Какими свойствами обладают определители
Определителем (детерминантом) квадратной матрицы
называется число, обозначаемое символически
.
Число есть порядок определителя.
Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу
.
Пример. .
Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей.
Свойства определителей:
1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;
2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1;
3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Пример. , т. к. элементы 3-го столбца пропорциональны соответствующим элементам 2-го с коэффициентом пропорциональности – 3.
4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.
Пример. .
5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.
Пример. .
6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым.
Пример. .
7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится.
Пример. (к элементам 1-го столбца прибавлены соответствующие элементы 2-го, умноженные на 2.
Минор элемента в определителе -го порядка есть определитель ( )-го порядка, получающийся из данного определителя, если из него вычеркнуть -ю строку и -й столбец.
Пример. Для определителя минор элемента есть , а элемента — .
Алгебраическое дополнение элемента есть
= ,
т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное.
Пример. Для определителя алгебраическое дополнение элемента есть , а элемента — .
Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.
Пример. Вычислить определитель .
◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): .
Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат:
= . ►
Пример. Вычислить определитель .
◄ Используем свойство определителей 7). Умножая все элементы 2-й строки последовательно на (–2), (–3) и 2 и прибавляя их затем соответственно к элементам 1-й, 3-й и 4-й строки, получим: = = (умножаем элементы 1-й строки последовательно на (–2) и (–11) и прибавляем их затем соответственно к элементам 2-й и 3-й строки) =
= . ►
Ранг матрицы
Ранг данной матрицы есть такое число , что по крайней мере один определитель – го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении некоторых строк и/или столбцов, отличен от нуля, а все определители – го порядка равны нулю.
Ранг матрицы равен наибольшему числу ее линейно независимых строк (или столбцов).
Для квадратной матрицы порядка ее ранг удовлетворяет соотношению . Эта матрица является невырожденной в том и только в том случае, если ее ранг , т. е. . Если же , то матрица является вырожденной.
Ранг суммы двух матриц не больше суммы их рангов:
.
Пример. Найти ранг матрицы .
◄ Ранг этой квадратной матрицы порядка удовлетворяет соотношению . Единственный определитель 3-го порядка, получаемый из этой матрицы . Ранг данной матрицы , т. к. по крайней мере один определитель 2-го порядка, получаемый из этой матрицы при удалении 3-й строки и 3-го столбца, . ►
Пример. Найти ранг матрицы .
◄ Ранг этой матрицы , т. к. из данной матрицы можно получить определители порядка не выше 2-го. Легко убедиться, что все три определителя 2-го порядка, которые можно получить из этой матрицы удалением поочередно его столбцов, равны нулю. Отсюда следует, что ранг данной матрицы (каждый элемент матриц представляет собой определитель 1-го порядка). Уменьшение ранга этой матрицы по отношению к максимально возможному обусловлено тем, что у нее строки и столбцы линейно зависимы (второй и третий столбец получаются из соответствующих элементов первого их умножением на 2 и 3, соответственно; вторая строка получается из первой, умножением ее элементов на 3). ►
В общем случае для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований, к которым относятся:
1) перестановка строк матрицы;
2) умножение какой-либо строки на одно и то же отличное от нуля число;
3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на некоторое число.
Можно показать, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Если с помощью элементарных преобразований получить нули ниже главной диагонали матрицы, то ранг исходной матрицы будет равен числу ненулевых строк преобразованной матрицы.
Пример. С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.
◄ Умножим первую строку матрицы на –2 и прибавим ко второй строке:
~ ~.
Теперь умножим первую строку на –3 и сложим ее с третьей строкой, а затем вычтем из последней строки первую. Имеем
~ ~.
Умножая вторую строку получившейся матрицы на –2 и складывая ее с третьей строкой, а затем, складывая вторую строку с последней, получим матрицу
~ .
Преобразованная матрица имеет две ненулевые строки, следовательно, ранг матрицы А равен двум: . ►
Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу , определяемую условиями
.
В противном случае матрица – вырожденная.
Квадратная матрица =( ) порядка является невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель ; в этом случае обратная матрица есть квадратная матрица того же порядка :
, (1.1.1)
где – алгебраические дополнения элементов в определителе .
Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.
Если матрицы и не вырождены и число , то
, , .
Пример. Дана матрица . Найти обратную матрицу .
◄ Находим определитель матрицы . Т. к. , делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:
, , ,
, , ,
, , .
Следовательно, по формуле (1.1.1)
.
Проводим проверку полученного результата:
. Делаем вывод, что результат правильный. ►
Дата добавления: 2016-12-05; просмотров: 3887 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов
Читайте также:
Рекомендуемый контект:
Поиск на сайте:
© 2015-2020 lektsii.org – Контакты – Последнее добавление
Источник
Главная >> Лекции >> Линейная алгебра >> Определители и их свойства Матричный калькулятор
Определители и их свойства. Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку, в которой 3 переходит в 4, 1 → 2, 2 → 1, 4 → 3. Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде ,т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n
. (4.3)
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:
, (4.4)
где индексы q1, q2,…,qn составляют некоторую перестановку из чисел
1, 2,…, n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (- 1)q, где q – число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n -го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или detA = (детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей
1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых ai j = bj + cj (j = 1,…,n), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, – такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bj, в другом – из элементов cj.
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором Mi j элемента ai j определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента ai j определителя d называется его минор Mi j, взятый со знаком (-1) i + j. Алгебраическое дополнение элемента ai j будем обозначать Ai j. Таким образом, Ai j = (-1) i + j Mi j.
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки
d = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 +… + ai n Ai n (i = 1,…,n)
или j- го столбца
d = a1 j A1 j + a2 j A2 j +… + an j An j (j =1,…,n ).
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Формула вычисления определителя третьего порядка.
Для облегчения запоминания этой формулы:
Пример 2.4. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.
Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель , равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.
Пример 2.5. Вычислить определитель D = , разложив его по элементам второго столбца.
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:
D = a12A12 + a22A22+a32A32=
.
Пример 2.6. Вычислить определитель
,
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Решение. Разложим определитель А по первой строке:
.
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:
.
И так далее. После n шагов придем к равенству A = а11 а22… ann.
Пример 2.7. Вычислить определитель .
Решение. Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: , равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
Источник
На главную страницу
Определители
В конец страницы
3. 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Каждой квадратной матрице А соответствует число, которое называется ее
определителем, или детерминантом, и обозначается |А|,
det
А,
или .
Определителем, или детерминантом, n-го порядка служит число, записываемое
в виде квадратной таблицы
det
А
и равное алгебраической
сумме
n!
произведений вида .
Итак,
det
А,
где суммирование
распространено на все перестановки из чисел 1, 2, …,
n.
Здесь –
число инверсий в перестановке .
Говорят, что числа и
образуют
инверсию в перестановке ,
если большее из чисел и
расположено
левее меньшего.
Например, для
n
2
,
для
n
3
Правило вычисления
определителя равносильно
правилу треугольников (правилу Саррюса), которое схематически можно записать как
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
1. Равноправие строк и столбцов.
При транспонировании матрицыее определитель не меняется.
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя равны
нулю, то определитель также равен нулю. Это свойство очевидно, так как каждое
слагаемое содержит по одному и только одному сомножителю из каждого столбца
(строки).
3. Антисимметрия.
При перестановке двух любых столбцов (строк) определителя его знак меняется на
противоположный, а абсолютная величина остается неизменной.
Доказательство свойств 1 и 3
основано на правиле расстановки знаков членов определителя.
4. Определитель с
двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю.
Действительно, при
перестановке, например, двух одинаковых столбцов определитель не изменяется, но
вместе с тем он в силу третьего свойства меняет знак на обратный, т. е.
,
откуда или
.
5. Линейность.
Если j-й
столбец
(i-я
строка
A)
определителя det
A
является линейной комбинацией
A λB
+
μC
(A λB
+
μC)
двух произвольных столбцов (строк) В и С , то и сам определитель
оказывается линейной комбинацией
det
A
det
A(λB+
μC)
λdet
A(B)
+ μdet
A(C)
определителей det
A(B)
и det
A(C).
Здесь det
A(B)
(det
A(C))
– определитель, полученный из определителя
det
А заменой
в нем j-го
столбца
A на
столбец В(столбец С ).
6. Общий множитель
всех элементов какого-либо столбца (строки) определителя можно вынести за его
знак. Отсюда следует, что если какой-либо столбец (строку) определителя умножить
на число λ, то сам определитель умножится на это число.
7. Если какой-либо
столбец (строка) определителя является линейной комбинацией других его столбцов
(строк), то определитель равен нулю.
Свойства 6 и 7 вытекают из
пятого свойства.
8. Определитель не
изменится, если к любому его столбцу (строке) прибавить произвольную линейную
комбинацию его столбцов (строк).
Действительно, в силу
линейности определитель равен сумме исходного определителя и определителя с
двумя одинаковыми столбцами (строками).
9. Определитель суммы
двух квадратных матриц одного и того же порядка
n
A
и В ,
i,
j
= равен
сумме всех различных определителей порядка
n,
которые могут получиться, если часть строк (столбцов) брать совпадающими с
соответствующими строками (столбцами) матрицы А, а оставшуюся часть –
совпадающими с соответствующими строками (столбцами) матрицы В.
Доказательство следует из
свойства линейности определителя.
10. Определитель
произведения двух матриц равен произведению их определителей
det
(AВ)
det
A×det
B.
Назад
К началу страницы
Вперед
Источник
Определитель матрицы или детерминант матрицы – это одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач.
Определение.
Определителем матрицы n×n будет число:
| det(A) = | Σ | (-1)N(α1,α2,…,αn)·aα11·aα22·…·aαnn |
| (α1,α2,…,αn) |
где (α1,α2,…,αn) – перестановка чисел от 1 до n, N(α1,α2,…,αn) – число инверсий в перестановке, суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n.
Обозначение
Определитель матрици A обычно обозначается det(A), |A|, или ∆(A).
Свойства определителя матрицы
Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.
При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:
det(A) = det(AT)
Определитель обратной матрицы:
det(A-1) = det(A)-1
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:
a11a12…a1na21a22…a2n….k·ai1k·ai2…k·ain….an1an2…ann=
k·a11a12…a1na21a22…a2n….ai1ai2…ain….an1an2…annЕсли квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:
B = k·A => det(B) = kn·det(A)
где A матрица n×n, k – число.
Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:
a11a12…a1na21a22…a2n….bi1 + ci1bi2 + ci2…bin + cin….an1an2…ann
=
a11a12…a1na21a22…a2n….bi1bi2…bin….an1an2…ann
+
a11a12…a1na21a22…a2n….ci1ci2…cin….an1an2…ann
Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:
det(A·B) = det(A)·det(B)
Методы вычисления определителя матрицы
Вычисление определителя матрицы 1×1
Правило:
Для матрицы первого порядка значение определителя равно значению элемента этой матрицы:
∆ = |a11| = a11
Вычисление определителя матрицы 2×2
Правило:
Для матрицы 2×2 значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей:
| ∆ = |
| = a11·a22 – a12·a21 |
Пример 1.
Найти определитель матрицы A
Решение:
| det(A) = |
| = 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33 |
Вычисление определителя матрицы 3×3
Правило треугольника для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
Правило:
Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.
| ∆ = |
| = |
=
a11·a22·a33 +
a12·a23·a31 +
a13·a21·a32 –
a13·a22·a31 –
a11·a23·a32 –
a12·a21·a33
Правило Саррюса для вычисления определителя матрицы 3-тего порядка
Правило:
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком “плюс”; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком “минус”:
| ∆ = |
| = |
=
a11·a22·a33 +
a12·a23·a31 +
a13·a21·a32 –
a13·a22·a31 –
a11·a23·a32 –
a12·a21·a33
Пример 2.
Найти определитель матрицы A =
571-410203
Решение:
det(A) =
571-410203
=
5·1·3 + 7·0·2 + 1·(-4)·0 –
1·1·2 – 5·0·0 – 7·(-4)·3 = 15 + 0 + 0 – 2 – 0 + 84 = 97
Вычисление определителя матрицы произвольного размера
Разложение определителя по строке или столбцу
Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
| n | |||
| det(A) = | Σ | aij·Aij | – разложение по i-той строке |
| j = 1 |
Правило:
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
| n | |||
| det(A) = | Σ | aij·Aij | – разложение по j-тому столбцу |
| i = 1 |
При разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.
Пример 3.
Найти определитель матрицы A
Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:
= 2·(-1)1+1·
2111
+ 0·(-1)2+1·
4111
+ 2·(-1)3+1·
4121
=
= 2·(2·1 – 1·1) + 2·(4·1 – 2·1) = 2·(2 – 1) + 2·(4 – 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6
Пример 4.
Найти определитель матрицы A
Решение: Вычислим определитель матрицы, разложив его по второй строке (в ней больше всего нулей):
det(A) =
2411020021134023
=
– 0·
411113023
+ 2·
211213423
– 0·
241213403
+ 0·
241211402 =
= 2·(2·1·3 + 1·3·4 + 1·2·2 – 1·1·4 – 2·3·2 – 1·2·3) = 2·(6 +12 + 4 – 4 – 12 – 6) = 2·0 = 0
Приведение определителя к треугольному виду
Правило:
Используя свойства определителя для элементарных преобразований над строками и столбцами 8 – 11, определитель приводится к треугольному виду, и тогда его значение будет равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример 5.
Найти определитель матрицы A приведением его к треугольному виду
Решение:
det(A) =
2411021021134023
Сначала получим нули в первом столбце под главной диагональю. Для этого отнимем от 3-тей строки 1-ую строку, а от 4-той строки 1-ую строку, умноженную на 2:
det(A) =
241102102 – 21 – 41 – 13 – 14 – 2·20 – 4·22 – 1·23 – 1·2
=
241102100-3020-801
Получим нули во втором столбце под главной диагональю. Для этого поменяем местами 2-ой и 3-тий столбцы (при этом детерминант сменит знак на противоположный):
det(A) = –
2141012000-3200-81
Получим нули в третьем столбце под главной диагональю. Для этого к 3-ему столбцу добавим 4-тий столбец, умноженный на 8:
det(A) = –
214 + 1·81012 + 0·8000-3 + 2·8200-8 + 1·81
=
– 211210120001320001 = -2·1·13·1 = -26
Теорема Лапласа
Теорема:
Пусть ∆ – определитель n-ого порядка. Выберем в нем произвольные k строк (столбцов), причем k < n. Тогда сумма произведений всех миноров k-ого порядка, которые содержатся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Источник