Какими свойствами обладают операции над событиями

1. Переместительный закон

А + В = В + А,

А·В = В·А.

2. Распределительный закон

(А + В)·С = А·С + В·С,

А·В + С = (А + С)·(В + С).

3. Сочетательный закон

(А + В) + С = А + (В + С),

(А·В)·С = А·(В·С).

4. Закон «тождественности»

А + А = А,

А·А = А.

5. Закон «полноты»

А + = ,

А· = А.

6. Закон «дополнения»

А + Ᾱ = ,

А·Ᾱ = Ø.

7. Законы «отрицания»

«не Ø» = Ω,

= Ø,

8. Закон «разности»

А – В = А· .

9. Законы де Моргана

= · ,

= + .

Задачи, рассмотренные на лекции и семинаре. Тема 1.

События. Основные операции над событиями

Лекция 1

Задача 1-Т1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Введем события: А = {выбранное число делится на 5}, В = {выбранное число оканчивается нулем}. Выяснить смысл событий

а) ;

б) .

Задача 2-Т1. Какие из следующих пар событий являются несовместными? совместными?

а) А1 = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной} и А2 = {на кухне}?

б) А3 = {попадание при одном выстреле}, А4 = {промах};

в) А5 = {выпадение герба при подбрасывании монеты}, А6 = {выпадение решки};

г) А7 = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах}, А8 = {два попадания}.

Задача 3-Т1 для самостоятельного решения. Из четырех карточек с номерами 1, 2, 3, 4 последовательно наудачу берут две. Составить пространство элементарных событий для этого опыта, если его элементами служат:

а) двузначные числа, образованные этими карточками?

б) суммы номеров, изображенных на извлеченных карточка?

Задача 4-Т1. Доказать формулу А + В = А + ·В, где А и В – случайные события.

Задача 5-Т1. В лаборатории работают несколько человек, причем каждый из работников знает хотя бы один иностранный язык. Так,

– английский знают 6 человек,

– немецкий – 6 человек,

– французский – 7 человек,

– английский и немецкий – 4 человека,

– немецкий и французский – 3 человека,

– английский и французский – 2 человека,

– все три языка знает один человек.

Сколько человек работает в лаборатории? Сколько сотрудников знают только английский язык?

Семинар 1

Задача 1С-Т1. Два шахматиста играют одну партию. Вводятся события: А = {выигрывает первый игрок}, B = {выигрывает второй игрок}. Описать события:

а) ;

б) ;

в) .

Задача 2С-Т1. Упростить выражение (А + В) ·(А + ) ·(Ᾱ+В).

Задача 3С-Т1. Упростить выражения:

а) А·(В – А·В);

б) А· + А··С + В·С + В;

в) А + Ᾱ·В + («не (А + В)»).

Задача 4С-Т1. Доказать справедливость законов де Моргана:

а) ;

б) .

Задача 5С-Т1. Упростить выражения, если известно, что А В:

а) А·В;

б) А + В;

с) А + В + С.

Задача 6С-Т1. Установите, какие из соотношений правильны:

а) Ᾱ + = ;

б) ;

в) (А + В) – С = А + (В – С).

Задача 7С-Т1. Совместны ли события А и ?

Задача 8С-Т1. Справедливы ли, а если «Да», то в каком случае равенства:

а) А·В = Ᾱ?

б) А + В = Ᾱ?

Задача 9С-Т1. Назвать противоположные события для следующих событий:

а) А = {выигрыш первого игрока в шахматной партии};

б) В = {произошло хотя бы одно попадание при десяти выстрелах};

в) С = {произошло три попадания при трех выстрелах};

г) D = {произошло не более двух попаданий при пяти выстрелах};

д) Е = {в семейной паре муж старше жены}.

Задача 10С-Т1. Известно, что события А1 и А2 произошли, а событие А3 не произошло. Произошли ли события:

а) ?

б) А1 + А2 ·А3?

в) А1 ·А2 ·А3?

Задача 11С-Т1. Каков смысл равенств:

а) А·В·С = А?

б) А + В + С = А?

Задача 12С-Т1. При каком условии справедливо равенство (А + В) – В = А – В?.

Задача 13С-Т1. Студент пришел на зачет, зная 15 вопросов из 20. Если студент не может ответить на вопрос, ему предоставляется еще одна (не более!) попытка. Каково пространство исходов?

Запишите событие А = {студент сдал зачет} через возможные исходы испытания.

Какова вероятность сдать зачет?

Домашнее задание 1 – Тема 1.

Задача 0Д-Т1. Перечислить все элементарные равновозможные события, которые могут произойти в результате:

а) подбрасывания монеты;

б) подбрасывания игрального кубика;

в) подбрасывания тетраэдра с гранями, занумерованными числами 1, 2, 3, 4;

г) раскручивания рулетки, поверхность которой разделена на 5 секторов, обозначенных буквами А, В, С, D, Е.

Задача 1Д-Т1. Одновременно подбрасываются 4 монеты. Вводятся события:

– А = {гербов выпало больше, чем цифр},

– В = {выпали все гербы},

– С = {выпали все цифры}. Объяснить смысл событий:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Задача 2Д-Т1. Двухмоторный самолет терпит аварию, если одновременно отказывают оба двигателя или выходит из строя система управления. Вводятся события:

– А ={выходит из строя k-двигатель}, k=1, 2;

– В = {выходит из строя система управления},

– С = {самолет терпит аварию}. Описать события , .

Задача 3Д-Т1. Доказать формулы:

1) В = А·В + Ᾱ·В.

2) (А+С)·(В+С) = А·В+С.

Задача 4Д-Т1. Пусть А, В и С – три произвольных события. Выразить их через следующие события:

а) произошли все три события;

б) произошло только С;

в) произошло хотя бы одно из событий;

г) ни одного события не произошло;

д) произошли события А и В, но С не произошло;

е) произошло одно из этих событий;

ж) произошло не более двух событий.

Задача 5Д-Т1. Событие А влечет за собой В. Что представляют собой события:

а) А + В?

б) А·В?

в) А – В?

г)

Задача 6Д-Т1. Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {экзамен сдан на «отлично»}. В чем состоят события:

а) А – В?

б) «не (А – В)» = ?

в) ?

Задача 7Д-Т1. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть события:

А1 = {первый студент решил задачу},

А2 = {второй студент решил задачу},

А3 = {третий студент решил задачу}.

Выразить через события следующие события:

1) А = {все студенты решили задачу},

2) В = {задачу решил только первый студент},

3) С = {задачу решил хотя бы один студент},

4) D = {задачу решил только один студент}.

Задача 8Д-Т1. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события:

– А = {выбрана красная роза},

– В = {выбрана желтая роза},

– С = {выбрана белая роза}.

Что означают события:

а) ,

б) А + В,

в) А·С,

г) ,

д) ,

е) А·В + С.

Задача 9Д-Т1. Указать пространство элементарных событий для следующего испытания (опыта) – одновременное подбрасывание двух костей.

Задача 10Д-Т1. В урне находятся 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется:

1) составить пространство элементарных событий для данного опыта;

2) указать элементарные исходы (события), благоприятствующие событиям:

А = {появление шара с нечетным номером},

В = {появление шара с четным номером},

С = {появление шара с номером, большим трех},

D = {появление шара с номером, меньшим 7};

3) пояснить, что означают события «не В», «не С»;

4) указать, какие из пар А, В, С, D совместны, а какие – нет;

5) привести примеры невозможного и достоверного событий;

7) привести пример другого пространства элементарных событий в данном опыте.

Задача 11Д-Т1. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, с сыром и колбасой – 28 человек, с колбасой и ветчиной – 31 человек, с сыром и ветчиной – 26 человек, все три вида бутербродов взяли 25 человек. Несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Задача 12Д-Т1. Из событий а) «идет дождь», б) «на небе нет ни облачка», в) «наступила осень» составить все возможные пары и выявить среди них все пары совместных событий и несовместных событий.

Задача 13Д-Т1. Имеется правильная трехгранная пирамида – тетраэдр. Одна из ее граней серая, остальные – белые. Тетраэдр бросают на стол и наблюдают за гранью, которой он соприкасается с поверхностью стола. Являются ли равновозможными события «тетраэдр упал на серую грань» и «тетраэдр упал на белую грань»?

Задача 14Д-Т1. Из полной колоды карт (36 штук) вынимается одна карта. Являются ли равновозможными события: а) «вынута карта черной масти» и «вынута карта красной масти»? б) «вынут Король» и «вынута Дама»? в) «вынута карта бубновой масти» и «вынута карта червонной масти»? г) «вынута карта пиковой масти» и «вынута карта красной масти»? д) «вынута шестерка треф» и «вынута Дама пик»?

Задача 15Д-Т1. Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются ли совместными события:

а) «вынута карта красной масти» и «вынут Валет»;

б) «вынут Король» и «вынут Валет»?

Тема 2. Частость (частота) события. Свойство статистической устойчивости относительной частоты события. Статистическое определение вероятности. Элементы комбинаторики – 4 часа: 2 часа лекции, 2 часа семинарское занятие



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Случайное явление – явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта (при неоднократных испытаниях) протекает каждый раз несколько по-иному.

Опыт (испытание) – всякое осуществление определённого комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление.

Событие – возможный результат опыта.

Случайное событие – событие, которое при осуществлении данного опыта может наступить, а может и не наступить.

Достоверное событие (U) – событие, которое при осуществлении данного опыта всегда наступит.

Невозможное событие (V) – событие, которое при осуществлении данного опыта никогда наступит.

Равновозможные события – события,для которых при осуществлении данного опыта нет оснований считать, что возможность появления одного из них больше, чем другого.

Несовместные события – события, которые при осуществлении данного опыта не могут наступить одновременно (появление одного из них исключает появление других в одном и том же опыте).

Полная группа событий (совокупность единственно возможных событий) – группа таких событий, для которых выполняется: в результате данного опыта обязательно происходит и только одно из них.

Противоположные события – события А и , для которых выполняется: в результате данного опыта наступление А равносильно тому, что не наступит.

Элементарные исходы (случаи, шансы) – равновозможные, несовместные события, образующие полную группу событий.

Пространство элементарных исходов – совокупность элементарных исходов . Часто используют обозначение: . Любой результат эксперимента (событие) – это точка пространства . Если можно считать, что ни один из элементарных исходов (случаев) не является предпочтительным, т.е. исходы равновозможны, каждому элементарному исходу можно приписать число . Это число называют вероятностью данного случая. Таким образом, для нахождения вероятности необходимо найти число элементарных исходов.

Благоприятные (благоприятствующие) случаи (для события) – случаи, при которых данное событие наступает. Появление благоприятного случая является проявлением данного события.

Классическое определение вероятности

Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, n – число всех равновозможных элементарных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятностью события А называется отношение m/n:

Р(А) = m/n.(1)

Свойства вероятности

· для достоверного события U выполняется: Р(U) = 1;

· для невозможного события V: Р(V) = 0;

· для случайного события A: 0 < P(A) < 1;

· для любого события В: 0 ≤ Р(В) ≤ 1.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий количества комбинаций, подчиняющихся определённым условиям, которые можно составить из элементов заданного конечного множества.

Правило суммы

Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а В – другими k способами, то выбрать объект А+В (А или В) можно m+k способами.

Правило произведения

Если объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а после каждого такого выбора объект В может быть выбран k способами, то выбор упорядоченной пары АВ (А∙В, А и В) может быть произведён m∙k способами.

Размещения – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений :

. (2)

Перестановки – комбинации, составленные из n различных элементов по n элементов, отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок :

. (3)

Сочетания – комбинации, составленные из данных n различных элементов по m элементов (m ≤ n), которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний :

. (2)

Перестановки с повторениями – комбинации, составленные из данных n элементов, среди которых n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д.: n1 + n2 + …+ nk = n. Число перестановок с повторениями можно подсчитать по формуле:

. (5)

Размещения с повторениями – комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов (элементы в таких комбинациях могут повторяться, при этом может оказаться, что n ≤ m). Число размещений с повторениями находят по формуле:

. (6)

Сочетания с повторениями – комбинации, составленных из n различных элементов по m элементов, элементы в которых могут повторяться, но в отличие от числа размещений с повторениями, последовательность при выборе элементов не важна. Число таких комбинаций находят по формуле:

. (7)

Геометрическая вероятность – обобщение классической вероятностной модели с конечным или счётным числом равновероятных элементарных исходов. Пусть пространству элементарных исходов соответствует некоторый выделенный объём (площадь или длина ); а событию А соответствует некоторая область с объёмом (площадью или длиной ). Тогда вероятностью события А можно считать отношение:

. (3)

Статистическая вероятность – число, близкое к m/n при неограниченном возрастании n – числа независимых испытаний, если m – число появлений события А в этой серии из n испытаний. Величина m/n называется относительной частотой события А (или частостью). При этом справедлива теорема Бернулли (частный случай теоремы Чебышева – одного из законов больших чисел [1, с. 97]). Согласно этой теореме, в описанной ситуации для любого положительного числа предел вероятности события равен 1:

.

Предел, используемый в теореме Чебышева, называют пределом по вероятности. Таким образом, практически достоверным при больших значениях n является событие: вероятность р события А сколь угодно близка к его относительной частоте m/n.

Сумма или объединение событий – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Произведение (пересечение) событий – событие, состоящее в одновременном появлении этих событий.

Сумму трёх событий (А1, А2, А3) можно рассмотреть как сумму события (А1+А2) и события А3; аналогично для четырёх, пяти событий и так далее (так же и произведение нескольких событий).

Обобщая понятия, связанные с действиями над событиями, на множестве событий вводят алгебраические операции (используя символику действий над множествами):

· объединение (сумма) двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· дополнение (противоположное событию А) – событие , такое, что ;

· пересечение (произведение) двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· следствие (из А следует В, А включается в В, А влечёт В):;

· невозможное событие ;

· достоверное событие ;

· разность двух событий А и В – событие С, такое, что ;

· симметрическая разность двух событий А и В – событие С, такое, что

Алгебра событий

Множество событий S называется алгеброй событий, если выполняются следующие условия (аксиомы событий):

1. ;

2.

Припишем каждому элементарному событию (исходу) некоторый «вес» – вероятность исхода . Совокупность вероятностей должна удовлетворять условиям:

1. ,

2. .

В этом случае вероятность некоторого события А определяется формулой: . При этом тройка , где , а S – некоторая алгебра подмножеств [2, с. 54], определяет вероятностную модель, или вероятностное пространство, обладающее свойствами:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Свойства действий над событиями

1. – коммутативность;

2.

– ассоциативность;

3. – дистрибутивность;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-12
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных