периметры этих фигур, если .

Плоскость параллельна плоскости равностороннего треугольника . Через его вершины проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках . Вычислить периметр и площадь треугольника , если .

Точки и не лежат в одной плоскости. Точки – середины отрезков соответственно.

Докажите, что плоскости и параллельны.
Вычислите периметр треугольника , если .

Плоскости и параллельны. Верно ли, что любая прямая плоскости параллельна плоскости ? Ответ объясните.

Верно ли, что две плоскости, параллельные одной прямой, параллельны? Ответ объясните.

Источник

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение параллельных плоскостей;
Свойства параллельных плоскостей;
Признак параллельности плоскостей.

Глоссарий по теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Основная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Дополнительная литература:

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Изображение:

Какими свойствами обладают параллельные плоскости

Пример 1.

Любая конструкция с полом, потолком и стенами даёт нам представление о параллельных плоскостях – пол и потолок как две параллельные плоскости, боковые стены как параллельные плоскости.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β – данные плоскости, a1 и a2 – пересекающиеся прямые в плоскости α, а b1 и b2 соответственно параллельные им прямые в плоскости β.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a1 параллельна прямой b1, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a2 параллельна прямой b2, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a1 или a2 пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a1 или a2 пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a1 и a2 параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

Теорема доказана.

Свойства параллельных плоскостей.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство.

Пусть α и β – параллельные плоскости, а γ- плоскость, пересекающая их.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство.

Пусть α и β – параллельные плоскости, а a и b – параллельные прямые, пересекающие их.

Через прямые a и b можно провести плоскость – эти прямые параллельны, значит определяют плоскость, причём только одну.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Доказательство.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Доказательство.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

Какими свойствами обладают параллельные плоскости В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a1 и b1, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a1 и b1, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β1, параллельная α.

Так как β1 пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β1 пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Пример 2.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Доказательство.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А1, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b(по теореме 5) .

Пример 3.

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Доказательство.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Какими свойствами обладают параллельные плоскости Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Доказательство.

Докажем параллельность А1В1 и А2В2.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А1В1А2В2, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А1В1 и А2В2параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В1С1 и В2С2. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Верное решение:

Докажем параллельность А1В1 и А2В2.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А1А2 и В1В2

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

№2.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Решение:

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

Ответ:

1) они параллельны

2) скрещиваются

3) пересекаются

Источник