Какими свойствами обладают линейные уравнения с одной переменной

В данной статье рассмотрим принцип решения таких уравнений как линейные уравнения. Запишем определение этих уравнений, зададим общий вид. Разберем все условия нахождения решений линейных уравнений, используя, в том числе, практические примеры.

Обратим внимание, что материал ниже содержит информацию по линейным уравнениям с одной переменной. Линейные уравнения с двумя переменными рассматриваются в отдельной статье.

Что такое линейное уравнение

Определение 1

Линейное уравнение – это уравнение, запись которого такова:
a·x=b, где x – переменная, a и b – некоторые числа.

Такая формулировка использована в учебнике алгебры (7 класс) Ю.Н.Макарычева.

Пример 1

Примерами линейных уравнений будут:

3·x=11(уравнение с одной переменной x при а=5 и b=10);

−3,1·y=0 (линейное уравнение с переменной y, где а=-3,1 и b=0);

x=−4 и −x=5,37(линейные уравнения, где число aзаписано в явном виде и равно 1 и -1 соответственно. Для первого уравнения b=-4; для второго – b=5,37) и т.п.

В различных учебных материалах могут встречаться разные определения. К примеру, Виленкин Н.Я. к линейным относит также те уравнения, которые возможно преобразовать в вид a·x=bпри помощи переноса слагаемых из одной части в другую со сменой знака и приведения подобных слагаемых. Если следовать такой трактовке, уравнение 5·x=2·x+6 – также линейное.

А вот учебник алгебры (7 класс) Мордковича А.Г. задает такое описание:

Определение 2

Линейное уравнение с одной переменной x – это уравнение вида a·x+b=0, где a и b – некоторые числа, называемые коэффициентами линейного уравнения.

Пример 2

Примером линейных уравнений подобного вида могут быть:

3·x−7=0 (a=3, b= −7);

1,8·y+7,9=0 (a=1,8, b=7,9).

Но также там приведены примеры линейных уравнений, которые мы уже использовали выше: вида a·x=b, например, 6·x=35.

Мы сразу условимся, что в данной статье под линейным уравнением с одной переменной мы будем понимать уравнение записи a·x+b=0, где x – переменная; a, b – коэффициенты. Подобная форма линейного уравнения нам видится наиболее оправданной, поскольку линейные уравнения – это алгебраические уравнения первой степени. А прочие уравнения, указанные выше, и уравнения, приведенные равносильными преобразованиями в вид a·x+b=0, определим, как уравнения, сводящиеся к линейным уравнениям.

При таком подходе уравнение 5·x+8=0 – линейное, а 5·x=−8 – уравнение, сводящееся к линейному.

Принцип решения линейных уравнений

Рассмотрим, как определить, будет ли заданное линейное уравнение иметь корни и, если да, то сколько и как их определить.

Определение 3

Факт наличия корней линейного уравнения определятся значениями коэффициентов a и b. Запишем эти условия:

при a≠0линейное уравнение имеет единственный корень x=-ba;
при a=0 и b≠0линейное уравнение не имеет корней;
при a=0 и b=0 линейное уравнение имеет бесконечно много корней. По сути в данном случае любое число может стать корнем линейного уравнения.

Дадим пояснение. Нам известно, что в процессе решения уравнения возможно осуществлять преобразование заданного уравнения в равносильное ему, а значит имеющее те же корни, что исходное уравнение, или также не имеющее корней. Мы можем производить следующие равносильные преобразования:

перенести слагаемое из одной части в другую, сменив знак на противоположный;
умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Таким образом, преобразуем линейное уравнение a·x+b=0, перенеся слагаемое b из левой части в правую часть со сменой знака. Получим: a·x=−b.

Далее мы разделим обе части равенства на число а, при этом условившись, что это число отлично от нуля, иначе деление станет невозможным. Случай, когда а=0, рассмотрим позже.

Итак, производим деление обеих частей уравнения на не равное нулю число а, получив в итоге равенство вида x=-ba. Т.е., когда a≠0, исходное уравнение a·x+b=0равносильно равенству x=-ba, в котором очевиден корень -ba.

Методом от противного возможно продемонстрировать, что найденный корень – единственный. Зададим обозначение найденного корня -ba как x1. Выскажем предположение, что имеется еще один корень линейного уравнения с обозначением x2. И конечно: x2≠x1, а это, в свою очередь, опираясь на определение равных чисел через разность, равносильно условию x1−x2≠0. С учетом вышесказанного мы можем составить следующие равенства, подставив корни:
a·x1+b=0 и a·x2+b=0.
Свойство числовых равенств дает возможность произвести почленное вычитание частей равенств:

a·x1+b−(a·x2+b)=0−0, отсюда: a·(x1−x2)+(b−b)=0 и далее a·(x1−x2)=0. Равенство a·(x1−x2)=0 является неверным, поскольку ранее условием было задано, что a≠0 и x1−x2≠0. Полученное противоречие и служит доказательством того, что при a≠0линейное уравнение a·x+b=0имеет лишь один корень.

Обоснуем еще два пункта условий, содержащие a=0.

Когда a=0 линейное уравнение a·x+b=0 запишется как 0·x+b=0. Свойство умножения числа на нуль дает нам право утверждать, что какое бы число не было взято в качестве x, подставив его в равенство 0·x+b=0, получим b=0. Равенство справедливо при b=0; в прочих случаях, когда b≠0, равенство становится неверным.

Таким образом, когда a=0 и b=0, любое число может стать корнем линейного уравнения a·x+b=0, поскольку при выполнении этих условий, подставляя вместо x любое число, получаем верное числовое равенство 0=0. Когда же a=0 и b≠0 линейное уравнение a·x+b=0 вовсе не будет иметь корней, поскольку при выполнении указанных условий, подставляя вместо x любое число, получаем неверное числовое равенство b=0.

Все приведенные рассуждения дают нам возможность записать алгоритм, дающий возможность найти решение любого линейного уравнения:

по виду записи определяем значения коэффициентов a и bи анализируем их;
при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число станет корнем заданного уравнения;
при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
при a, отличном от нуля, начинаем поиск единственного корня исходного линейного уравнения:

перенесем коэффициент b в правую часть со сменой знака на противоположный, приводя линейное уравнение к виду a·x=−b;
обе части полученного равенства делим на число a, что даст нам искомый корень заданного уравнения: x=-ba.

Собственно, описанная последовательность действий и есть ответ на вопрос, как находить решение линейного уравнения.

Напоследок уточним, что уравнения вида a·x=b решаются по похожему алгоритму с единственным отличием, что число b в такой записи уже перенесено в нужную часть уравнения, и при a≠0 можно сразу выполнять деление частей уравнения на число a.

Таким образом, чтобы найти решение уравнения a·x=b, используем такой алгоритм:

при a=0 и b=0 уравнение будет иметь бесконечно много корней, т.е. любое число может стать его корнем;
при a=0 и b≠0 заданное уравнение не будет иметь корней;
при a, не равном нулю, обе части уравнения делятся на число a, что дает возможность найти единственный корень, который равен ba.

Примеры решения линейных уравнений

Пример 3

Необходимо решить линейное уравнение 0·x−0=0.

Решение

По записи заданного уравнения мы видим, что a=0 и b=−0 (или b=0, что то же самое). Таким образом, заданное уравнение может иметь бесконечно много корней или любое число.

Ответ: x – любое число.

Пример 4

Необходимо определить, имеет ли корни уравнение 0·x+2,7=0.

Решение

По записи определяем, что а=0, b=2,7. Таким образом, заданное уравнение не будет иметь корней.

Ответ: исходное линейное уравнение не имеет корней.

Пример 5

Задано линейное уравнение 0,3·x−0,027=0. Необходимо решить его.

Решение

По записи уравнения определяем, что а=0,3; b= -0,027, что позволяет нам утверждать наличие единственного корня у заданного уравнения.

Следуя алгоритму, переносим b в правую часть уравнения, сменив знак, получаем: 0,3·x=0,027. Далее разделим обе части полученного равенства на а=0,3, тогда: x=0,0270,3.

Осуществим деление десятичных дробей:

0,0270,3=27300=3·93·100=9100=0,09

Полученный результат есть корень заданного уравнения.

Кратко решение запишем так:

0,3·x-0,027=0,0,3·x=0,027,x=0,0270,3,x=0,09.

Ответ: x=0,09.

Для наглядности приведем решение уравнения записи a·x=b.

Пример N

Заданы уравнения: 1) 0·x=0; 2) 0·x=−9; 3) -38·x=-334. Необходимо решить их.

Решение

Все заданные уравнения отвечают записи a·x=b. Рассмотрим по очереди.

В уравнении 0·x=0, a=0 и b=0, что означает: любое число может быть корнем этого уравнения.

Во втором уравнении 0·x=−9: a=0 и b=−9, таким образом, это уравнение не будет иметь корней.

По виду последнего уравнения -38·x=-334 запишем коэффициенты: a=-38, b=-334, т.е. уравнение имеет единственный корень. Найдем его. Поделим обе части уравнения на a, получим в результате: x=-334-38. Упростим дробь, применив правило деления отрицательных чисел с последующим переводом смешанного числа в обыкновенную дробь и делением обыкновенных дробей:

-334-38=33438=15438=154·83=15·84·3=10

Кратко решение запишем так:

-38·x=-334,x=-334-38,x=10.

Ответ: 1) x – любое число, 2) уравнение не имеет корней, 3) x=10.

Источник

ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с двумя

переменными

Опр.

Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х – переменная

Уравнение вида ах + ву = с называется линейным с двумя переменными, где а, в , с – некоторые числа, х, у – переменные

Решение

Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство

Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество

Например

3х = – 99

Если х = – 33 , значит

3 * ( – 33 )= – 99- верное равенство

3х + 2у = 7

Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит

3*1 + 2 * 2= 7 – верное тождество

Решить

уравнения

Значит найти все его корни или доказать , что их нет

0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)

Опр.

Равносильные уравнения – это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.

Св.ва

Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными

Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

График

Графиком линейной функции с одной переменной ( с двумя переменными) – это прямая, проходящая через две точки

ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с двумя

переменными

Опр.

Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х – переменная

Решение

Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство

Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество

Например

3х = – 99

Если х = – 33 , значит

3 * ( – 33 )= – 99- верное равенство

3х + 2у = 7

Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит

3*1 + 2 * 2= 7 – верное тождество

Решить

уравнения

Значит найти все его корни или доказать , что их нет

0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)

Опр.

Равносильные уравнения – это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.

Св.ва

Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными

Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

График

ТЕОРИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение с двумя

переменными

Опр.

Уравнение вида ах = в называется линейным с одной переменной, где а, в – некоторые числа, х – переменная

Решение

Это значение переменной х, при котором линейное уравнение превращается в верное равенство

Это любая пара чисел ( х ; у ), которая превращает любое уравнение в верное тождество

Например

3х = – 99

Если х = – 33 , значит

3 * ( – 33 )= – 99- верное равенство

3х + 2у = 7

Если х =1, у = 2 или ( 1 ; 2) , значит

3*1 + 2 * 2= 7 – верное тождество

Решить

уравнения

Значит найти все его корни или доказать , что их нет

0 * х = -8 ( корней нет ) 0 * х + у * 0 = -8,9 ( корней нет)

Опр.

Равносильные уравнения – это те уравнения, которые имеют одни и те же корни или их нет.

Св.ва

Свойства линейных уравнений с одной или двумя переменными

Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив знак на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же число , не равное нулю, то получится уравнение равносильное данному.

График

Источник

Тема урока: § 5. Линейное уравнение с одной переменной. Навык решения линейных уравнений проверяется на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ и необходим для решения текстовых задач.

Существуют ли такие значения переменной $x$, при которых соответственные значения выражений $3x$ и $x+8$ равны? Чтобы ответить на этот вопрос, надо решить уравнение:

$$3x=x+8$$

При $x$, равном $4$, значения левой и правой частей уравнения равны. Число $4$ называют решением или корнем данного уравнения.

Определение:
Корень уравнения с одной переменной — это число, обращающее данное уравнение в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти множество всех его корней.

Линейное уравнение

Определение:
Каждое алгебраическое уравнение с одним неизвестным, степень которого равна единице называется линейным уравнением.

В общем виде линейное уравнение имеет вид:

$$kx+b=0$$

Где $k$ и $b$ – произвольные числа.

Примеры линейных уравнений

Приведём несколько примеров линейных уравнений:

Уравнение $x+5=8$ имеет корень $3$. Этот корень единственный, так как при $x3$ больше $8$.
Уравнение $(x+2)(x-1)(x-7)=0$ имеет три корня: $-2$, $1$ и $7$, так как каждое из этих чисел обращает уравнение в верное равенство, а при всех других значениях $x$ ни один из множителей (а значит, и их произведение) не равен нулю.
Уравнение $x+3=x-1$ совсем не имеет корней, так как при любых $x$ значение выражения, стоящего в левой части уравнения, на $4$ больше соответственного значения выражения, стоящего в правой части. Множество корней этого уравнения пустое.
Уравнение $x=|x|$ имеет бесконечное множество корней. Любое положительное число или нуль является его корнем.
Уравнение $5(x+8)=40+5x$ также имеет бесконечное множество корней, причем любое значение $x$ является его корнем, так как выражения $5(x+8)$ и $40+5x$ тождественно равны. О таком уравнении говорят, что оно удовлетворяется тождественно.

Заметим, что каждое из данных равенств имеет общую форму:

$$kx+b=0 Leftrightarrow kx=-b$$

они внешне похожи друг на друга, где $x$ – переменная (неизвестное), $k$ и $b$ — произвольные числа.

Следующие уравнения не будут являться линейными, так как они не имеют вышеописанный вид.
$x^{2}-1=0$
$(x-3)(x+5)=0$
$left | x right |=2$

Свойства линейных уравнений

Линейные уравнения обладают рядом специфических свойств, рассмотрим их:

Любое слагаемое можно переносить в противоположную сторону равенства, но при этом слагаемое меняет знак. Покажем на примере равенства:
$$x+2=0 Rightarrow x=-2$$
Смена знака связана с тем, что мы вправе прибавлять к обоим частям уравнения одно и то же число (смысл уравнения от этого не меняется).
$$x+2+(-2)=0+(-2)$$
$$x+0=0-2 Rightarrow x=-2$$
Каждую часть равенства можно умножать, делить на одно и то же число отличное от нуля (смысл уравнения от этого не меняется). Покажем на примере того же равенства, домножив обе части на число четыре:

$$x+2=0 Rightarrow (x+2)cdot 4=0cdot 4$$

$$4x+8=0$$

Равносильные уравнения

Рассмотрим три уравнения:

$(x+2)(x-3)=0$
$x(x+2)(x-3)=0$
Уравнение (1) имеет два корня: $-2$ и $3$, а уравнение (2) — три корня: $0$, $-2$ и $3$. Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), но не каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1).
При $x=0$ второе уравнение обращается в верное равенство, а первое — нет.
Уравнение $x(x+2)=3(x+2)$ имеет два корня: $-2$ и $3$.

Каждое решение уравнения (3) является решением уравнения (1) и каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (3). Такие уравнения называются равносильными.

Важно!
У равносильных уравнений множества их решений совпадают.

Понятие равносильности уравнений распространяется и на уравнения с несколькими переменными. Например, два уравнения с переменными $x$ и $y$ считаются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения служит решением первого.

Пусть первое уравнение $P(x)=0$, а второе $Q(x)=0$ и если они равносильны, то имеет место знак равносильности:

$$P(x)=0Leftrightarrow Q(x)=0$$

В дальнейшем мы будем часто использовать такую символику.

Свойства равенств

Можно ли, не решая уравнений $2x-5=9$ и $2x=14$, утверждать, что они равносильны? Ответить на этот вопрос помогут нам хорошо известные свойства равенств. Перечислим их:

Рефлексивность. Любое число равно самому себе: $a=a$.
Симметричность. Если одно число равно другому, то это второе число равно первому: если $a=b$, то $b=a$.
Транзитивность. Если первое число равно второму, а второе равно третьему, то первое число равно третьему: если $a=b$ и $b=c$, то $a=c$.
Свойствами, аналогичными указанным свойствам равенств, обладают многие соотношения. Например, параллельность (в множестве прямых плоскости) обладает симметричностью и транзитивностью.
Действительно, если $a||b$, то $b||a$; если $a||b$ и $b||c$, то $a||c$. Равносильность уравнений обладает всеми тремя свойствами. В самом деле, каждое уравнение равносильно самому себе; если одно уравнение равносильно другому, то второе равносильно первому; если одно уравнение равносильно второму, а второе — третьему, то первое уравнение равносильно третьему.
Приведем еще два свойства равенств, которые нам понадобятся дальше:
Если к обеим частям верного равенства прибавить одно и тоже число, то получится верное равенство: если $a=b$, то
$$a+c=b+c$$
Если обе части верного равенства умножить на одно и то же число, то получится верное равенство: если $a=b$, то
$$acdot c=bcdot c$$

Примеры решения уравнений

Свойства равенств используются при решении уравнений. Покажем это на примере.

Задача 1.
Пусть нужно решить уравнение: $6x-42=0$

Показать решение
↕

Решение:

Прибавим к левой и правой частям уравнения число $42$ (перенесем $-42$ в правую часть уравнения с противоположным знаком).

Получим уравнение: $6x=42$

Если при некотором значении $x$ равенство верно, то верно и равенство которое мы получили, и, наоборот, если при некотором значении $x$ верно равенство которое мы получили, то верно и исходное равенство. Это следует из свойства 4. Значит, уравнения равносильны.

$$6x-42=0Leftrightarrow6x=42$$

Умножим обе части уравнения на $frac{1}{6}$ (разделим на $6$). Получим уравнение: $x=7$

Из свойства 5. следует, что последние два уравнения равносильны:

$$6x=42 Leftrightarrow x=7$$

Следовательно равносильны и уравнения (так как равносильность обладает свойством транзитивности): $6x-42=0 Leftrightarrow x=7$

Значит число $7$ есть корень исходного уравнения.

Ответ: $x=7$

Рассмотренный пример показывает, что перенос членов уравнения из одной его части в другую с противоположным знаком и умножение (или деление) обеих частей уравнения на неравное нулю число приводят к уравнению, равносильному данному.

Задача 2.
Решите уравнение: $frac{3}{4}x-frac{5x}{16}=2$

Показать решение
↕

Решение: $frac{3}{4}x-frac{5x}{16}=2$

Приведем все слагаемые левой части уравнения к общему знаменателю:

$$frac{3x}{4}cdotfrac{4}{4}-frac{5x}{16}=2$$

$$frac{12x}{16}-frac{5x}{16}=2$$

$$frac{12x-5x}{16}=2$$

$$frac{7x}{16}=2$$

Домножим обе части равенства на $frac{16}{7}$ чтобы избавиться от коэффициента при неизвестном, получим:

$$frac{7x}{16}cdotfrac{16}{7}=2cdotfrac{16}{7}$$

Сократим числа $7$ и $16$, получим:

$$x=frac{32}{7}$$

Ответ: $x=frac{32}{7}$

Общий вид решений линейного уравнения

Решим уравнение: $kx+b=0$

Очевидно, решение зависит от наших параметров $k$ и $b$, поэтому рассмотрим несколько сюжетов, которые встречаются при решении линейных уравнений.

Шаг 1.

Коэффициент при неизвестной $k$ будет равняться нулю, а свободный член $b$ отличным от нуля.

$$k=0, bneq 0 Rightarrow 0cdot x=-b$$

Заметим, в этом случае не найдется такого числа $x$, что при подстановке его в уравнение — получится верное равенство. Т.к при умножении на 0 мы не получим число отличное от нуля, стало быть — решений нет.
Обычно это записывается так:
$$xin oslash$$
что переводится как: $x$ принадлежит пустому множеству.

Шаг 2.

Коэффициент при неизвестной и свободный член отличны от нуля:

$$kneq 0, bneq 0 Rightarrow kx=-b Rightarrow x=frac{-b}{k}$$

Т.е. $x$ принимает действительное и единственное решение в виде отношения двух чисел: $-b$ и $k$

Шаг 3.

Числа $k$ и $b$ принимают значения равное нулю, т.е:

$$k=0, b=0 Rightarrow kx=-b Rightarrow 0cdot x=0$$

Очевидно, что какой бы $x$ мы не взяли — равенство будет верным, т.к, при умножении на 0 получим 0.
Тогда говорят, что $x$ – любое число, либо $x$ принадлежит всем действительным числам. Запись имеет такой вид:

$$xin mathbb{R}$$

В данном случае решение можно записать несколькими способами, например с помощью двойного неравенства:

$$-infty <x< infty$$

Такая запись означает, что $x$ лежит в промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности. (Бесконечность это не число, поэтому неравенство строгое).
Еще можно написать ответ в виде интервала:

$$xin(-infty;infty)$$

Знак “$in$” можно заменить словом “принадлежит”, этот символ называется квантором принадлежности. Тогда говорят, что $x$ принадлежит любому числу из данного интервала.

При решении уравнений, обычно мы задаемся вопросом: чему равно значение переменной? или, какое число при подстановке вместо неизвестной делает равенство верным?

И решением линейного уравнения называется — корень уравнения, а значит наша задача привести уравнение к виду:

$$x=…$$

Задачи для самостоятельного решения

Условие

Задача №1.

Найдите корень уравнения: $0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$

Решение

$$0,9x-0,6(x-3)=2(0,2x-1,3)$$

Раскроем скобки и приведем подобные.

$$0,9x-0,6x+1,8=0,4x-2,6$$

$$0,3x+1,8=0,4x-2,6$$

Перенесем слагаемые содержащие неизвестную в одну часть, а остальные в другую.

$$1,8+2,6=0,4x-0,3x$$

$$4,4=0,1x$$

Домножим обе части равенства на $10$, тогда получим:

$$x=44$$

Ответ: $x=44$

Условие

Задача №2.

Решите уравнение: $-36(6x+1)=9(4-2x)$

Решение

$$-36(6x+1)=9(4-2x)$$

Раскроем скобки в обеих частях равенства.

$$-216x-36=36-18x$$

Перенесем переменные вправо, а остальные слагаемые влево.

$$-36-36=-18x+216x$$

Приведем подобные.

$$-72=198x$$

Разделим обе части уравнения на $198$ и получим ответ:

$$x=frac{-72}{198}$$

Сократим дробь на $18$.

$$x=-frac{4}{11}$$

Ответ: $x=-frac{4}{11}$

Условие

Задача №3.

Чему равен наибольший корень уравнения: $(1,8-0,3y)(2y+9)=0$?

Решение

$$(1,8-0,3y)(2y+9)=0$$

Для решения уравнения нужно воспользоваться свойством произведения. Произведение равно нулю, тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а значит одно из выражений в скобках должно равнятся нулю. Рассмотрим первый случай:

$$1,8-0,3y=0Rightarrow 1,8=0,3y$$

После переноса слагаемых домножим обе части равенства на $10$ и поделим на $3$.

$$frac{1,8cdot 10}{3}=frac{0,3ycdot 10}{3}$$

$$frac{18}{3}=frac{3y}{3}$$

$$y=6$$

Теперь рассмотрим второй случай:

$$2y+9=0$$

$$2y=-9$$

Разделим обе части равенства на $2$.

$$y=frac{-9}{2}$$

$$y=-4,5$$

Как мы видим у нас получилось два корня, при которых уравнение обращается в $0$. Для ответа выберем наибольший из данных, т.е:

$$y=6$$

Ответ: $y=6$

Условие

Задача №4.

Найдите корень уравнения:

$$frac{3m+5}{4}=frac{5m+1}{3}$$

Решение

$$frac{3m+5}{4}=frac{5m+1}{3}$$

Вспомним, что все наши действия должны быть направлены на приведение уравнения к виду: $x=…$
Поэтому домножим обе части равенства на общий знаменатель $12$, т.е на $4$ и $3$.

$$frac{3m+5}{4}cdot frac{4cdot 3}{1}=frac{5m+1}{3}cdot frac{4cdot 3}{1}$$

После сокращения слева на $4$, а справа на $3$ получим:

$$(3m+5)cdot 3=(5m+1)cdot 4$$

Раскроем скобки.

$$3mcdot 3+5cdot 3=5mcdot 4+1cdot 4$$

$$9m+15=20m+4$$

В данном случае $9m$ удобно перенести вправо, так как не придется избавляться от минуса. Сделаем перенос слагаемых, приведем подобные и получим ответ.

$$15-4=20m-9m$$

$$11=11m$$

$$m=1$$

Ответ: $m=1$

Условие

Задача №5.

При каком значении $a$ уравнение: $3ax=12-x$ имеет корень, равный числу $-9$?

Решение

$$3ax=12-x$$

Если подставить вместо переменной $x$ число $-9$, то получим $a$ при котором эта ситуация имеет место.

$$3acdot (-9)=12-(-9)$$

Обратим внимание на правую часть равенства и воспользуемся свойством:

Если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии все знаки стоящие в скобках меняются на противоположные.

$$-27a=12+9$$

$$-27a=21$$

Разделим обе части уравнения на число $-27$, получим:

$$a=frac{21}{-27}$$

Сокращаем правую часть равенства на $3$ и получаем окончательный ответ.

$$a=-frac{7}{9}$$

Ответ: $a=-frac{7}{9}$

←

Следующая тема

Источник