Какими свойствами обладают нулевые коллинеарные векторы

Условия коллинеарности векторов

Два вектора будут коллинеарны при выполнении любого из этих условий:

Условия коллинеарности векторов 2. Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны.

N.B. Условие 2 неприменимо, если один из компонентов вектора равен нулю.

Условия коллинеарности векторов 3. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору.

N.B. Условие 3 применимо только для трехмерных (пространственных) задач.

Доказательство третего условия коллинеарности

Пусть есть два коллинеарные вектора a = {ax; ay; az} и b = {nax; nay; naz}. Найдем их векторное произведение

a × b =

ijkaxayazbxbybz

= i (aybz – azby) – j (axbz – azbx) + k (axby – aybx) =

= i (aynaz – aznay) – j (axnaz – aznax) + k (axnay – aynax) = 0i + 0j + 0k = 0

Примеры задач на коллинеарность векторов

Примеры задач на коллинеарность векторов на плоскости

Примеры задач на коллинеарность векторов в пространстве

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы

Определение 1

Коллинеарные векторы — это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1. Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ, что a=λb;
• условие 2. Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат: 

a=(a1; a2), b=(b1; b2)⇒a∥b⇔a1b1=a2b2

• условие 3. Векторы aи b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a∥b⇔a, b=0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Пример 1

Пример 2

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Теорема

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Достаточность

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора — коллинеарны. Два коллинеарных вектора — линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора — компланарны. (3 компланарных вектора — линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n+1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Пример 3

Пример 4

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x1, x2, x3, при которых линейная комбинация a, b, c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a, b, c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Определение 5

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор AB→, равный вектору а→; из полученной точки undefined – вектор ВС→, равный вектору b→. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС→, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

– для неколлинеарных векторов:

– для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a→и b→есть сумма векторов a→ и – b→.

Умножение вектора на число

Определение 8

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
– еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
– если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
– если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
– если k=1, то вектор остается прежним;
– если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a→и число k=2;
2) вектор b→и число k=-13.

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a→, b→, c→и произвольные действительные числа λ и μ.

1. Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
   
2. Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верным является равенство: a→+(-a→)=0→. Указанное свойство – очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a→ = λ · ( µ·a→ ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a→ = λ ·a→ + µ · a→.
8. Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение a→-2·(b→+3·a→)
Решение
– используя второе распределительное свойство, получим: a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·(3·a→)
– задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a→-2·b→-2·(3·a→)=a→-2·b→-(2·3)·a→=a→-2·b→-6·a→
– используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a→-2·b→-6·a→=a→-6·a→-2·b→
– затем по первому распределительному свойству получаем:a→-6·a→-2·b→=(1-6)·a→-2·b→=-5·a→-2·b→Краткая запись решения будет выглядеть так:a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·3·a→=5·a→-2·b→
Ответ: a→-2·(b→+3·a→)=-5·a→-2·b→

Общие сведения

Вектором называют направленный отрезок, который имеет начало и конец. Обозначают его либо большими буквами, либо маленькими, например, АБ или a. Над буквой ставится знак вектора — стрелка. Любой отрезок характеризуется длиной, которую называют модулем. Если начало и конец прямой совпадают, то такой вектор носит название нулевой и обозначается в виде точки. При этом его модуль будет равняться нулю.

Для равенства векторов необходимо выполнение двух условий:

• модули отрезков должны быть равны;
• сравниваемые отрезки должны быть направлены в одну сторону.

Равные вектора могут быть совмещены параллельным переносом, при этом начало и конец отрезков должны совпадать. Если ограниченные линии не являются равными, но лежат на параллельных прямых, то их называют коллинеарными, то есть, по определению коллинеарных векторов, их направление для определения признака не является важным.

Коллинеарность является одним из признаков сонаправленности, но для выполнения последнего они должны ещё и совпадать по направлению. Наглядным понятием, объясняющим сонаправленность, является прямое движение транспорта или пешехода. Например, если рассматривать две траектории движения как векторы АБ и СД, лежащие на плоскости, при этом их лучи лежат в одной полуплоскости и перпендикулярны её границам, то их можно назвать сонаправленными.

Поэтому параллельные отрезки будут направлены в одну сторону лишь тогда, когда их лучи находятся по одну сторону от прямой, соединяющей их начала. При этом если векторы коллинеарны, но не сонаправлены, то они будут являться противоположными.

С векторами можно выполнять любые простейшие арифметические операции. При сложении используют правила параллелограмма и треугольника. Пусть есть два отрезка, имеющие общее начало. Для того чтобы найти их сумму, необходимо фигуру достроить до параллелограмма. Диагональ этой фигуры и будет искомой величиной. Когда же конец одного отрезка является началом другого, то, соединив свободные точки, можно получить треугольник. Новая прямая и будет являться вектором суммы. Следует отметить, что эти правила равнозначны друг другу. Вычитание отрезков находится аналогично.

Вектор можно и умножить на число, то есть длина отрезка увеличивается на значение множителя. Если в произведении стоит отрицательное число, то характеристика меняет направление.

Критерии коллинеарности

Теорема критерия коллинеарности представляет собой утверждение, которое сообщает, что если есть два не ортогональных отрезка, одинаковых по длине, a и b, то вектор a может быть выражен через формулу a || b = a = y * b. При этом y обозначает любое произвольное число. Есть и обратное утверждение: если вектор b умножить на число и получится отрезок a, то тогда a и b будут коллинеарными.

Эти два правила тождественны и называются критериями коллинеарности. Для их доказательства нужно знать правило арифметических действий с параллельными и перпендикулярными векторами, а также понимать основной базис. Заключается он в том, что если имеются три отрезка a, b и c, при этом верной является следующая комбинация a || b и a || c, то справедливо утверждать, что b || c.

Для того чтобы доказать свойство a || b = a = y * b, нужно воспользоваться определением коллинеарности. Из него следует, что если a || b, то отрезки могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Таким образом, необходимо проверить утверждение для двух случаев:

• |a| ↑↑ |b|.
• |a| ↑↓ |b|.

Если предположения окажутся верными, то можно будет сделать вывод о справедливости записи для других случаев. То есть к любым параллельным отрезкам можно применить равенство a = u * b. Этот критерий занимает важное место в геометрии наряду со свойствами перпендикулярности (ортогональности) прямых.

Сонаправленные вектора

Пусть a и b однонаправленные. Введём число y, равное отношению a на b. Так как длина вектора может быть только положительной, то и y = a /b > 0. Состояние вектора, когда он нулевой, является частным случаем и его можно не рассматривать, так как при этом получится равенство 0 = 0. Если длину b умножить на число, то получится новый вектор. Пусть это будет отрезок c, то есть с = y * b. Учитывая свойство коллинеарности, можно утверждать, что между c и b останется параллельность.

По условию известно, что a || b. Исходя из транзитивности отрезков, можно заключить, что и c || b. Теперь необходимо установить их направление. Изначально a и b направлены в одну сторону. Ведённый множитель больше нуля. Это значит, что после умножения направление вектора не изменится, то есть c будет иметь то же направление что и b. Тогда получается, что a || b и c || b. Отсюда следует, что a || с.

Длина вектора c равняется |c| = |u| * |b|. Вместо u можно подставить a / b. В итоге получится |a| * |b| / |b| = |a|. Таким образом, два условия выполняются, и можно утверждать, что с = a. Получается, что для двух любых однонаправленных векторов будет выполняться правило a = u * b.

Противоположные отрезки

Пусть имеется два отрезка a и b, при этом их направления противоположны друг другу. Можно ввести переменную u, которая будет меньше нуля. Тогда справедливо записать u = – |a| / |b| < 0. Это исходит из того, что длины отрезков — положительные величины, и их отношение тоже даёт число со знаком плюс, а минус один, умноженное на положительное число, даёт отрицательное. Для удобства можно ввести специализированный вектор c, который равняется u, умноженному на отрезок b: c = u * b.

Рассмотрим направление c. Исходя из правила произведения отрезка на число, получается, что вектор в ответе будет коллинеарен умножаемому. Более того, из условия известно, что ведённое число меньше нуля. Получается, что рассматриваемые отрезки будут противоположно направлены, то есть можно записать: c ↑↓ b. При этом по определению a и b тоже разнонаправленные.

Утверждать это можно, исходя из геометрического расположения отрезков в пространстве. Если их нарисовать, то можно увидеть, что один из них будет направлен вправо, а другой влево. Из условия известно, что вектор с будет направлен в противоположную сторону, по сравнению с b. Но в другую сторону от него направлен и отрезок a. Значит, a и c — однонаправленные.

На следующем этапе следует доказать, что длина c будет совпадать с отрезком a. Для этого нужно модуль ведённого числа умножить на длину b: |c| = |u| * |b|. В результате выполнения действия получится выражение: |c| = |-1| * |a| * |b| / |b|. Модуль b стоит и в числителе, и в знаменателе, поэтому на него можно сократить, а модуль от минус единицы равняется просто единице.

Получается, что длина отрезка c равняется вектору a: |c| = |a|. Учитывая определение равенства векторов, можно утверждать, что c = a. То есть для любых разнонаправленных отрезков всегда будет справедливо выражение a = u * b. Проверка справедливости утверждения завершена.

Примеры решения задач

Теоретический материал нужно уметь применять в практических заданиях. В девятом классе на уроках геометрии учащимся предлагается решить несколько типов задач различной сложности. Научившись их решать, можно смело утверждать, что материал изучен. Вот некоторые из них:

1. Пусть имеются два отрезка m и n. Нужно вычислить такое число u, при котором выполняется равенство n = u * m. Рассмотреть необходимо два случая: a) прямые противоположно направлены, при этом |m| = 0,5, а |n| =2.; б) векторы сонаправлены и |m| = 12, а |n| =240. Решение такой задачи основывается на признаке коллинеарности векторов. Для первого случая условие можно записать, как u < 0, так как |m| ↑↓ |n|. Учитывая, что такое равенство выполняется для ненулевых прямых, будет справедливо записать u = |n| / |m| = – 2 / 0,5 = -4. Для второго случая u > 0, так как |m| ↑↑ |n|. Отсюда u = 240 / 12 = 20.
2. Требуется доказать, что если отрезки a и b не коллинеарны, то a + b и a — b не коллинеарны тоже. Такие задачи решаются методом от обратного. Для повышения комфортности решения рекомендуется выполнить векторный рисунок в линейных координатах. Делают предположение, что a + b и a — b коллинеарны. Тогда должно выполняться следующее равенство: a + b = u (a — b). При этом u не должно равняться нулю. В выражении можно раскрыть скобки: a + b = u * a — u * b, а затем перенести в левую часть равенства одночлены, содержащие вектор a, а в правую часть — b: a — u * a = – u * b — b. Используя законы умножения, выражение можно преобразовать до вида: (1-u) * a = (-u — 1) * b. После ряда стандартных упрощений получится: a = (-u — 1) * b / 1- u, a b = (u + 1) * b / 1- u. Изучив полученное выражение, можно отметить, что u = 1 противоречит условию, так как a + b = a — b, то b = -b = 0.
3. Установить, являются ли отрезки с1 и с2 коллинеарными по векторам a и b при условии a = {1; 4; -2}, b = {1; 1; -1}; c 1 = a + b, c 2 = 4 a +2 b. Решение выполняют следующим образом. Если векторы коллинеарны, то будет существовать такое число, при котором будет верным равенство: c 1 = u * c 2. Иными словами, векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны. Используя исходные данные, получим: c 1 = a + b = {1+1; 4+1; -2+(-1)} = {2; 5; -3}; c 2 = 4 * a + 2 * b = {4*1 + 2*1; 4*4 + 2*1; 4 * (-2) + 2 * (-1)} = {6; 18; -10}. В результате: 2/6 ≠ 5/18 ≠ -3/-10. Отсюда можно сделать вывод, что рассматриваемые отрезки не коллинеарны.

Использование онлайн-калькулятора

Решение простых заданий из школьного курса обычно не вызывает сложностей. Но на практике приходится сталкиваться со сложными выражениями. Для их вычисления нужно проявить усидчивость и при этом быть предельно внимательным. Кроме этого, расчёт занимает довольно много времени, а любая, казалось бы, незначительная оплошность, приведёт к неправильному решению.

Поэтому условие коллинеарности векторов удобно проверять на так называемых онлайн-калькуляторах. Это обычно мощные сервисы, основная деятельность которых заключается в предоставлении услуг по автоматизации вычислений. Среди них попадаются и сайты, умеющие вычислять и вектора.

Для того чтобы выполнить на них математические операции, необходимо иметь доступ к интернету и установленный веб-обозреватель. Всё, что требуется от пользователя, это просто зайти на сайт и выбрать раздел, связанный с операциями над векторами. Затем в предложенную форму вести условие задания и запустить расчёт нажатием одной кнопки.

Из множества онлайн-расчётчиков, доступных в секторе рунета, можно выделить следующие:

• SolverBook — это простой на вид сайт, содержащий на своей странице приложение, позволяющее выполнять любые действия над отрезками, а также определять их вид. Кроме непосредственного предоставления ответа, сервис выдаёт пошаговое решение. При этом каждый этап будет детально расписан.
• O nlineMSchool — сайт помогает найти коллинеарные отрезки для любой сложности примеров. На страницах сервиса находится вся необходимая теория и примеры решения заданий. Поэтому даже слабо подготовленный пользователь сможет разобраться во всех нюансах решения нужных ему задач.
• Kontrolnaya-rabota — отличительной его чертой является возможность отправления подробного решения на указанную электронную почту. Сайт умеет работать как с парой векторов, так и попарной системой.

Все указанные сервисы предоставляют доступ к услугам бесплатно и без регистрации. Воспользовавшись онлайн-калькуляторами, даже слабо подготовленный пользователь научится самостоятельно определять коллинеарность. Такие расчётчики будут полезны и учащимся, и инженерам.